程超,穆榮軍,韋常駐,黃盤興
(哈爾濱工業(yè)大學航天學院,黑龍江哈爾濱150001)
亞軌道可重復使用運載器(suborbital reusable launch vehicle,SRLV)是指可以重復使用的,能夠自由地往返于太空與地球之間的多用途航天器。由于SRLV的再入返回過程具有飛行包線大,飛行馬赫數(shù)變化范圍大(Ma=1.0~7.0),機動性強(存在空中大調(diào)姿轉彎),飛行約束強(法向過載、再入攻角和俯仰角及控制量限制),操縱機構復雜(氣動舵面和反作用控制系統(tǒng)等多種操縱機構),氣動特性復雜(飛行高度和速度的過大變化使得氣動參數(shù)變化劇烈),不確定性強等特點,使得動力學建模、氣動計算和飛行控制等問題成為SRLV領域內(nèi)的研究熱點和難點。其中SRLV動力學模型的建立和分析是重要分系統(tǒng)之一,也是SRLV能夠安全可靠地飛行并完成既定任務的重要保證[1]。
線性理論一直是SRLV動力學建模和分析的首要選擇,然而這種把非線性系統(tǒng)模型近似化的線性方法,需要一定的假設條件,并受到特定的約束和限制。在 SRLV再入返回過程中,由于SRLV具有強動力學耦合、氣動耦合、慣性耦合和超機動等特性,一些假設和限制條件不一定成立,SRLV的動力學模型不能簡單的近似為一個線性模型,只能作為非線性系統(tǒng)進行設計與分析[2]。但是相對于線性系統(tǒng)來說,基于非線性系統(tǒng)的動力學建模和控制系統(tǒng)設計具有很多的局限性,例如需要模型足夠精確。已經(jīng)有很多成熟的方法可以解決飛行器的非線性動力學建模與分析問題[3]。在應用這些方法之前,就需要考慮非線性系統(tǒng)設計帶來的困難與線性處理帶來的誤差之間的協(xié)調(diào)關系,這就引入了一個重要的問題—“飛行器動力學系統(tǒng)的非線性程度有多少”。如果一個系統(tǒng)的非線性程度很弱的話,可以采用近似線性化的方法進行動力學的建模與分析,但當一個系統(tǒng)具有強非線性和耦合性時,就需要更加復雜的非線性理論進行模型的建立和分析了。在國外,Junkins等[4]首先提出了非線性指數(shù)理論,并應用于判斷不同軌道坐標的選取引起的非線性。Orman等[5]以F-16為模型,研究了非線性指數(shù)理論在飛行器動力學模型分析上的應用。
本文首先詳細分析了非線性指數(shù)基本原理和方法,然后將其拓展應用到飛行器動力學模型,最后結合SRLV再入過程的特性,以靜態(tài)和動態(tài)非線性指數(shù)分析了SRLV再入返回過程的非線性程度。
定義一個非線性模型為
式中:f(x)是可微的向量函數(shù),x∈Rn,y∈Rm。
由Δxmax限定的區(qū)域是以為中心,Δxmax為半徑的一個區(qū)間。此區(qū)域通過式(1)映射成不同形狀,形成變量y的取值范圍,如圖1所示。這個映射過程,可能是線性變化的,也可能是非線性的,變量y的線性近似表達式為[5]
圖1 二維非線性映射Fig.1 Two-dimensional nonlinear mapping
在鄰域‖Δx‖≤Δxmax的范圍內(nèi),非線性模型的線性近似程度,可以通過A的偏差量來計算:
式中:‖·‖為弗羅貝尼烏斯范數(shù)。
非線性指數(shù)NI是無量綱量。當非線性指數(shù)NI<10-2時,即小于“1%”的系統(tǒng)非線性,意味著在鄰域范圍內(nèi),x到y(tǒng)的映射過程中,式(2)的非線性不明顯;當NI≥1時,代表系統(tǒng)已經(jīng)“100%”偏離了線性化估計。
將非線性模型擴展為一個狀態(tài)空間模型為
式中:x∈Rn為狀態(tài)矢量,u∈Rr為輸入矢量,y∈Rm為輸出矢量,為系統(tǒng)矩陣,為輸入矩陣,為輸出矩陣,為直接傳遞矩陣。
對式(5)進行線性化,得
4個動態(tài)非線性指數(shù)為
靜態(tài)和動態(tài)非線性指數(shù)不僅能夠系統(tǒng)量化狀態(tài)空間模型的非線性程度,還表明了狀態(tài)空間模型非線性的來源,即初始狀態(tài)引起的非線性。
亞軌道可重復使用運載器是垂直發(fā)射,與上面級分離后,通過翻轉進行姿態(tài)調(diào)整,將速度和姿態(tài)角等因素調(diào)整到合適的再入條件,返回原發(fā)射場。
SRLV再入段,對縱向運動可以進行調(diào)整的執(zhí)行機構有:1)阻力板,參與俯仰控制,再入過程中一般為定值;2)體襟翼,機身尾段凸出部分,可作為升降舵使用,參與俯仰控制[1]。
本文僅研究可重復使用運載器再入段的縱向運動,為了簡化分析,假定側向無運動,側向運動參數(shù)為零,縱向非線性運動方程為
式中:V為飛行器的飛行速度,ωz為本體坐標系相對于發(fā)射坐標系的轉動角速度在本體系z軸上的分量,α為攻角,?為俯仰角,Iz為轉動慣量,δz為操縱機構,q為動壓,S為特征面積,l為特征長度,g為重力加速度,cx為阻力系數(shù),mz(ωz)為滾轉阻力力矩系數(shù),在工程計算中可以認為是一個常值,cy(α)和cy(δz)分別為攻角和舵偏引起的升力系數(shù),mz(α)和mz(δz)分別為攻角和舵偏引起的俯仰力矩系數(shù)[7]。
從式(10)可以看出,SRLV縱向運動模型的非線性強弱主要取決于氣動參數(shù)的變化。文獻[8]給出了X-34的氣動參數(shù)變化,采用神經(jīng)網(wǎng)絡來擬合氣動力和氣動力矩系數(shù)。在工程上,一般通過風洞試驗,測得不同攻角和馬赫數(shù)下的氣動數(shù)據(jù)[9]。SRLV在距離地面35 km開始再入飛行,α的取值范圍為[ -10°,35°],Ma的取值范圍為[1.0,7.0],δz的取值范圍為 [ -30,30]。隨著攻角和馬赫數(shù)的變化,阻力系數(shù)cx、升力系數(shù)cy(α)和δz=-20升力系數(shù)cy(δz)的變化曲線如圖2~4所示。
圖2 阻力系數(shù)變化曲線Fig.2 Resistance coefficient curve
圖3 升力系數(shù)變化曲線Fig.3 Lift coefficient curve
圖4 δz=-20升力系數(shù)變化曲線Fig.4 Lift coefficient curve at δz=-20
從圖中可以看出,當Ma<3時,阻力系數(shù)、升力系數(shù)呈現(xiàn)不規(guī)則變化,非線性較強。這種情況符合工程實際,在低馬赫數(shù)時,空氣是不可壓縮的介質(zhì),隨著馬赫數(shù)的增加,壓縮性的影響就逐漸顯著起來,氣動系數(shù)的變化逐漸趨于平緩。
經(jīng)過雅克比線性化后,可以將式(10)的線性模型為
其中:
矩陣A和B中的微分量可表示為
在特征點 j的一定范圍內(nèi),有 xi=xj+Δx,‖Δx‖≤Δxmax,4個測量系統(tǒng)(12)非線性程度的非線性指數(shù)表達式為
圖5 靜態(tài)非線性指數(shù)Fig.5 Static nolinearity index
圖6 靜態(tài)非線性指數(shù)Fig.6 Static nonlinearity index
選取參考變量λ=[Ma,α],將α和Ma組成的飛行包線分解成網(wǎng)格點集j=1,2,3,…,在每個點j處,模型(11)的狀態(tài)矩陣為Aj,輸入矩陣為Bj。圍繞點j,定義α和Ma總變化范圍20%的子區(qū)域。在子區(qū)域內(nèi),確定一個點集i=1,2,3,…,并產(chǎn)生相應的線性系統(tǒng) { Ai,Bi},直接應用式(12)計算線性模型(11)的非線性強度變化曲面,如圖5~8所示。
圖7 動態(tài)非線性指數(shù)Fig.7 Dynamic nonlinearity index
圖8 動態(tài)非線性指數(shù)Fig.8 Dynamic nonlinearity index
動態(tài)非線性指數(shù)不僅是參考向量的函數(shù),還與時間有關。時間t=0.1 s,動態(tài)非線性指數(shù)如圖7、8所示。在動態(tài)非線性指數(shù)曲線的左側區(qū)域有跳變,這說明模型在該區(qū)域內(nèi)不穩(wěn)定。靜態(tài)非線性指數(shù)與動態(tài)非線性指數(shù)較為相近。這說明t取值較小時,動態(tài)非線性指數(shù)趨向于靜態(tài)非線性指數(shù)。
針對亞軌道可重復使用運載器再入返回過程,考慮到其飛行包線廣和氣動參數(shù)變化大等不利因素,本文運用非線性指數(shù)理論和方法拓展應用于飛行器動力學分析上,推導并提出了用于測量全飛行包線內(nèi)動力學模型非線性程度的非線性指數(shù)表達式。結合SRLV再入過程的氣動特性,對SRLV動力學模型的非線性程度進行了仿真驗證和分析,仿真結果可以看出大攻角和仿真時間的增加對非線性指數(shù)有很大影響,使SRLV動力學系統(tǒng)表達出強非線性特性。本文所得的結論可為強非線性程度的飛行器控制系統(tǒng)的設計提供更多參考。
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