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    初中生代數(shù)證明水平的發(fā)展研究

    2015-03-31 02:44:54陳進
    創(chuàng)新時代 2015年3期
    關鍵詞:性別差異課程標準

    陳進

    摘要:數(shù)學證明具有重要的教育價值,在目前教育體制下,初中生具有怎樣的數(shù)學證明水平值得大家關注。通過“日歷問題”為例,對初中生的代數(shù)證明水平進行調(diào)查,了解初中生數(shù)學證明水平的一些現(xiàn)狀,并思考出現(xiàn)這些狀況的深層原因。

    關鍵詞:代數(shù)證明;日歷問題;課程標準;性別差異;城鄉(xiāng)差別

    1.問題提出

    《數(shù)學課程標準》在7~9年級的課程目標中提出“認識通過觀察、實驗、歸納、類比、推斷可以獲得數(shù)學猜想,體驗數(shù)學活動充滿著探索性和創(chuàng)造性,感受證明的必要性、證明過程的嚴謹性以及結論的確定性”;在課程實施建議中提出“應關注證明的必要性、基本過程和基本方法”。由此看出,新課標更加重視發(fā)展學生的數(shù)感和符號感,重視口算、估算,提倡算法多樣化,更注重引導學生體會證明的必要性,理解證明的基本過程,加強培養(yǎng)學生“說理有據(jù)”的意識;同時,降低對論證過程形式化和證明技巧的要求,旨在讓學生掌握基本的證明方法,對課程內(nèi)容中有關術語在文字表達上的要求也有所降低,試圖做到“淡化形式”,對于這種改變,數(shù)學界有不同的聲音,孰是孰非?不敢妄下結論。在西歐和北美的一些國家,傳統(tǒng)的數(shù)學證明在教學中的地位也在逐漸弱化。7~9年級學生的證明水平現(xiàn)狀究竟怎么樣,勢必會引起許多人的關注。在八年級數(shù)學教科書下(蘇科版)“說理”一節(jié)教學中的一個問題引起了我們的思考。

    探索:1.當χ=-5、- 、0、2、3時,計算代數(shù)式χ2—2χ+2的值,

    與同學交流。

    2.換幾個說再試試,你發(fā)現(xiàn)了什么?你能說明理由嗎.

    在教學中,筆者發(fā)現(xiàn)學生在解答本題時存在兩個困難:一是代數(shù)式的值大于等于1不會歸納。二是對恒等變換證明這種形式很陌生。因此,能正確回答這個問題的學生很少。事實上,在初中階段,幾何是發(fā)展學生證明推理的主要載體。在學生的心目中,證明題就等同于幾何題。眾所周知,證明不僅僅局限于幾何,在代數(shù)中也存在推理證明。本文以“日歷問題”為例,研究7~9年級學生的代數(shù)證明發(fā)展水平。

    2.研究方法

    2.1 問題的設計

    在數(shù)學課程標準以及在七年級數(shù)學上冊(蘇科版)第一章第二節(jié)中,都出現(xiàn)了探索月歷中數(shù)量關系的問題,鑒于此問題對初中生來說都比較熟悉,便以操作,筆者略作改編,作為此次問卷調(diào)查的題目。

    觀察月歷

    問題1 觀察月歷中帶有陰影方框中的4個數(shù):

    (1)方框中左上與右下數(shù)字之積為

    (2)方框中左下與右上數(shù)字之積為

    計算:第(1)個積與第(2)個積之差為

    問題2 觀察月歷中另一方框中的4個數(shù):

    (1)方框中左上與右下數(shù)字之積為

    (2)方框中左下與右上數(shù)字之積為

    計算:第(1)個積與第(2)個積之差為

    問題3 在這張月歷中,將方框上下或左右平移后,方框中的4個數(shù)之間還存在如上的結論嗎?說明你的理由(無論成立與否都要說明理由)。

    3·調(diào)查對象

    在2010~2011學年第二學期3月份在蘇州常熟X校(市區(qū)公立學校、每個年級有10個班、轄區(qū)招生)每個年級隨機選擇了兩個班級(七年級87名學生,八年級77名學生,九年級78名學生)進行了問卷測試。同時我們又在常熟M校某個(公立農(nóng)村中學、每個年級有6個班、生源主要來自本鎮(zhèn))每個年級隨機選擇了兩個班級(七年級、八年級、……)進行了相同的測試。

    4.研究的結果

    4.1 代數(shù)證明水平的劃分

    根據(jù)學生的回答,我們把學生的證明水平分成兩類:經(jīng)驗的證明和邏輯的證明。經(jīng)驗的證明,可以劃分出兩個水平。

    水平1通過具體的例子解釋結論的真實性。

    問題3在這張月歷中,將方框上下或左右平移后,方框中的4個數(shù)字之間還存在如上的結論嗎?請說明你的理由(無論成立與否都要說明理由)。

    學生答:成立。

    因為左上角的數(shù)比左下角的數(shù)小7,而且右上角的數(shù)比左上角的數(shù)大1,又因為右上角的數(shù)比左下角的數(shù)小6,左上角的數(shù)比右下角的數(shù)小8,所以應該積小7。

    第二類是演繹的證明,利用代數(shù)式的恒等變換獲得一般結論。此時,學生的水平存在以下三個水平。

    水平3用字母來表示數(shù),但未達到水平4。

    問題3在這張月歷中,將方框上下或左右平移后,方框中的4個數(shù)字之間還存在如上的結論嗎?請說明你的理由(無論成立與否都要說明理由)。

    學生答:存在。

    上下兩個數(shù)之差為7

    問題3在這張月歷中,將方框上下或左右平移后,方框中的4個數(shù)字之間還存在如上的結論嗎?請說明你的理由(無論成立與否都要說明理由)。

    學生答:成立。

    設左上角的數(shù)為χ,右上角的數(shù)為χ+1,左下角的數(shù)為χ+7,右下角的數(shù)為χ+8,

    則:χ(χ+8)-(χ+1)(χ+7)=χ2+8χ-(χ2+8χ+7)。

    問題3在這張月歷中,將方框上下或左右平移后,方框中的4個數(shù)字之間還存在如上的結論嗎?請說明你的理由(無論成立與否都要說明理由)。

    學生答:成立。

    設左上角的數(shù)為n,右上角的數(shù)為n+1,左下角的數(shù)為n+7,右下角的數(shù)為n+8,

    則:左上與右下之積為n2+8n,

    右上與左下之積為n2+8n+7,

    差為7。

    所以成立。

    4.2 數(shù)據(jù)分析

    第一,數(shù)據(jù)表明(如下頁表1、表2)能用字母表示數(shù)來解決問題(也就是達到水平3以上)的人數(shù)偏少,X中學學生七年級占26.44%,八年級占35.06%,九年級占61.04%;M中學學生七年級占9.47%,八年級占15.85%,九年級占49.38%。

    第二,學生的代數(shù)證明水平七、八兩個年級之間無顯著差異,九年級顯著高于其他兩個年級。X中學三個年級之間存在顯著性的差異(χ2(10)=33.530, p=0.000);七年級、八年級無顯著差異(χ2(5)=8.364, p=0.137);八年級、九年級有顯著差異(χ2(5)=16.097, p=0.007);七年級、九年級有顯著差異(χ2(5)=21.624, p=0.001)。X中學三個年級之間存在顯著性的差異(χ2(10)=64.775, p=0.000);七年級、八年級無顯著差異(χ2(5)=10.464, p=0.063);八年級、九年級有顯著差異(χ2(5)=28.202, p=0.000);七年級、九年級有顯著差異(χ2(5)=47.569, p=0.000)。

    第三,學生的代數(shù)證明水平存在城鄉(xiāng)差別。七年級(χ2(5)=24.141,p=0.000);八年級(χ2(5)=18.799,p=0.002);九年級(χ2(5)=14.416,p=0.013)。

    第四,每個年級的性別之間無顯著差異,整個參與調(diào)查的對象的性別之間無顯著差異。X中學三個年級的男女生之間均無顯著差異,七年級χ2(5)=7.626,p=0.178;八年級χ2(4)=4.253,p=0.373;九年級χ2(5)=9.673,p=0.085,M中學三個年級的男女生之間均無顯著差異;七年級χ2(5)=10.315,p=0.067;八年級χ2(5)=1.757,p=0.882;九年級χ2(4)=6.607,p=0.158。

    5.討論

    5.1 學生代數(shù)證明水平的發(fā)展受到了課程教材的影響

    初三學生能從數(shù)學的角度提出問題、理解問題,并能綜合運用所學的知識和技能解決問題,發(fā)展應用意識;形成解決問題的一些基本策略,體驗解決問題策略的多樣性,發(fā)展實踐能力與創(chuàng)新精神。同時教材對“空間與圖形”的主要關注點—推理與證明,進行了整體性設計,這些設計主要基于以下兩點考慮:一是合情推理與演繹推理是相輔相成的兩種推理形式,不是隔立的,更不是對立的,應當把它們有機地結合起來。二是數(shù)學教學需要形式化訓練,但過早地形式化可能會使學生遠離數(shù)學的本質(zhì)。推理的本質(zhì)是“有條理的思考和表達”,而不是:“∵……∴……(……)”的形式化證明。我們的調(diào)查時間是在第一學期,而教材把證明放在八(下)和九(上),從這個角度來看也表明課程有效地促進了學生邏輯性證明的發(fā)展。

    5.2 數(shù)學代數(shù)證明水平與學生的性別差異有關系

    1993年,國際數(shù)學教育委員會(ICMI)在瑞典專門召開過“性別與教育”國際研討會,幾名美國學者通過對部分小學老師的深入調(diào)查分析,認為在數(shù)學學習上確實存在著性別差異,而且這種差異隨年級的升高逐漸增大,越是高認知水平的學習,男生的優(yōu)秀就越明顯。我國學者在這方面的研究結論大致有兩類:一類認為,男、女兩性的數(shù)學思維發(fā)展在總體上是平衡的,但在邏輯推理、掌握邏輯法則、辯證思維及空間想象等方面的表現(xiàn),又是各具特色的;另一類則認為,男、女兩性的數(shù)學學習水平在總體上有顯著差異(個別差異不顯著除外),男性要高于女性。通過這次調(diào)查,發(fā)現(xiàn)在初中數(shù)學證明水平方面男女學生幾乎沒有差異,原因可能是在經(jīng)濟相對發(fā)達的蘇南地區(qū),家庭、社會和學校對性別基本已無偏見,對男女生的期望值是一樣的;在對數(shù)學成績的要求上,家長和教師對男女生是相同對待;平時在學校教學中,教師對男女生要求是相同的,環(huán)境因素的影響已經(jīng)很小了。

    5.3 數(shù)學代數(shù)證明水平與家庭教育有關

    家長也對“教育孩子”給予了很大的關注,對孩子的健康成長起到了越來越大的積極作用。但由于長期以來的城鄉(xiāng)二元結構,導致城鄉(xiāng)之間經(jīng)濟、文化發(fā)展不平衡,表現(xiàn)在教育上城鄉(xiāng)還存在著一定的差距。從這次調(diào)查結果來看也符合了這一點,本次調(diào)查的兩所學校從硬件設施和師資及教學內(nèi)容上來看基本不存在差異,可能主要在于家庭教育上的差異:一是經(jīng)濟狀況影響,為了給孩子提供更好的學習和生活環(huán)境,大部分的農(nóng)村家長將更多精力用在工作上,很少有時間關心學生的課余生活。二是資料表明,農(nóng)村人口比城鎮(zhèn)人口受文化教育年限平均少2~3年,城鎮(zhèn)居民再學習提高的時間和機會多。農(nóng)村家長接受的教育較少,文化程度普遍偏低,相對缺乏自我約束力和調(diào)節(jié)力,從而給子女造成一定的影響。

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