解析法證明平面幾何問題探索

李萍

摘 要：在數學中，經常遇到不同類型的幾何證明題，我們可以利用初等幾何的有關定義、定理來處理，但技巧性比較強.如果采用解析法，可以使問題的思路清晰簡單，它的優(yōu)點是解決問題具有一般性和程序性.

關鍵詞：解析法；幾何問題；證明

一、平面幾何解析法的基本證明

平面幾何中，有一些基本結論，許多人知道，但不知道結論是如何來的。我們可以用解析法來證明。

例1.證明：三角形的三條高交于一點。

已知：AD，BE，CF分別是△ABC的三邊上的高。

即證明：（x3y2-x2y3）·（y4-y1）=-（x1y4-x4y1）·（y2-y3）

將上式整理得：y3y4（x1+x2）+y1y2（x3+x4）=x1y2y4+x2y1y3+x3y2y4+x4y1y3

注意到：y1=mx1，y2=mx2；y3=nx3；y3=nx4，代入整式得：

左邊=m2x1x2（x3+x4）+n2x3x4（x1+x2），右邊mnx1x2（x3+x4）+x3x4（x1+x2）

把上述韋達定理的結論代入得：

可見：左邊=右邊，故xQ=-xP，即AP=AQ。

三、平面幾何解析法的參數證明

例4.已知如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，M、N分別是AB、CD的中點，AD、BC的延長線交MN于E、F.求證：∠DEN=∠F。

分析：如圖4，建立坐標。

總體思路：設點A、B、C、D坐標后，求出直線AD、MN、BC的斜率，從而求出兩個角度的正切值，證明這兩個角度的正切值相等即可。

問題的關鍵是：如何設點C、D的坐標更方便？由已知條件AD=BC，而C、D兩點是相互獨立運動的，故把點C、D看作是圓周上的動點.設AD=BC=r，則C點可以看作是以B為圓心，r為半徑的圓周上的動點，類似看待D點，故，設C（a+rcosθ，rsinθ）、D（-a+rcosθ，rsinθ），

四、平面幾何解析法的延伸證明

證三點共線，常用的方法有：（1）先建立過兩點的直線方程，再驗證第三點也適合這個方程；（2）若能證得kAB=kBC，則A，B，C三點共線；（3）點Ai（Xi，Yi）（i=1，2，3）共線的充要條件為x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1=0。

證明三線共點，常用的方法有：（1）利用定比分點公式，分別求出三條線上某分點坐標，若求得相同，因直角坐標平面上的點和坐標一一對應，故三線共點，（2）三條互不平行直線li：Aix+Biy+Ci=0（i=1，2，3）若A1 B1 C1A2 B2 C2A3 B3 C3=0，則l1，l2，l3相交于一點。

證明諸點共圓，可先求出有關各點坐標，再利用兩點間距離公式證這點到某一定點的距離相等；也可先建立過三點的圓的方程，再證其余點適合圓的方程。

分析：以AD，AB為坐標軸，引進直角坐標系，因A、B、C、D各點坐標為已知，故可求出E，F兩點的坐標然后求出直線AE，BF的方程，它們的交點M坐標由此可求出，最后把點M的坐標代入正方形ABCD的外接圓方程，即可得證。

從以上可以看出，解析法證明平面幾何問題的優(yōu)點在于解決幾何問題時有一個比較固定的思考步驟，思路較明顯.由一系列的運算與推理即可得到證明的結果。實現幾何問題與代數問題的相互轉化，而這不正是數形結合的重要體現嗎？

參考文獻：

茹雙林.解析法證明平面幾何問題[J].中等數學，1997（03）.

編輯 鄭 淼