時(shí)標(biāo)上具有反饋控制的兩種群競爭系統(tǒng)的持久性分析

(1.玉溪市教育局；2.玉溪市第四中學(xué)，云南 玉溪 653100)

自20世紀(jì)以來，生態(tài)問題越來越受到人們的普遍關(guān)注，而以常微分方程為理論基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)已經(jīng)形成了比較完善的體系，對整個(gè)生物學(xué)領(lǐng)域產(chǎn)生了重要的影響.在生態(tài)數(shù)學(xué)中,種群生態(tài)學(xué)是人們最感興趣的分支之一.自然界中任何一種物種都不是孤立存在的，它必然與其他物種有各種關(guān)系，而在這些關(guān)系中最常見的則為物種競爭的關(guān)系.人們只有了解種群的演變規(guī)律和掌握了種群之間的相互關(guān)系，才能夠合理的控制和改善生態(tài)系統(tǒng)，對生態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行合理的保護(hù)、開發(fā)和利用.

1 模型簡介

文獻(xiàn)[1]研究了如下連續(xù)系統(tǒng)

(1)

其中，x1，x2，u1，u2分別表示關(guān)于時(shí)間t的種群密度和關(guān)于時(shí)間t的反饋控制變量(詳細(xì)生物背景見文獻(xiàn)[1]及其參考文獻(xiàn)).

應(yīng)用微分方程比較原理及不等式技巧，文獻(xiàn)[1]得到了系統(tǒng)(1)概周期解存在的充分條件.文獻(xiàn)[2,3]等文獻(xiàn)則研究了離散時(shí)的系統(tǒng)的持久性及其概周期解的存在性.而眾所周知，在自然界中，種群的存在和分布并不都是理想中的連續(xù)分布，許多情形是既有連續(xù)又存在離散.1988年，德國數(shù)學(xué)家Stefan Hilger整合統(tǒng)一了連續(xù)分析和離散分析，發(fā)現(xiàn)了微積分算法和差分演算法之間的深層關(guān)系，最終提出了時(shí)間尺度(Time Scales)上的分析理論[4].文獻(xiàn)[5～7]均在時(shí)間尺度上對種群生態(tài)系統(tǒng)的持久性等動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了研究.受以上文獻(xiàn)思想的啟發(fā)，筆者對如下兩種群競爭系統(tǒng)進(jìn)行討論：

(2)

(3)

因此，本文的主要目的是討論時(shí)間尺度上帶有反饋控制兩種群競爭系統(tǒng)的持久性問題，即系統(tǒng)(2)的持久性.

在本文中，我們假設(shè)如下條件成立：

(H1)ri(t),ai(t),bi(t),ci(t),di(t),hi(t),ei(t),fi(t)(i=1,2)是定義在時(shí)間尺度上的右連續(xù)有界實(shí)值函數(shù)且使得如下成立：

2 預(yù)備知識

在這一部分，先介紹本文用到的一些基本定義和引理．這些概念的定義以及引理的證明可以參見文獻(xiàn)[4].

σ(t)=inf{s∈∶s>t},ρ(t)=sup{s∈∶s

一個(gè)點(diǎn)t∈稱作是左稠密的，如果t>inf且ρ(t)=t；稱作是左分散的，如果ρ(t)t.如果有一個(gè)左分散的最小值m，那么k={m};否則k=.如果有一個(gè)右分散的最小值m，那么k={m}，否則k=．

一個(gè)函數(shù)f∶?R稱作是右稠密連續(xù)的，如果它在中的右稠密點(diǎn)是連續(xù)的，且在中的左稠密點(diǎn)的左極限是存在的．如果f在每一個(gè)右稠密點(diǎn)與左稠密點(diǎn)均是連續(xù)的，則稱f是上的連續(xù)函數(shù)．我們定義C[J,R]={u(t)∶u(t)是J上連續(xù)的}，以及C1[J,R]={u(t)∶u△(t)是J上連續(xù)的}.

對于y∶t→R，其中t∈k，我們定義y(t)的delta導(dǎo)數(shù)y△(t)是這樣一個(gè)(如果它存在)具有如下性質(zhì)的數(shù)：對于給定的ε>0，存在t的一個(gè)鄰域U使得

|[y(σ(t))-y(s)]-y△[σ(t)-s]|<ε|σ(t)-s|

對于所有的s∈U都成立.

如果y是連續(xù)的，那么y是右稠密連續(xù)的，如果y在t是delta可微的，那么y在t是連續(xù)的.

如果y是右稠密連續(xù)的，令Y△(t)=y(t)，則我們定義delta積分如下：

定義1 系統(tǒng)(2)是持久的，如果對系統(tǒng)(2)的任意解(x1(t),x2(t),u1(t),u2(t))T，存在正常數(shù)mi,qi,Mi和Qi(i=1,2)使得如下成立

引理1[7]設(shè)-a∈R+.

3 持久性

命題1 假設(shè)條件(H1)-(H3)成立.則系統(tǒng)(2)的所有解(x1(t),x2(t),u1(t),u2(t))T滿足

其中

證明設(shè)(x1(t),x2(t),u1(t),u2(t))T是系統(tǒng)(2)的任意正解，則由系統(tǒng)(2)的第一個(gè)方程和Bernoulli不等式exp{x}≥1+x，對任意的x∈，可得

(4)

應(yīng)用引理1的結(jié)果，(4)式可得

(5)

(6)

應(yīng)用引理1，(6)式可得

(7)

設(shè)ε→0，應(yīng)用類似的討論方法，系統(tǒng)(2)的第四個(gè)方程可得

(8)

應(yīng)用引理1，(8)式可得

(9)

同理，由系統(tǒng)(2)的第二個(gè)方程和(9)式，

≤r2(t)-b2(t)(x2(t)+1)+d2(t)eu2*+ε

(10)

應(yīng)用引理1，(9)式可得

當(dāng)ε→0,(7)式和(9)式可得

(11)

(12)

證畢.

命題2 設(shè)條件(H1),(H4)-(H5)成立.則系統(tǒng)(2)的所有解(x1(t),x2(t),u1(t),u2(t))Τ滿足

證明設(shè)(x1(t),x2(t),u1(t),u2(t))Τ是系統(tǒng)(2)的任意正解，我們首先證明

對任意小的常數(shù)ε≥0，存在一個(gè)點(diǎn)Τ1∈且Τ1≥Τ0使得如下不等式成立

(13)

由系統(tǒng)(2)的第一個(gè)方程和條件(H)，當(dāng)t>Τ1時(shí)，

我們斷定

(14)

則可得

(15)

當(dāng)ε→0時(shí)，可得

(16)

從而，對任意小的ε>0，存在一個(gè)點(diǎn)Τ2∈使得x1(t)≥x1*-ε,t≥Τ2.于是,由系統(tǒng)(2)的第二個(gè)方程可得

應(yīng)用類似(16)的方法，可得

(17)

(18)

應(yīng)用引理1，可得

(19)

類似以上證明方法，不難得出

也即

(20)

當(dāng)ε→0時(shí)，可得

(21)

(22)

故性質(zhì)2證畢.

定理1 若條件(H1)-(H5)成立，則系統(tǒng)(2)是持久的.記集合Ω是系統(tǒng)(2)的所有解(x1(t),x2(t),u1(t),u2(t))Τ且滿足

?t∈.事實(shí)上，由命題1和2的證明結(jié)果可知，定理1是成立的并且Ω是系統(tǒng)(2)的一個(gè)不變集.

[1]Z.Liu,Persistence and periodic solution in two species competitive system with feedback controls[J].Biomath,2002(17):251-255.

[2]X.Liao,Z.Ouyang,and S.Zhou,Permanence of species in non-autonomous discrete Lotka-Volterra competitive system with delays and feedback controls[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics,2008,211(1):1-10.

[3]T.Zhang,Y.Li,and Y.Ye,Persistence and almost periodic solutions for a discrete fishing model with feedback control[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2011,16(3):1564-1573.

[4]M.Bohner and A.Peterson,Advances in Dynamic Equations on Time Scales[M].Birkh user,Boston,Mass,USA,2003.

[5]Y.K.Li,X.F.Han,Almost periodic solution for aN-species competition model with feedback controls on time scales[J].Journal of Applied Mathematics & Informatics,2013,31(1-2),247-262.

[6]Y.H.Zhi,Z.L.Ding,Y.K.Li,Permanence and Almost Periodic Solution for an Enterprise Cluster Model Based on Ecology Theory with Feedback Controls on Time Scales[J].Discrete Dynamics in Nature and Society,Vol.2013,Article ID:639138:14.

[7]H.T.Zhang,F.D.Zhang,Permanence of anN-species cooperation system with time delays and feedback controls on time scales[J].Journal of Applied Mathematics and Computing,2014,46(1-2):17-31.