淺析多元函數(shù)Taylor公式的幾個(gè)應(yīng)用

殷建峰

（蘇州經(jīng)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 江蘇 蘇州 215009）

一、多元函數(shù)Taylor公式的引入

為了引入多元函數(shù)的Taylor公式，先介紹一種常見的單變量函數(shù)的Taylor公式。

定理1[1]若函數(shù)f（x）在[a，b]上有直到n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在（a，b）上（n+1）階導(dǎo)數(shù)存在，則?x，x0∈[a，b]，有

其中 ζ介于 x 與 x0之間：ζ=x0+θ（x-x0），0＜θ＜1。

（1.1）式稱為函數(shù)f（x）的Taylor公式，右端多項(xiàng)式稱為（fx）的泰勒多項(xiàng)式。而剩余部分

稱為 f的拉格朗日（Lagrange）余項(xiàng)，這樣（1.1）又稱為帶拉格朗日余項(xiàng)的Taylor公式，可簡(jiǎn)記為f

如果條件減弱為：函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)具有直到n階導(dǎo)數(shù)，則余項(xiàng)Rn（x）可以寫為Rn（x）=ο（（x-x0）n），其中（x-x0）→0，稱為佩亞諾（Peano）余項(xiàng)，則f（x）稱為帶有佩亞諾余項(xiàng)的Taylor公式。

此時(shí)（1.1.3）式稱為麥克勞林(Maclaurin)公式，根據(jù)Rn（x）的不同，麥克勞林公式又分帶有Lagrange余項(xiàng)的麥克勞林公式和帶有Peano余項(xiàng)的麥克勞林公式。

二元函數(shù)的Taylor公式，其方法是：作一個(gè)輔助函數(shù)，將二元函數(shù)化為一元函數(shù)，應(yīng)用已知的一元函數(shù)的Taylor公式和復(fù)合函數(shù)的微分法得到二元函數(shù)的Taylor公式。

為了將二元函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)Q（x0+h，y0+k）的函數(shù)值f（x0+h，y0+k）在點(diǎn)P（x0，y0）展成泰勒公式，作輔助函數(shù) u（t）=f（x0+th，y0+tk），0≤t≤1，即 u（t）=f（x,y），x=x0+th，y=y0+tk，0≤t≤1。

顯然有u（0）=f（x0，y0），u（1）=f（x0+h，y0+k）

于是，函數(shù) f（x0+h，y0+k）在點(diǎn) P（x0，y0）展成的Taylor公式就是一元函數(shù)u（t）在點(diǎn)0的Taylor公式（即Maclaurin公式）在t=1的值。

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（1.2.2）式稱為二元函數(shù) f（x，y）在 P（x0，y0）的Taylor公式。

以類似的方法，可以推廣出多元函數(shù)的Taylor公式（1.2）。

定理2 設(shè)D是Rn中的一個(gè)開集，a=（a1，a2，…an），h=（h1，h2，…h(huán)n），且[a，a+h]?D。若 f在點(diǎn) a 的領(lǐng)域內(nèi)有m+1階偏導(dǎo)數(shù)，則有式（1.2）成立，式中θ∈（0，1）

證明參見文獻(xiàn)[2]。

二、多元函數(shù)Taylor公式的應(yīng)用

多元函數(shù)Taylor公式具有廣泛的用途，本文從以下幾個(gè)方面舉例說明。

（一）在極限方面的應(yīng)用

對(duì)于特定型的極限問題，一般采用L′Hospital法則來求。但是對(duì)于一些多元的求導(dǎo)比較繁瑣，尤其是還要多次使用L′Hospital法則的情況，此時(shí)Taylor公式往往提供了比L′Hospital法則更為有效的求極限工具。

（二）在判別斂散性方面的應(yīng)用

（三）在近似計(jì)算方面的應(yīng)用

當(dāng)要求的算式不能得出它的準(zhǔn)確值時(shí)，即只能求出其近似值，這時(shí)Taylor公式是解決這種問題的好辦法。而這一方面的應(yīng)用在實(shí)際生活中比較廣泛，如在工程技術(shù)方面近似計(jì)算能幫助解決棘手問題或者軟件Mathematic可以分析泰勒余項(xiàng)的誤差、知道其近似精度等等（可參考文獻(xiàn)[3]）。

例2.3[4]求隱函數(shù)x+2y+xy+z-2ez-1+1=0在（0，0，1）點(diǎn)領(lǐng)域中的二次近似顯式。

解：令z=1+a1x+b1y+c1x2+d1xy+e1y2

（四）在解析幾何方面的應(yīng)用

例 2.4[5]求點(diǎn) p（x0，y0，z0）到平面 πAx+By+Cz+D=0的距離（其中 A2+B2+C2≠0）。

解：由Taylor定理可知：

設(shè)po⊥平面π，垂足為o，點(diǎn)o的坐標(biāo)為（x，y，z），則

（五）在線性代數(shù)方面的應(yīng)用

Taylor公式的前三項(xiàng)與線性代數(shù)的知識(shí)有著很緊密的聯(lián)系，下面我們用向量與矩陣形式重新表達(dá)Taylor公式（2.5），并應(yīng)用（2.5）式解決相關(guān)的問題。

定義1[6]在一個(gè)開區(qū)域D?Rn上的多元二次連續(xù)可微函數(shù)，令點(diǎn)帶Peano余項(xiàng)的二階Taylor展開式為：

令函數(shù)的增量為Δf=f（x0+Δx）-f（x0），當(dāng)Δf（x0）≠0時(shí)，可以取不同的Δx，使得Δf取到正值與負(fù)值。因此當(dāng)x0是可微函數(shù)f的一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，x0必是f的駐點(diǎn)（又稱臨界點(diǎn)），即有

解：由于Δu（0，0，0）為零向量，故不能應(yīng)用梯度方向是函數(shù)增長(zhǎng)最快的方向性質(zhì)求解。則考慮沿某單位方向 l=（α，β，γ）函數(shù) u 的變化 u（tα，tβ，tγ）-u（0，0，0），其中 t是參數(shù)，

令 φ（t）=u（tα，tβ，tγ），由 Taylor公式展開有

由于 a＞b＞c 及 α2+β2+γ2=1，當(dāng) t＞0 充分小時(shí)，沿方向 l=（0，0，±1）φ（t）-φ（0）最大，即函數(shù) u 增加最快。

多元函數(shù)Taylor公式的應(yīng)用遠(yuǎn)不止這些，例如還可利用其計(jì)算極值、證明不等式等，囿于篇幅，這里不再展開說明。

［1］歐陽光中.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2007.

［2］常庚哲，史濟(jì)懷.數(shù)學(xué)分析教程[M].北京：高等教育出版社，2004.

［3］邢永麗，陳建春.泰勒級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)用[J].湘潭師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2004（1）：5-8.

［4］吳炳熙.多元函數(shù)泰勒公式的應(yīng)用[J].工科數(shù)學(xué)，1992（4）：115-116.

［5］伊水仿.一道幾何題的教學(xué)處理[J].高等數(shù)學(xué)研究，2003（1）：7，31.

［6］謝惠民，易法槐，等.數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義（下）[M].北京：高等教育出版社，2005.