工程圖學(xué)斜軸測投影矩陣變換算法

閆 冠，王瑜蕾，侯 磊，楊文挺，鄒飛舟

（1.吉林大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，吉林長春130022；2.吉林省農(nóng)業(yè)機(jī)械研究院，吉林長春130022；3.長春奧普光電技術(shù)股份有限公司，吉林長春130033）

工程圖學(xué)斜軸測投影矩陣變換算法

閆 冠1，王瑜蕾1，侯 磊1，楊文挺2，鄒飛舟3

（1.吉林大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，吉林長春130022；2.吉林省農(nóng)業(yè)機(jī)械研究院，吉林長春130022；3.長春奧普光電技術(shù)股份有限公司，吉林長春130033）

用矩陣變換算法研究了軸測投影的圖形問題學(xué)，探討了錯(cuò)切變換的有效性和多樣性，通過改變變換矩陣中的參數(shù)值和錯(cuò)切變換的矩陣變換組合方式，生成不同軸間角和軸向伸縮系數(shù)的斜軸測投影圖.發(fā)現(xiàn)錯(cuò)切變換結(jié)果是多種多樣的，可以生成滿足不同工程需要的斜軸測投影圖，為教學(xué)和編程提供了一種有效的制圖方法.

斜軸測投影；矩陣變換；錯(cuò)切；算法

常用的工程圖樣有正投影圖、軸測投影圖2種.正投影圖是把物體置于三維投影體系中，用正投影方法向投影面投射得到多個(gè)二維平面圖形，用來表達(dá)空間形體的三維特征.優(yōu)點(diǎn)是能準(zhǔn)確、完整地反應(yīng)物體的形狀、大小和相對位置關(guān)系，但是二維平面圖形的立體感不強(qiáng)，不具備讀圖基礎(chǔ)的人難以看懂.而軸測投影圖表達(dá)同一形體時(shí)則能彌補(bǔ)這一不足［1］.軸測投影圖與藝術(shù)圖畫有類似效果，如立體感強(qiáng)、比較直觀、容易看懂.但軸測投影圖又不是藝術(shù)圖畫，它是按照一定的投影規(guī)律得到的投影圖.軸測投影圖可作為輔助圖樣，用來幫助人們讀懂空間形體的結(jié)構(gòu)，多用于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、構(gòu)思建模、產(chǎn)品說明書及廣告等.立體結(jié)構(gòu)不同，可以選擇適合的軸測投影圖來表達(dá)，以滿足不同的工程需要.本文著重探討工程圖學(xué)斜軸測投影矩陣變換算法以及相關(guān)的問題.

1 軸測投影的基本概念

將空間形體連同其參考直角坐標(biāo)系，沿不平行于任一坐標(biāo)平面的方向，用平行投影法將其投射在單一投影面上，得到的圖形就是軸測投影圖［2］.在三視圖中，空間形體在投影體系中相對于投影面放正，使形體上盡量多的線、面相對于投影面處于特殊位置.因此，每一個(gè)視圖都反映形體的二維特征，體現(xiàn)形體上2個(gè)方向的坐標(biāo)尺寸，但缺乏立體感.而在軸測投影圖中改變形體相對軸測投影面的方位，使X，Y和Z 3個(gè)坐標(biāo)軸方向相對投影面都不積聚，做正投影（如圖1（a）所示）；或某一坐標(biāo)面與軸測投影面平行，但改變投射方向，做斜投影（如圖1（b）所示）.此時(shí)空間形體的參考直角坐標(biāo)軸與投射方向不再平行，形體上3個(gè)沿坐標(biāo)軸方向結(jié)構(gòu)都不積聚，所以投射在軸測投影面的投影圖具有很強(qiáng)的立體感.

2 圖形矩陣變換規(guī)則

無論三視圖還是軸測投影圖都是二維平面圖形，圖形主要是由線框構(gòu)成，線由若干點(diǎn)組成，所以圖形是不同坐標(biāo)值的點(diǎn)的集合.研究圖形變換就歸結(jié)為研究點(diǎn)的變換問題，在諸多變換方法中選擇矩陣變換法.

2.1齊次坐標(biāo)

為了能用矩陣的形式統(tǒng)一地描述圖形變換，采用齊次坐標(biāo)的形式來描述空間的點(diǎn)［3－4］.點(diǎn)、線、面的齊次坐標(biāo)表示對于描述和操作圖示物體是相當(dāng)有用的.在n維空間中存在一個(gè)問題，在n＋1維空間中同樣存在，而在n＋1維空間中卻常常比n維空間中較易獲得結(jié)果.在n＋1維空間中證明通過n＋1維空間向n維空間的投影就是關(guān)于n維空間的問題.

一般情況，把（x＊，y＊，H）稱作點(diǎn)（x，y）的齊次坐標(biāo).其中H為任意實(shí)數(shù)，且x＊＝xH，y＊＝y(tǒng)H.當(dāng)H＝1時(shí)x＊＝x，y＊＝y(tǒng)，此時(shí)（x，y，1）為（x，y）的正?；凝R次坐標(biāo).這種用三維空間點(diǎn)來研究二維空間點(diǎn)的方法可以推廣為用n＋1維的點(diǎn)來研究n維點(diǎn)，統(tǒng)稱為齊次坐標(biāo)法.

2.2三維圖形變換

應(yīng)用齊次坐標(biāo)法，對于三維空間幾何體中各點(diǎn)的位置坐標(biāo)用4個(gè)分量來表示，且變換矩陣為4×4方陣［3－4］.則有

設(shè)變換前點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y，z，1），變換后點(diǎn)的坐標(biāo)為（x＊，y＊，z＊，H）.正?；幚砗簏c(diǎn)的坐標(biāo)為（x′，y′，z′，1），則空間點(diǎn)的三維變換為

變換矩陣T可以分為4個(gè)子矩陣，即

4個(gè)子矩陣的作用如表1所示.

由表1可以看出，利用4個(gè)子矩陣可實(shí)現(xiàn)比例、反射、旋轉(zhuǎn)，還可實(shí)現(xiàn)平移和透視變換，這里僅討論錯(cuò)切變換.

3 圖形矩陣變換結(jié)果

在表1中顯示4×4矩陣中的左上角3×3子矩陣可以實(shí)現(xiàn)錯(cuò)切變換.其中4×4矩陣中主對角線上4個(gè)參數(shù)是影響比例變換的因子，不需要縮放時(shí)，主對角線各參數(shù)均賦值為1.不平移也不透視變換時(shí)1×3和3×1子矩陣賦值為0［3－4］.那么矩陣中剩余6個(gè)參數(shù)B，C，D，F(xiàn)，H和I中至少要有一個(gè)不為0.在表2中列出只有一個(gè)參數(shù)不為零時(shí)的變換結(jié)果.

由表2可見，D≠0時(shí)變換矩陣形式，則新坐標(biāo)和原始坐標(biāo)的關(guān)系為（4）式，變換后新坐標(biāo)值為（5）式.由（5）式可知，y′＝y(tǒng)和z′＝z變換前后一致，而x′＝x＋Dy說明x方向新舊坐標(biāo)發(fā)生了變化，而且是和y坐標(biāo)相關(guān).當(dāng)y＝0時(shí)，x方向坐標(biāo)變換前后一致，即落在xoz面上的點(diǎn)不動(dòng)；當(dāng)y≠0時(shí)，隨著y坐標(biāo)值越大x′偏離x距離越遠(yuǎn)，呈線性關(guān)系.

同理，當(dāng)F≠0，變換矩陣為（6）式，變換后新坐標(biāo)值為（7）式，只有z方向坐標(biāo)變化并與y坐標(biāo)相關(guān).當(dāng)y＝0時(shí)，z方向坐標(biāo)不變，即落在xoz面上的點(diǎn)不動(dòng)；當(dāng)y≠0時(shí)，隨著y坐標(biāo)值越大z′偏離z距離越遠(yuǎn)，呈線性關(guān)系.

表2顯示當(dāng)D≠0和F≠0時(shí)空間形體上與xoz重合或平行的面向xoz面投射時(shí)反映實(shí)際形狀.這個(gè)結(jié)論符合斜二等測軸測圖的投射結(jié)果.

4 斜軸測投影圖的投影變換

斜軸測投影圖就是物體經(jīng)過2次錯(cuò)切變換，再做正投影變換而完成的［5－9］.2次錯(cuò)切變換分別是當(dāng)D≠0時(shí)進(jìn)行一次錯(cuò)切變換；當(dāng)F≠0時(shí)再做一次錯(cuò)切變換.軸測投影圖是空間形體向單一投影面投影，所以經(jīng)過2次錯(cuò)切變換后再向xoz面投射.此時(shí)所需的變換矩陣為（8）式.經(jīng)過3次變換得到了斜軸測投影變換矩陣的一般形式（見（9）式）.

空間形體置于坐標(biāo)系中如圖2（a）所示；取D＜0，沿x軸負(fù)向錯(cuò)切，結(jié)果如圖2（b）所示；在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行第二次錯(cuò)切變換，取F＜0，沿z軸負(fù)向錯(cuò)切，結(jié)果如圖2（c）所示.變換結(jié)果是空間形體上平行于xoz坐標(biāo)面的平面依然平行于xoz坐標(biāo)面，空間形體向xoz坐標(biāo)面投射會(huì)反映實(shí)形.當(dāng)D＝F時(shí)，錯(cuò)切量相同，投影后軸間角∠xoz＝90°，∠xoy＝∠yoz＝135°，通過計(jì)算，當(dāng)D＝F＝－0.353 5時(shí)就是最常見的斜二等測軸測圖的參數(shù)值，變換矩陣為

5 結(jié)束語

軸測投影圖有正軸測投影圖和斜軸測投影圖，斜軸測投影圖又有多種形式.通過矩陣變換算法中的錯(cuò)切變換和正投影變換，可以將組成立體的空間點(diǎn)坐標(biāo)變換成軸測投影坐標(biāo).矩陣中的對應(yīng)參數(shù)值不同，可以實(shí)現(xiàn)多種斜軸測投影的結(jié)果，即錯(cuò)切變換可以是沿原坐標(biāo)系3個(gè)軸向6個(gè)方位的變換.6個(gè)參數(shù)B，C，D，F(xiàn)，H和I值的不同決定方向及錯(cuò)切量，即參數(shù)值的正負(fù)決定錯(cuò)切的方向，參數(shù)值的大小決定錯(cuò)切量的大小.因此經(jīng)過2次錯(cuò)切變換后，再進(jìn)行正投影變換可以生成不同的斜軸測投影圖，以滿足多種多樣的工程圖樣的需要.其中B＝0，C＝0，D＝－0.353 5，F(xiàn)＝－0.353 5，H＝0和I＝0時(shí)，變換后就得到斜二等測軸測投影圖.

［1］ 侯洪生.機(jī)械工程圖學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，2009：121－133.

［2］ 中華人民共和國國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局.GB／T 13361－2012技術(shù)制圖通用術(shù)語［S］.北京：中國標(biāo)準(zhǔn)出版社，2012：3.

［3］ 焦永和.計(jì)算機(jī)圖形學(xué)教程［M］.北京：北京理工大學(xué)出版社，2004：109－120.

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［9］ 何援軍.圖形變換的幾何化表示——論圖形變換和投影的若干問題之一［J］.計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)，2005，17（4）：723－728.

Matrix transformation algorithm on cavalier projection in engineering graphics

YAN Guan1，WANG Yu－lei1，HOU Lei1，YANG Wen－ting2，ZOU Fei－zhou3
（1.College of Mechanical Science and Engineering，Jilin University，Changchun 130022，China；2.Jilin Provincial Academy of Agricultural Machinery，Changchun 130022，China；3.Changchun UP Optotech Co.Ltd.，Changchun 130033，China）

It makes use of the matrix transformation algorithm to research the graphics question on axonometric projection，and the service quality and validity of shear transformation is discussed in this paper.The result shows that：by means of changing the parameter value in transformation matrix and matrix transformation combination style of shear transformation，the different cavalier projection drawing which of different inter axial angle and different coefficient of axial deformation could be calculated.The different results of shear transformation could generate different axonometric projection for any engineering drawing need.It provides an effective method for the teaching and programming.

cavalier projection；matrix transformation；shear；algorithm

TG 801 ［學(xué)科代碼］ 460·2030 ［

］ A

（責(zé)任編輯：石紹慶）

1000－1832（2015）01－0059－05

10.16163／j.cnki.22－1123／n.2015.01.012

2014－02－25

吉林省科技發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目（20090202）.

閆冠（1965—），女，副教授，主要從事畫法幾何、工程圖學(xué)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)及測量研究；通訊作者：侯磊（1965—），男，副教授，主要從事材料表面精加工及精密測量研究.