包絡(luò)軌跡圓在磁場中應(yīng)用的誤區(qū)

李剛

帶電粒子在有界磁場中的問題，在考查學(xué)生知識的同時(shí)，突出考查了學(xué)生的能力，是高考的熱點(diǎn)，也是平常教學(xué)中的難點(diǎn)。在解決此類問題時(shí)，包絡(luò)軌跡圓是一個(gè)行之有效的方法，但是，在應(yīng)用過程中，存在一個(gè)隱蔽的錯(cuò)誤，本文旨在探索包絡(luò)圓方法在應(yīng)用中的這個(gè)誤區(qū)。

【模型特征】帶電粒子從某一點(diǎn)以大小不變而方向不限定的速度射入勻強(qiáng)磁場中，把其軌跡連續(xù)起來觀察可看出是一個(gè)半徑不變的圓，這個(gè)圓與每個(gè)軌跡圓都是相切的，稱為包絡(luò)圓（如圖1）。解題時(shí)使用圓規(guī)可以快速畫出其軌跡，并且依托包絡(luò)圓，快速確定粒子到達(dá)的范圍，達(dá)到快速解答試題的目的。

【典例解析與誤區(qū)分析】例1.在距邊界L=16 cm處，有一個(gè)點(diǎn)狀的放射源s，它向各個(gè)方向發(fā)射正粒子，正粒子的半徑R為10 cm，求邊界上被正粒子打中的區(qū)域的長度。

（1）速度的大??；

（2）速度方向與y軸正方向夾角的正弦。

【分析】大量的粒子進(jìn)入磁場后，會形成無數(shù)個(gè)軌跡圓，若取+y方向入射粒子的軌跡圓，與邊界會出現(xiàn)三個(gè)交點(diǎn)a、b、c（如圖7），第一個(gè)交點(diǎn)a即為粒子離開磁場的位置，而b、c交點(diǎn)實(shí)際上是不存在的，如果不考慮這個(gè)虛實(shí)交點(diǎn)的問題，僅僅憑借包絡(luò)的圓軌跡是很容易取虛交點(diǎn)b或c，作出錯(cuò)誤的分析。明確這個(gè)誤區(qū)，對這個(gè)軌跡圓順時(shí)針進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，容易發(fā)現(xiàn)，軌跡圓與磁場上邊界相切交且與右邊界交于A點(diǎn)時(shí)，對應(yīng)的弦長OA最長（如圖8），從而其所對應(yīng)的時(shí)間也是最長的，即為條件給出的四分之一周期。

【結(jié)論】由以上分析可知，包絡(luò)圓的解法之所以存在誤區(qū)，是由于忽略了軌跡與邊界的虛實(shí)交點(diǎn)的判斷，針對這種情況，單圓旋轉(zhuǎn)法是破解之道，解題時(shí)，先用圓規(guī)畫出單圓軌跡，并且沿著粒子運(yùn)動(dòng)的方向從起點(diǎn)開始尋找虛實(shí)交點(diǎn)，快速確定粒子與邊界的實(shí)際交點(diǎn)，據(jù)此建立正確的幾何關(guān)系，解決問題。

編輯 鄭 淼