采用弱基準和抗差估計的重力網(wǎng)平差

趙德軍，張敏利，王 強，陳永祥，2

（1．西安測繪總站，陜西 西安710054；2．大地測量與地球動力學國家重點實驗室，湖北 武漢430077）

高精度重力測量主要是通過絕對重力測量和相對重力測量來實現(xiàn)的［1］：①絕對重力儀測定的原始觀測值中，加入各項改正（包括固體潮改正、海潮負荷改正［2］、氣壓改正、極移改正、光速有限改正和高度改正）得到基準點的絕對重力值［3］。②相對重力儀測量重力點間的重力段差，再聯(lián)測至少1個已知重力點即可算出所有未知點的重力值。

鑒于絕對重力儀測量精度有限，重力網(wǎng)平差采用弱基準，所謂“弱基準”是指重力網(wǎng)平差時不固定任何重力點，所有絕對觀測量及相對觀測量將賦以適當?shù)臋?，均作為觀測量參與平差［4－5］。我國2000國家重力基本網(wǎng)便采用弱基準平差方法［6］。

本文采用弱基準和抗差估計法［7］，按2000國家重力基本網(wǎng)的方法處理了沿海某測區(qū)絕對、基本網(wǎng)和一等網(wǎng)重力測量數(shù)據(jù)［6，8］。

1 平差模型

1．1 相對重力預處理

預處理流程按文獻［1］執(zhí)行：①儀器讀數(shù)的格值轉(zhuǎn)換；②固體潮改正；③氣壓改正；④儀器高改正；⑤零漂改正；⑥計算相對聯(lián)測段差。

本工程測區(qū)范圍在我國近海，因此預處理時加入了海潮負荷改正。海潮負荷改正執(zhí)行IERS2003規(guī)范，采用重力格林函數(shù)與海潮潮高作褶積積分來計算［2］。軟件采用美國加州大學開發(fā)的“SPOTL”軟件包，海潮模型采用德國2011年發(fā)布的EOT11 A，該模型是分辨率為7．5′×7．5′的全球海潮模型。

1．2 弱基準平差數(shù)學模型

對基準點的絕對重力觀測值，可列出絕對重力觀測誤差方程，其形式為

式中：vi為絕對重力觀測殘差，gi為i點的平差重力值，g0i為i點絕對重力觀測值。

將經(jīng)過預處理后的每臺儀器相鄰兩點的段差觀測值作為觀測量，一臺儀器在i點和j點之間的段差觀測值的誤差方程為［1］

式中：vij為相對觀測殘差；gi，gj分別為測站i，j點平差后的重力值；gRZi，gRZj分別為測站i，j點經(jīng)過預處理后的相對聯(lián)測觀測值；Ri，Rj為儀器在測站i，j點的觀測讀數(shù)；CK為重力儀的M 次（一般取1或2）多項式格值函數(shù)的K次格值改正因子；Xn，Yn為儀器周期誤差參數(shù)（對于LCR G型重力儀有7個周期項）［9］。

部分相對觀測量含有粗差，因此平差中采用了抗差等價權，對所有的觀測量（相對測量、絕對測量）列出如下的誤差方程矩陣形式：

式中：ˉP為抗差等價權，未知參數(shù)的無偏估計為［4，10］

驗后單位權中誤差

式中，r為多余觀測量，未知參數(shù)的協(xié)方差矩陣

2 重力測量數(shù)據(jù)處理

某沿海重力測量工程中，用FG5、A10絕對重力儀分別測量了30和4個基準站的絕對重力值，精度在3×10－8～5×10－8ms－2，點位均勻分布在中國近海（見圖1）；16臺 LCR－G 型、7臺 Burris、1臺CG－5重力儀聯(lián)測了80余條基本網(wǎng)測段，400余條一等網(wǎng)相對重力測段。

2．1 預處理精度統(tǒng)計

相對重力段差聯(lián)測中誤差的計算見文獻［1］，精度統(tǒng)計如下：

圖1 絕對重力點分布圖

1）基本網(wǎng)測段聯(lián)測中誤差限差m0為10×10－8ms－2?；揪W(wǎng)中13%的測段精度小于1／3m0，30% 介 于 1／3m0～2／3m0，57% 介 于 1／3m0～2／3m0，所有測段精度滿足要求。

2）一等網(wǎng)測段中誤差限差m0為25×10－8ms－2，部分海上測段可適當放寬到2m0。一等測段29%的精度小于1／3m0，47%介于1／3m0～2／3m0，22%介于1／3m0～2／3m0，2%介于1m0～3／2m0，所有一等測段中誤差都滿足要求。

3）預處理后的段差按最少邊數(shù)構成的獨立環(huán)來計算閉合差，結合文獻［1］，閉合差限差

式中：n0，n1分別為構成閉合環(huán)的基本網(wǎng)、一等網(wǎng)測段數(shù)；m0，m1分別為基本網(wǎng)、一等網(wǎng)段差中誤差的限差。相對重力聯(lián)測路線共形成144個閉合環(huán)，閉合差統(tǒng)計見表1。

表1 閉合環(huán)閉合差統(tǒng)計

1個閉合環(huán)超限，該環(huán)是由兩個外業(yè)隊測量的3條測段構成的，外業(yè)無法發(fā)現(xiàn)閉合環(huán)是否超限，因此通過內(nèi)業(yè)抗差降權來處理。表2是構成閉合環(huán)的3條測段抗差降權統(tǒng)計，可以看出抗差后驗權明顯降低，甚至接近于0

表2 測段抗差降權統(tǒng)計

2．2 觀測量權的確定

2．2．1 絕對與相對觀測量的權比

絕對與相對觀測量的權比為［1］

先驗假設，相對重力儀的中誤差定為20×10－8ms－2，F(xiàn)G5絕對重力儀優(yōu)于5×10－8ms－2［3，11］，A10絕對重力儀精度約為9×10－8ms－2，則絕對與相對觀測量權比：對于FG5為32∶1，對于A10為10∶1。

2．2．2 相對觀測量之間的權比

相對重力儀的測量精度主要受運輸工具影響，表3給出了汽車、輪船為載體測量的段差精度統(tǒng)計。

表3 不同載體測量段差統(tǒng)計 10－8 ms－2

則兩種載體相對觀測量的權比為［6］

由此確定：絕對重力、汽車、輪船觀測值的先驗權比為32（10）∶1∶0．5。

2．2．3 抗差估計確權

在參加平差的觀測量中，絕對觀測量和儀器檢定的長基線聯(lián)測成果均采用先驗權且固定權；對于汽車、輪船等觀測量先采用先驗權，再采用抗差估計定權。

抗差估計采用IGG等價權［4，10］。根據(jù)抗差估計理論，經(jīng)過試算，認為抗差估計等價權模型參數(shù)應取為k0＝1．5，k1＝4．5，迭代計算收斂數(shù)ε＝2×10－8ms－2，既最大限度采用了原始測量成果，又消弱了含有較大誤差的測量成果對平差結果的影響［7］?？共罟烙嫼?，共剔除6條粗差，占相對觀測方程的0．4%，約110個觀測量降權。

2．3 儀器參數(shù)的確定

從式（2）中可看出，每臺重力儀需要顧及的一、二次格值因子和周期誤差參數(shù)共16個。若儀器的周期誤差參數(shù)太多，很可能產(chǎn)生法方程秩虧或不利于提高平差精度，因此必須合理取舍格值因子CK和周期誤差Xn，Yn。若儀器參數(shù)滿足下面的雙尾t檢驗，則可舍去此參數(shù)［4，9］。

式中：t（1－α；r）表示當置信水平為（1－α），自由度為r（即多余觀測量）時，雙尾t分布的臨界值。反復試算后確定出23臺相對重力儀共需顧及89個儀器參數(shù)。

2．4 平差結果

1）單位權中誤差（單臺儀器一測回，汽車聯(lián)測中誤差）為23．6×10－8ms－2。

2）所有重力點平差值的平均中誤差為13．6×10－8ms－2；基準點平均中誤差為3．8×10－8ms－2；基本點平均中誤差為8．9×10－8ms－2；一等點平均中誤差為14．3×10－8ms－2；最弱點為永興島附近的金銀島為27．9×10－8ms－2。

3）偶然誤差特性檢驗［12］。

殘差的正負號個數(shù)的檢驗：正號為873個，負號為887個，正負號殘差個數(shù)和的絕對值小于置信度為95%的正態(tài)分布的限差＝84，n為殘差個數(shù)，殘差符合正態(tài)分布。

殘差數(shù)值和的檢驗：殘差數(shù)值和為365×10－8ms－2，小于置信度為95%的正態(tài)分布的限差＝1 980×10－8ms－2，殘差符合正態(tài)分布。

正負殘差平方和之差檢驗：殘差平方和之差的絕對值為42 723×10－16m2s－4，小于置信度為95%的正態(tài)分布的限差＝80 941×10－16m2s－4，殘差符合正態(tài)分布。

4）抗差估計剔除粗差后，相對觀測量的殘差分布如圖2所示，從中看出殘差分布符合正態(tài)分布。

圖2 觀測殘差分布圖

3 結束語

絕對重力測量精度優(yōu)于5×10－8ms－2，但這還不能起到絕對控制重力網(wǎng)的作用，因此采用“弱基準”的方法，將所有絕對重力值和相對重力值當成未知量并賦予適當?shù)臋鄟韰⑴c平差。其優(yōu)點是，若絕對重力值有誤差，甚至異常，可從平差結果中發(fā)現(xiàn)，且絕對重力值還能通過平差得到改善。

相對重力儀在海上作業(yè)觀測質(zhì)量難免較差，甚至出現(xiàn)異常數(shù)據(jù)，采用抗差估計能有效地降低異常數(shù)據(jù)的權重，提高平差結果精度。

LCR－G型和Burris重力儀由于其結構特性，要考慮14個儀器周期參數(shù)，儀器參數(shù)對函數(shù)模型有較強的影響，選擇有顯著影響的儀器參數(shù)，能改善計算精度，但是選擇合理的儀器參數(shù)需要經(jīng)過大量的試算。因此建議，在重力測量中優(yōu)先使用無儀器周期誤差的重力儀，如CG－5。

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