基于代理模型和DE算法的天線優(yōu)化設(shè)計

李 哲

(中國船舶重工集團公司第723研究所，揚州 225001)

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基于代理模型和DE算法的天線優(yōu)化設(shè)計

李 哲

(中國船舶重工集團公司第723研究所，揚州 225001)

在對天線進行優(yōu)化設(shè)計時，直接使用HFSS等仿真軟件進行參數(shù)掃描往往需要大量的時間。為解決這一問題，將代理模型法與差分進化(DE)算法相結(jié)合，減少了優(yōu)化過程中的精確電磁仿真次數(shù)，顯著減少了優(yōu)化所需時間。隨后，使用該方法優(yōu)化設(shè)計了一個準八木天線，結(jié)果表明，在10～11 GHz頻段內(nèi)，天線反射系數(shù)小于-27 dB，驗證了算法的有效性。

差分進化；代理模型；克里金插值

0 引 言

一般的商業(yè)電磁仿真軟件都能夠根據(jù)建立好的天線模型給出相應(yīng)的電磁特性，如阻抗帶寬、增益、方向圖等。但是，要根據(jù)預(yù)先設(shè)定好的性能指標設(shè)計出相應(yīng)的天線結(jié)構(gòu)與尺寸卻不是一件容易的事情。雖然一般的電磁仿真軟件都會內(nèi)置一些參數(shù)掃描功能，但直接在電磁仿真軟件中進行參數(shù)掃描不僅效率很低，而且在面對涉及較多參數(shù)的復(fù)雜綜合問題時，往往難以得到最優(yōu)化的參數(shù)。

由于天線綜合問題常?？梢詺w屬為黑箱優(yōu)化問題，各種進化算法的出現(xiàn)使得非遍歷尋求最優(yōu)解在天線設(shè)計中成為可能。

與其它進化算法相比，差分進化(DE)[1-2]算法具有簡單易用、魯棒性好、全局搜索能力強、對控制參數(shù)的依賴性小的優(yōu)勢，不但在工程實踐中得到廣泛使用，在國內(nèi)外進化計算大賽中也屢獲殊榮。因此本文選用差分進化算法作為優(yōu)化算法中的全局搜索引擎。

雖然各種進化算法已經(jīng)成功應(yīng)用于天線設(shè)計的很多場合，但是在提高天線設(shè)計的效率方面，還有很多工作要做。全波電磁仿真在天線設(shè)計中常常是必不可少的，然而一組數(shù)據(jù)的仿真所需要的時間一般從幾分鐘到十幾分鐘不等，而一些復(fù)雜模型常常需要幾個小時到十幾個小時。而一個基于進化算法的天線綜合問題可能需要上千次計算(電磁仿真)才能找到符合要求的解。顯然，如何在不犧牲天線性能的前提下提高進化算法的工作效率成了當務(wù)之急。

為了解決上面的問題，本文引入了代理模型法。它使用一個代理模型對所求函數(shù)值進行估計，避免了在優(yōu)化問題中直接對函數(shù)值進行精確計算，以減小計算成本。隨著在這方面研究的深入，出現(xiàn)了很多優(yōu)秀的代理模型，例如克里金插值(Kriging Interpolation)[3]，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(ANN)[4]，支持向量回歸(SVR)[5]，徑向基函數(shù)(RBF)[6]。與其他代理模型相比，使用克里金插值法建立的代理模型不但具有良好的精度，而且建立時不需要過多的控制參數(shù)。最重要的是，它在提供某點的估計值的同時，還能給出估計的誤差，這與本文中使用代理模型對新一代個體進行篩選的思想相契合。因此本文使用克里金插值法來建立代理模型。

1 DE算法與克里金插值法簡介

1.1 差分進化算法

差分進化(DE)[1-2]算法是一種基于群體差異的啟發(fā)式隨機搜索算法，于1995年由Storn和Price兩位學者提出。在連續(xù)空間優(yōu)化問題中，相比其他一些遺傳算法，差分進化算法解的質(zhì)量和收斂速度方面有顯著的優(yōu)勢。

與其它進化算法相似，DE算法開始于一個隨機選擇的初始種群，主要過程包括變異、交叉和選擇3個步驟。DE算法的基本流程如圖1所示。DE的基本思想是從某一組隨機產(chǎn)生的初始種群開始，隨機選擇2個不同的個體向量相減生成差分向量，將差分向量賦予權(quán)值后與第3個隨機選擇的個體向量相加，產(chǎn)生變異向量。然后將變異向量與預(yù)先確定的父代個體向量按一定的規(guī)則交叉產(chǎn)生試驗向量。若試驗向量的適應(yīng)度值優(yōu)于父代個體向量的適應(yīng)度值，則選用試驗向量進入下一代，否則保留父代個體向量。通過不斷的進化，保留優(yōu)勝的個體，引導(dǎo)搜索過程向最優(yōu)解逼近。

圖1 DE算法主要流程

1.2 克里金插值法

克里金(Kriging)插值法[3]又稱為空間自協(xié)方差最佳插值法，它是以南非礦業(yè)工程師D·G·Krige的名字命名的一種最優(yōu)內(nèi)插法?？死锝鸩逯捣◤V泛地應(yīng)用于地下水模擬、土壤制圖等領(lǐng)域，是一種很有用的地質(zhì)統(tǒng)計網(wǎng)格化方法。它首先考慮函數(shù)值在空間位置上的變異分布并確定對一個待插點值有影響的范圍，然后用此范圍內(nèi)的采樣點來估計待插點的值。該方法在數(shù)學上可對所研究的對象提供一種最佳線性無偏估計。在數(shù)據(jù)點多時，其內(nèi)插的結(jié)果可信度較高。

這里使用普通克里金法來對一個未知點的值進行估計。這種估計具有以下形式：

fp(x)=μ+ε(x)

(1)

式中：μ為響應(yīng)函數(shù)在周圍基點的均值；ε為以0為期望值的誤差，誤差值以一個相關(guān)函數(shù)的形式給出，該相關(guān)函數(shù)由所求點與周圍基點的距離確定。

這里使用的是以下形式的高斯相關(guān)函數(shù)：

(2)

那么，基于克里金插值的代理模型Rs可以定義為：

(3)

(4)

式中：R0為基點間的相關(guān)矩陣：

(5)

2 代理模型/DE算法

2.1 代理模型/DE算法的核心思想

代理模型法的核心并不是簡單的使用代理模型替代電磁仿真來進行適應(yīng)度計算。要想使用代理模型完全替代電磁仿真來判斷一個新個體的好壞，需要代理模型在整個設(shè)計空間中具有極高的精確度，而代理模型的精確度越高，需要的采樣數(shù)據(jù)也就越多，在建立模型的時候需要進行更多的電磁仿真。這無疑需要消耗更多的時間，代理模型的優(yōu)勢也就不明顯了。如果初始采樣點取得太少或是位置不夠理想，真實問題的一些特性可能無法在模型中體現(xiàn)出來。

為了解決這個問題，這里并不簡單地使用代理模型代替電磁仿真，而是使用代理模型對新產(chǎn)生的子代個體進行篩選，挑選出其中適應(yīng)度較小的個體，再使用精確電磁仿真對該個體進行驗證。也就是說，把代理模型作為一種篩選工具，選出“最有希望”的個體，然后對其進行驗證。為此使用置信下限預(yù)篩選方法(LCB)[7]。LCB法是基于估計誤差的一種篩選方法，它的目的是在可能出現(xiàn)最優(yōu)解卻未被詳細探測的區(qū)域增加采樣點，以彌補僅僅在最初的最優(yōu)解周圍取值所導(dǎo)致早熟的可能性。在克里金插值法中，某個新個體x的預(yù)測誤差可以用下面的形式描述：

s2(x)=σ2{I-rT(x)R-1r(x)+ [I-rT(x)R-1r(x)]2(ITR-1I)-1}

(6)

根據(jù)預(yù)測誤差，LCB方法使用下面的式子來判斷一個新個體的好壞：

(7)

式中：y(x)為使用代理模型計算得到的x的函數(shù)值；ω為預(yù)先設(shè)定好的控制參數(shù)。

在LCB方法中，一個個體的ylcb值越小，代表該個體成為最優(yōu)解的可能性越大。增大ω可以擴大搜索范圍，讓模型在整個設(shè)計空間都有一定的精確度；減小ω可以讓算法重點搜索最優(yōu)解附近的區(qū)域，可以增加算法收斂的速度，但卻有陷入局部最優(yōu)解的可能。根據(jù)文獻[7]的建議，這里取ω=2，以期在全局搜索和局部搜索中取得平衡。

對于每一代的新個體，先使用代理模型計算其適應(yīng)度值，然后使用LCB方法，按ylcb從小到大對所有新個體進行排序。接著，選取排序后的第1個個體(也就是ylcb值最小的個體)，判斷該個體是否已包含在數(shù)據(jù)庫內(nèi)(如果是，則選取第2個個體，如果第2個個體仍已包括在數(shù)據(jù)庫內(nèi)，則選取第3個個體，依此類推)，如果該個體未包含在數(shù)據(jù)庫中，則使用HFSS對該個體的參數(shù)進行仿真，并將結(jié)果加入到數(shù)據(jù)庫中。這樣做的好處有：(1)不斷有新的仿真數(shù)據(jù)加入到已有的數(shù)據(jù)庫中，而代理模型是使用數(shù)據(jù)庫建立的，因此代理模型將會越來越精確；(2)每一代只對一個個體進行精細仿真，所需的時間較少。

2.2 代理模型/DE算法步驟

Step1：設(shè)置問題的基本參數(shù)：包括待優(yōu)化向量中所含參數(shù)的個數(shù)n，待優(yōu)化向量的上下限[Xmin，Xmax]，DE算法的一些參數(shù)如尺度因子F，交叉概率RC，種群規(guī)模PN，算法終止條件(達到最大代數(shù)或是所需要的優(yōu)化結(jié)果)。

Step2：在[Xmin，Xmax]n內(nèi)隨機抽取α個采樣點，并使用精確電磁仿真求得其對應(yīng)的α個響應(yīng)，在天線綜合問題中，這些響應(yīng)可能是反射系數(shù)、增益或是方向性等電參數(shù)中的一個。這樣就有了一個由采樣點和響應(yīng)構(gòu)成的原始數(shù)據(jù)庫。

Step3：判斷終止條件是否滿足，如果滿足，則輸出數(shù)據(jù)庫中的最好結(jié)果；如果不滿足，算法繼續(xù)，進入Step4。

Step4：對數(shù)據(jù)庫中所有的解根據(jù)適應(yīng)度值進行排序，更新目前得到的最好結(jié)果，然后取β個最好的解構(gòu)成一個種群P。這里，β=min(α+G,PN)，G表示當前代數(shù)，初始G=0。

Step5：對上一步中產(chǎn)生的種群P進行DE算法的交叉變異操作，產(chǎn)生β個子代向量。

Step6：使用當前數(shù)據(jù)庫中最新的λ個采樣點和其對應(yīng)的響應(yīng)建立一個代理模型，這里λ=min(α+G,τ)，這里設(shè)置τ∈[80,120]，可以根據(jù)所優(yōu)化參數(shù)的個數(shù)進行調(diào)整。

Step7：使用代理模型計算Step5中生成的β個子代向量的適應(yīng)度值，并使用LCB法對這β個子代向量進行排序。

Step8：記錄用LCB法篩選得出的最好的個體，使用精確電磁仿真計算其響應(yīng)，并將該個體和它對應(yīng)的響應(yīng)加入到數(shù)據(jù)庫中去，然后返回Step3。

2.3 代理模型/DE算法的參數(shù)設(shè)置

(1)DE算法控制參數(shù)：包括尺度因子F，交叉概率RC和種群規(guī)模PN。根據(jù)文獻[8]的建議，尺度因子應(yīng)在[0.4,1]中選取，而交叉概率在區(qū)間 [0.5,0.95]中選取比較有效。種群規(guī)模根據(jù)所優(yōu)化參數(shù)的個數(shù)而定，假設(shè)要優(yōu)化的參數(shù)為n個，則PN在[4n,10n]的范圍內(nèi)選取比較合適。

(2) LCB控制參數(shù)：在使用LCB篩選時，需要設(shè)置控制參數(shù)ω，根據(jù)文獻[7]的建議，這里設(shè)置ω=2。

(3) 初始化數(shù)據(jù)庫時采樣點的個數(shù)α，根據(jù)所優(yōu)化問題的復(fù)雜程度，α取[4n,8n]比較合適。

3 準八木天線的優(yōu)化設(shè)計

為了驗證代理模型/DE算法的有效性，使用該算法優(yōu)化設(shè)計了一個準八木天線。需要優(yōu)化的準八木天線的結(jié)構(gòu)如圖2所示。天線的正面是在金屬表面上蝕刻出的微帶結(jié)構(gòu)，背面的右半部分覆有金屬地板。介質(zhì)板選用羅杰斯公司的Rogers RT6010，其相對介電常數(shù)εr=10.2，厚度為h=0.635 mm。天線使用微帶線饋電。

圖2 準八木天線結(jié)構(gòu)示意圖

需要優(yōu)化的參數(shù)向量為x=[s1s2v1v2u1u2u3u4]，其余的參數(shù)由表1給出。表2給出了待優(yōu)化參數(shù)的取值范圍。

表1 準八木天線設(shè)計參數(shù)(單位：mm)

表2 準八木天線待優(yōu)化參數(shù)范圍(單位：mm)

優(yōu)化目的是令該天線在10～11GHz的頻段內(nèi)反射系數(shù)盡量小,故優(yōu)化問題的目標函數(shù)可表示為：

(8)

代理模型/DE算法相關(guān)的控制參數(shù)設(shè)置為：初始數(shù)據(jù)庫采樣點數(shù)α=30，建立代理模型時最大采樣點數(shù)τ=80。DE算法的基本設(shè)置為:選用DE/rand/1策略的標準DE算法，種群規(guī)模PN=50，尺度因子F=0.8。交叉概率RC=0.9，進化的最大代數(shù)Gm=140。

為了進行準確的電磁分析，采用HFSS和Matlab聯(lián)合仿真的策略，具體步驟如下：利用 HFSS-Matlab-Api(一種源自于Matlab軟件的庫函數(shù)，能通過腳本接口來控制HFSS)編程，通過該程序生成的VBscript在HFSS中完成天線的模型建立、仿真分析，然后在Matlab主程序中導(dǎo)入仿真結(jié)果，這樣就可實現(xiàn)對天線精確的電磁仿真。這樣，以代理模型/DE算法為優(yōu)化工具，有效地引導(dǎo)算法尋找最優(yōu)的天線參數(shù)組合；HFSS用來計算天線的電磁性能，完成適應(yīng)度函數(shù)的計算。

圖3給出了代理模型/DE算法優(yōu)化準八木天線的進化曲線圖，從圖中看出，該算法大約在105代找到了最佳的天線設(shè)計參數(shù)組合。表3給出優(yōu)化后的參數(shù)。由最佳參數(shù)構(gòu)成的天線的反射系數(shù)(如圖4)所示，可以看出天線的諧振頻率分別為10.2 GHz和11 GHz，反射系數(shù)優(yōu)于-10 dB的帶寬為3.2 GHz(8.3～11.5 GHz)，在10～11 GHz的頻帶內(nèi)，反射系數(shù)優(yōu)于-27 dB，較好地達到了優(yōu)化設(shè)計的目標。通過上面的例子可以看出，代理模型/DE算法是一種有效的天線優(yōu)化設(shè)計方法。

表3 優(yōu)化后的準八木天線參數(shù)值(單位：mm)

圖3 優(yōu)化準八木天線的進化曲線

圖4 優(yōu)化后準八木天線的反射系數(shù)

4 結(jié)束語

本文將代理模型法與DE算法結(jié)合，為解決天線優(yōu)化設(shè)計效率低的問題提供了一種新思路。最后使用該方法優(yōu)化設(shè)計了一個準八木天線，從優(yōu)化設(shè)計結(jié)果可以看出，代理模型/DE算法是一種有效的天線優(yōu)化設(shè)計方法。

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Antenna Optimization Design Based on Surrogate Model and DE Algorithm

LI Zhe

(The 723 Institute of CSIC，Yangzhou 225001，China)

During the optimization design of antennas,directly using simulation softwares such as HFSS,etc.to perform parameter scan may cost a lot of time.In order to solve this problem,this paper combines surrogate model with differential evolution (DE) algorithm,which reduces the times of exact electromagnetic simulation in optimization process so that the optimization time is significantly reduced,then designs a Quasi-Yagi antenna by using this method,the result shows that the antenna reflection coefficient is less than -27 dB within the frequency band of 10～11 GHz,which validates the effectiveness of the algorithm.

differential evolution;surrogate model;Kriging interpolation

2014-09-03

TN823.17

A

CN32-1413(2015)02-0088-05

10.16426/j.cnki.jcdzdk.2015.02.023