無記憶功放的預(yù)失真數(shù)學(xué)模型

侯道琪，楊 正

(電子工程學(xué)院，合肥 230037)

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無記憶功放的預(yù)失真數(shù)學(xué)模型

侯道琪，楊 正

(電子工程學(xué)院，合肥 230037)

研究了無記憶功放的非線性特性，建立了正交基擬合模型，運(yùn)用內(nèi)積法求解了模型系數(shù)，進(jìn)行了擬合研究和仿真。針對(duì)預(yù)失真處理，分別建立了偽記憶模型和偽記憶深化模型，運(yùn)用了序貫最小二乘法，方便、高效地實(shí)現(xiàn)多模型中多個(gè)未知參數(shù)的求解，實(shí)現(xiàn)了功放的輸入/輸出線性化，進(jìn)行了擬合仿真。

無記憶功放；預(yù)失真；模型；偽記憶

0 引 言

信號(hào)功率放大是電子通信系統(tǒng)的關(guān)鍵功能之一，其實(shí)現(xiàn)模塊稱為功率放大器(PA)，簡稱功放[1]。功放輸出信號(hào)相對(duì)于輸入信號(hào)可能產(chǎn)生非線性變形，此現(xiàn)象稱為非線性失真。功率放大器是無線通信系統(tǒng)的重要組成部分，隨著數(shù)字信號(hào)處理能力的不斷提升，數(shù)字預(yù)失真技術(shù)將會(huì)是以后的重點(diǎn)發(fā)展方向。預(yù)失真的基本思想是在放大器前構(gòu)造放大器的逆特性，使預(yù)失真器和放大器的聯(lián)合特性呈線性。

1 問題分析

對(duì)于攻放而言,如果某一時(shí)刻的輸出僅與此時(shí)刻的輸入相關(guān)，則稱此攻放為無記憶功放。

本文主要是對(duì)無記憶功放的非線性特性進(jìn)行研究并建立預(yù)失真模型，從而使得功放能夠達(dá)到線性化要求的同時(shí)，滿足“輸出幅度限制”和“功率最大化”等各條件的約束。首先針對(duì)功放的非線性特性進(jìn)行研究，建立非線性特性擬合模型，進(jìn)而建立預(yù)失真模型，使得功放滿足多目標(biāo)優(yōu)化，最后能夠?qū)λＰ瓦M(jìn)行歸一化均方誤差(NMSE)評(píng)價(jià)。

2 無記憶功放的非線性特性數(shù)學(xué)模型的建立與求解

本文主要是為了通過預(yù)失真數(shù)學(xué)模型改進(jìn)功放的非線性特性，首先就需要對(duì)功放的非線性變形的具體形式進(jìn)行深入的研究。通過將輸入信號(hào)和輸出信號(hào)的幅度和相位進(jìn)行分離，得出結(jié)論：功放的輸入/輸出呈現(xiàn)非線性的變化，然而相位的變化呈現(xiàn)良好的線性特性。因此，在下面的分析研究中，著重對(duì)功放的幅度非線性特性進(jìn)行研究。

2.1 無記憶功放的非線性特性分析和建立模型

2.1.1 正交基擬合模型的分析

根據(jù)函數(shù)逼近的Weierstrass定理可知，對(duì)解析函數(shù)G(x)總可以用一個(gè)次數(shù)充分大的多項(xiàng)式逼近到任意程度，故可采用計(jì)算簡單的多項(xiàng)式表示非線性函數(shù)[2]。

多項(xiàng)式擬合階數(shù)原則(PFOP)：模型多項(xiàng)式的階次取得太低，擬合就粗糙；階次太高，擬合“過頭”，使數(shù)據(jù)噪聲也被納入模型。因此，在多項(xiàng)式擬合中，階數(shù)的確定要遵循以下2個(gè)基本條件：

(1)χ2量與自由度相近；

(2) 如果Q(χ2,N-(n+1))=1-P(χ2<(N-n-1))與0.5接近，則認(rèn)為階次適當(dāng)。

經(jīng)過對(duì)功放非線性特性的擬合多項(xiàng)式進(jìn)行χ2量與自由度差值的仿真計(jì)算，得到圖1中χ2量與自由度差圖，可以看出在多項(xiàng)式擬合階數(shù)接近6時(shí)，基本滿足PFOP中的條件(1)；進(jìn)而對(duì)條件(2)進(jìn)行驗(yàn)證，得到圖1中擬合良好度圖、擬合殘差圖和擬合偏差圖，可以看出在多項(xiàng)式擬合階數(shù)為5時(shí)是最理想的。

圖1 多項(xiàng)式擬合階次確定

2.1.2 正交基擬合模型的建立

(1)

式中：k=0,1,…。

表1 輸出函數(shù)的正交基

從而得到正交基的多項(xiàng)式表達(dá)式為:

(2)

2.2 無記憶功放的非線性特性模型的求解

對(duì)正交基擬合模型的求解可以通過內(nèi)積的計(jì)算方式:

(3)

得到z(t)中各項(xiàng)φi(x)的參數(shù)hi，如表2所示。

表2 正交基擬合模型輸出函數(shù)的系數(shù)值

因此，得到的正交基擬合模型為：

z(t)=0.27φ5(x)+(-0.75)φ4(x)+ 0.85φ3(x)+(-1.64)φ2(x)+ 3.72φ1(x)+(-0.54)φ0(x)

(4)

依據(jù)正交基擬合模型得到的對(duì)比曲線如圖2所示。

圖2 正交基模型擬合對(duì)比曲線

在所建立的正交基擬合模型的基礎(chǔ)上，運(yùn)用NMSE對(duì)所得到的正交基擬合模型進(jìn)行模型準(zhǔn)確度評(píng)價(jià)，得到正交基擬合模型的評(píng)估值為-62.75dB。

3 無記憶功放預(yù)失真數(shù)學(xué)模型的建立與求解

在無記憶條件下研究預(yù)失真模型，最關(guān)鍵的就是使得功放非線性的特性在加入預(yù)失真模塊后能夠?qū)崿F(xiàn)線性化。其次還應(yīng)充分考慮功放最大輸出幅度不能超過功放的可承受范圍[3]。

在建立預(yù)失真模型得到理論的功放線性化輸出的基礎(chǔ)上，通過真實(shí)輸入輸出數(shù)據(jù)的實(shí)驗(yàn)，得到模型的結(jié)果數(shù)據(jù)。進(jìn)而將輸出結(jié)果與理論模型進(jìn)行誤差分析，得到預(yù)失真補(bǔ)償后的歸一化均方誤差。

本文分析研究了無記憶功放與有記憶功放的輸入/輸出數(shù)據(jù)?？梢钥闯觯诖嬖谟洃浀那闆r下，功放輸入/輸出信號(hào)的幅度和相位都表現(xiàn)出較好的線性特性。通過分析可以說明，如果“人為”將無記憶性的功放作為有記憶功放進(jìn)行處理，也就是在預(yù)失真處理中，使得當(dāng)前瞬時(shí)信號(hào)以及該信號(hào)之前的若干個(gè)信號(hào)共同作用于輸出信號(hào)，能夠達(dá)到輸入/輸出呈線性特性。

3.1 偽記憶模型的建立與求解

當(dāng)無記憶功放建立偽記憶模型時(shí)，首先需要進(jìn)行的就是記憶深度的研究和確定。本文對(duì)記憶深度的確定問題建立了2條基本原則，分別是誤差最小化原則(MEP)和操作最簡化原則(SOP)。

誤差最小化原則(MEP)：所選取的記憶深度應(yīng)為記憶深度的可選取范圍，并能夠使得歸一化均方誤差基本接近或到達(dá)該可選范圍的誤差最小值。

操作最簡化原則(SOP)：所選取的記憶深度應(yīng)為記憶深度的可選取范圍，并能夠使得在操作實(shí)施中該記憶深度基本接近或到達(dá)可選范圍的最簡，即為記憶深度最小值。

依據(jù)以上2條基本原則，通過數(shù)據(jù)仿真結(jié)果，可以確定記憶深度M為3，進(jìn)而可以得到偽記憶模型為：

(5)

對(duì)于該模型的使用，本文運(yùn)用矩陣逆運(yùn)算方法，可以簡單方便地完成偽記憶模型的系數(shù)求解。

(1) 建立運(yùn)算矩陣

P·H=O

(6)

完成以上對(duì)模型的求解，可以得到偽記憶模型的系數(shù)值(分別如表3所示)。

表3 偽記憶模型系數(shù)值

可以得到確切系數(shù)的模型為：

(7)

(3) 依據(jù)偽記憶模型，得到的信號(hào)是否通過預(yù)失真模塊的放大效果對(duì)比曲線如圖3所示。

圖3 通過預(yù)失真模塊前后功放的放大效果對(duì)比圖

(4) 將偽記憶模型進(jìn)行NMSE準(zhǔn)確度評(píng)價(jià)，得到偽記憶模型的評(píng)估值為-20.33 dB。

3.2 偽記憶深化模型的建立與求解

從對(duì)偽記憶模型的NMSE評(píng)價(jià)值可以看出，該模型的準(zhǔn)確度相對(duì)較低，從圖中也可以清晰地看出這一現(xiàn)象。為了進(jìn)一步增強(qiáng)偽記憶模型的應(yīng)用價(jià)值和可信度，在其基礎(chǔ)上同時(shí)考慮輸入信號(hào)的高階多項(xiàng)式，從而使得考慮因素更全面、更深入。得到偽記憶深化模型[4]：

(8)

(9)

針對(duì)本問題大數(shù)據(jù)量的特點(diǎn)，無法一次完成計(jì)算。本文創(chuàng)新性地運(yùn)用序貫最小二乘估計(jì)(基本流程如圖4所示)，給較大的數(shù)據(jù)量加上“時(shí)間標(biāo)簽”，人為地將全部數(shù)據(jù)作為隨時(shí)間逐漸增加的數(shù)據(jù)流來處理，不必對(duì)全部數(shù)據(jù)進(jìn)行批處理，從而達(dá)到對(duì)偽記憶深化模型的系數(shù)求解。

圖4為求解模型系數(shù)估計(jì)量的更新過程，其中粗箭頭代表了矢量處理[5]。

圖4 序貫最小二乘估計(jì)量流程圖

(1) 建立初始矩陣

設(shè)定記憶深度為M，最高階次為K，初始時(shí)選擇N個(gè)數(shù)據(jù)，則構(gòu)造一個(gè)N×(MK)的矩陣：

(10)

Y[N]=[y(n)y(n+1) …y(n+N-1)]

(11)

(2) 計(jì)算批估計(jì)量

(12)

通過上式可以得出參數(shù)的估計(jì)量。

(3) 參數(shù)估計(jì)量的更新

在已知參數(shù)集的基礎(chǔ)上，每增加一行新的數(shù)據(jù)，參數(shù)估計(jì)量進(jìn)行一次更新，新的估計(jì)量在老的估計(jì)的基礎(chǔ)上增加一個(gè)修正項(xiàng)。修正項(xiàng)隨著數(shù)據(jù)的增多而逐漸下降，從而可以說明，隨著數(shù)據(jù)的增加，參數(shù)的估計(jì)量越精確化。

進(jìn)行參數(shù)估計(jì)量更新的運(yùn)算：

(13)

(14)

Σ[n-1]=(XT[n]C-1[n]X[n])-1

(15)

(16)

通過計(jì)算，得到了記憶深度為3偽記憶深化模型的系數(shù)值如表3所示。

表3 偽記憶深化模型的系數(shù)值

依據(jù)偽記憶模型，得到信號(hào)是否通過預(yù)失真模塊的放大效果對(duì)比曲線，如圖5所示。

圖5 通過預(yù)失真模塊前后功放的放大效果對(duì)比圖

將偽記憶模型進(jìn)行NMSE準(zhǔn)確度評(píng)價(jià)，得到偽記憶模型的評(píng)估值為-55.34dB。

4 結(jié)束語

本文創(chuàng)造性地提出了多項(xiàng)式擬合階數(shù)原則，將模糊問題定量化，在一定程度上減少了階數(shù)確定的盲目性。能夠?qū)?fù)雜問題簡單化，極大地提高了運(yùn)算效率，巧妙地將有記憶功放的特性應(yīng)用于無記憶功放，實(shí)現(xiàn)了簡便的線性化特性，提高了預(yù)失真處理的效率和精度。但是，如何使模型大眾化，普及到非專家化的科研工作者，進(jìn)一步加強(qiáng)模型的方便和實(shí)用是最有意義的改進(jìn)方向。

[1]RavivRaich.Orthogonalpolynomialsforpoweramplifiermodelingandpredistorterdesign[J].IEEETransactionsonVehicularTechnology,2004,53(5):1468- 1479.

[2]MorganDennisR.AgeneralizedmemorypolynomialmodelfordigitalpredistortionofRFpoweramplifiers[J].IEEETransactionsonSignalProcessing,2006,54(10):3852-3860.

[3] 羅鵬飛.統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理[M].北京：電子工業(yè)出版社，2001.

[4] 陳亞勇.MATLAB信號(hào)處理詳解[M].北京：人民郵電出版社，2001.

[5] 鄔學(xué)軍.數(shù)學(xué)建模教程[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2009.

Pre-distortion Mathematical Model of Memoryless Power Amplifier

HOU Dao-qi,YANG Zheng

(Electronic Engineering Institute,Hefei 230037,China)

This paper studies the nonlinear characteristic of memoryless power amplifier (PA),sets up the orthogonal basis fitting model,uses inner product method to solve the model parameters,performs the fitting research and simulation,aiming at pre-distortion processing,respectively establishes the false memory model and in-depth false memory model,adopts sequence least squares method,can solve multiple unknown parameters in multi-model conveniently and effectively,realizes the input/output linearization of power amplifier,performs the fitting simulation.

memoryless power amplifier;pre-distortion;model;false memory

2015-07-01

TN722.75

A

CN32-1413(2015)04-0056-06

10.16426/j.cnki.jcdzdk.2015.04.015