基于微課程的數(shù)學(xué)分析拓展資源建設(shè)探討

楊建雅，張鳳琴

(運(yùn)城學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，山西 運(yùn)城 044000)

基于微課程的數(shù)學(xué)分析拓展資源建設(shè)探討

楊建雅，張鳳琴

(運(yùn)城學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，山西 運(yùn)城 044000)

主要分析了微課程的發(fā)展與現(xiàn)狀，得出微課程作為新型教育資源，學(xué)習(xí)方式和教學(xué)模式雖然受到了人們的重視，但關(guān)于它的研究大多只是闡釋理念與應(yīng)用前景，缺乏對(duì)微課程模式實(shí)踐進(jìn)行深入的研究與總結(jié)。結(jié)合教學(xué)實(shí)踐分析了數(shù)學(xué)分析課程難點(diǎn)以及形成學(xué)生學(xué)習(xí)難點(diǎn)的原因，提出了數(shù)學(xué)分析微課設(shè)計(jì)與制作的內(nèi)容與方法。

微課程；數(shù)學(xué)分析；積分上限的函數(shù)

1. 微課程的發(fā)展與現(xiàn)狀分析

早在1993 年，美國(guó)北愛(ài)荷華大學(xué)(University of Northern Iowa)的有機(jī)化學(xué)教授LeRoy A.McGrew認(rèn)為當(dāng)時(shí)的有機(jī)化學(xué)教材艱深難懂，為了在一些非正式的場(chǎng)合給大眾普及化學(xué)常識(shí)，提出了60 秒有機(jī)化學(xué)課程 ( 60-Second Course)，并認(rèn)為他的60 秒課程可以應(yīng)用到其他領(lǐng)域用以普及自己的專業(yè)知識(shí)。1995年，英國(guó)納皮爾大學(xué)(Napier University)的Terence Kee教授為了鍛煉學(xué)生對(duì)特定主題掌握核心概念的能力，提出了一分鐘演講(The One Minute Lecture, 簡(jiǎn)稱OML)概念。這些課程在當(dāng)時(shí)雖沒(méi)有稱之為微課，但卻是微課的雛型。直到2008年，美國(guó)新墨西哥州胡安學(xué)院(San Juan College)的高級(jí)教學(xué)設(shè)計(jì)師、學(xué)院在線服務(wù)經(jīng)理戴維·彭羅斯(David Penrose)正式提出了微課這一概念，他指出微課并不是指為了微型教學(xué)而開(kāi)發(fā)的微內(nèi)容，而是指運(yùn)用建構(gòu)主義方法形成的、以在線學(xué)習(xí)或移動(dòng)學(xué)習(xí)為目的的實(shí)際教學(xué)內(nèi)容。

我國(guó)微課程的相關(guān)研究是從2011年開(kāi)始的，2011年發(fā)表的與微課程相關(guān)的文章有關(guān)中客的《微課程》和廣東省佛山市教育局胡鐵生的《微課：區(qū)域教育信息資源發(fā)展新趨勢(shì)》[1]等，前者闡述了國(guó)內(nèi)外“微課程”概念的源，并指出微課程不可能適用所有的課程，適用哪些課程哪些教學(xué)內(nèi)容需要我們通過(guò)實(shí)踐檢驗(yàn)；后者論述了微課的概念、組成、特點(diǎn)及分類，并結(jié)合佛山市微課資源庫(kù)建設(shè)實(shí)踐，總結(jié)了區(qū)域微課資源庫(kù)開(kāi)發(fā)的步驟及途徑，展望了微課在教育教學(xué)中的應(yīng)用前景。此后微課程逐漸引起眾多學(xué)者的關(guān)注，如梁樂(lè)明的《微課程設(shè)計(jì)模式研究——基于國(guó)內(nèi)外微課程的對(duì)比分析》[2]，文中引用了胡鐵生關(guān)于“微課”的定義：“微課”是指按照新課程標(biāo)準(zhǔn)及教學(xué)實(shí)踐要求，以教學(xué)視頻為主要載體，反映教師在課堂教學(xué)過(guò)程中針對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)或教學(xué)環(huán)節(jié)而開(kāi)展教與學(xué)活動(dòng)的各種教學(xué)資源的有機(jī)組合。并指出相比Penrose提出的微課程，胡鐵生從教育信息資源的角度深化了微課程的概念。再如余毅的《基于微課程模式的資源共享課建設(shè)探討》[3]，該文針對(duì)微課程如何設(shè)計(jì)和制作才能更好地服務(wù)于資源共享課建設(shè)進(jìn)行了探討和總結(jié)，并針對(duì)微課程建設(shè)提出一些建議。由上所述可以看出：微課程作為新型教育資源、學(xué)習(xí)方式和教學(xué)模式雖然受到了人們的高度重視，但是目前關(guān)于微課程的研究大多仍在闡釋其理念與應(yīng)用前景，缺乏對(duì)實(shí)踐中的微課程模式進(jìn)行深入的研究與總結(jié)。本文結(jié)合數(shù)學(xué)分析教學(xué)實(shí)踐，對(duì)微課的內(nèi)容選擇、微課的設(shè)計(jì)與制作等方面進(jìn)行研究。

2. 數(shù)學(xué)分析微課的內(nèi)容選擇

微課按其用戶和用途的不同，可分為教學(xué)型微課和學(xué)習(xí)型微課。其中，教學(xué)型微課的用戶是教師，用途是教師專業(yè)研修；學(xué)習(xí)型微課的用戶是學(xué)生，用途是學(xué)生自主學(xué)習(xí)。以下主要研究針對(duì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)型微課，所選內(nèi)容主要是學(xué)生學(xué)習(xí)有困難的知識(shí)點(diǎn)。

2.1 數(shù)學(xué)分析課程難點(diǎn)

數(shù)學(xué)分析課程是我院數(shù)學(xué)類各專業(yè)的最重要的一門(mén)基礎(chǔ)課程，課程組一直非常重視數(shù)學(xué)分析課堂教學(xué)改革，得到了一定的研究成果。如：《數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)改革的探索》[4]、《小組合作學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)分析課程中的應(yīng)用研究》[5]、《數(shù)學(xué)分析課堂教學(xué)模式研究》[6]和《數(shù)學(xué)分析課堂教學(xué)改革的實(shí)踐與思考》[7]等，并在教學(xué)實(shí)踐中取得了明顯效果，但在運(yùn)用微課程教學(xué)方面很少進(jìn)行研究。通過(guò)學(xué)習(xí)、查閱相關(guān)微課程的文獻(xiàn)資料，分析微課程的特點(diǎn)與微課程教學(xué)的基本要求。結(jié)合我院學(xué)生實(shí)際和數(shù)學(xué)分析課程的特點(diǎn)，我們認(rèn)為應(yīng)該將數(shù)學(xué)分析課程的難點(diǎn)、和易錯(cuò)點(diǎn)等引入到微課程教學(xué)中。

數(shù)學(xué)分析課的難點(diǎn)是極限理論中的相關(guān)證明、閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì)及其證明、實(shí)數(shù)理論、定積分可積條件、函數(shù)級(jí)數(shù)的一致收斂性、富里埃級(jí)數(shù)、含參變量的積分、多重積分計(jì)算等。具體來(lái)講主要有以下幾種類型:極限、連續(xù)和一致連續(xù)的定量定義的理解與證明問(wèn)題，定積分的定義和可積性條件的理解與證明問(wèn)題，函數(shù)級(jí)數(shù)的一致收斂性的定義和性質(zhì)的理解與證明問(wèn)題，富里埃級(jí)數(shù)的收斂性定理的理解與計(jì)算函數(shù)的富里埃展開(kāi)式的問(wèn)題，參變量的積分定義的理解和斂散性的判別問(wèn)題，多重積分計(jì)算問(wèn)題以及多種交叉綜合問(wèn)題等。

2.2 形成學(xué)生學(xué)習(xí)難點(diǎn)的原因

數(shù)學(xué)分析課程的概念抽象嚴(yán)密、推理論證邏輯性強(qiáng)、思想方法轉(zhuǎn)換多樣。形成學(xué)生學(xué)習(xí)難點(diǎn)的原因比較復(fù)雜，但歸納起來(lái)，形成學(xué)生學(xué)習(xí)難點(diǎn)的原因主要有以下幾種：首先是所學(xué)習(xí)的內(nèi)容的本質(zhì)屬性比較隱蔽，對(duì)學(xué)生來(lái)講缺乏感性認(rèn)識(shí)。因而難以開(kāi)展抽象思維活動(dòng)，不能較快或較好地掌握學(xué)習(xí)內(nèi)容，形成了學(xué)習(xí)難點(diǎn)。如函數(shù)的一致連續(xù)性概念、函數(shù)列和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性概念等。其次是所學(xué)內(nèi)容新舊知識(shí)縱橫交錯(cuò)，比較復(fù)雜，學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)對(duì)已知概念、原理掌握不準(zhǔn)確、不清晰，在新舊知識(shí)的銜接上呈現(xiàn)較大的差距，從而陷入了認(rèn)知的困境，形成了學(xué)習(xí)難點(diǎn)。如證明函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)無(wú)界，證明函數(shù)的極限不是某定數(shù)，證明函數(shù)在某區(qū)間上非一致連續(xù)和有關(guān)定積分基本定理的證明問(wèn)題等。第三是已學(xué)過(guò)的知識(shí)對(duì)新知識(shí)的負(fù)遷移作用壓倒了正遷移作用。在已知向新知的轉(zhuǎn)化中，注意力集中到了對(duì)過(guò)去概念、原理的回憶上，而沒(méi)有把這些概念、原理運(yùn)用于新的學(xué)習(xí)之中，形成了學(xué)習(xí)難點(diǎn)。如凸函數(shù)定義的理解與證明、變上限的定積分的求導(dǎo)及曲線積分、曲面積分問(wèn)題等。第四是學(xué)習(xí)內(nèi)容綜合性強(qiáng)、變化復(fù)雜，使學(xué)生一時(shí)難以接受和理解，形成了學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

3. 數(shù)學(xué)分析微課的設(shè)計(jì)與制作

由于學(xué)習(xí)型微課程最終是面向?qū)W生的，所以在微課的設(shè)計(jì)和制作上要從學(xué)生的角度去考慮，突出“學(xué)習(xí)”的過(guò)程，體現(xiàn)以“學(xué)生為本，面向?qū)W生，為了學(xué)生學(xué)習(xí)”的教學(xué)思想。為了精煉、直觀形象、生動(dòng)有趣的展現(xiàn)課程內(nèi)容，更好地詮釋知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生，把握精髓，深入探究，在微課的設(shè)計(jì)上我們主要運(yùn)用了以下幾種方法：第一是運(yùn)用直觀的方法加強(qiáng)學(xué)生的感知。第二是創(chuàng)設(shè)情境，聯(lián)系實(shí)際，引導(dǎo)學(xué)生的思維由具體到抽象，由特殊到一般。第三是補(bǔ)充材料，化解難點(diǎn)法。第四是對(duì)于易混淆的內(nèi)容，運(yùn)用對(duì)比方法區(qū)分各自的特點(diǎn)。第五是分散難點(diǎn)，對(duì)于難度較大的問(wèn)題，把問(wèn)題按難易程度分解成若干個(gè)與之相關(guān)的小問(wèn)題，小坡度式地層層遞進(jìn)。為了學(xué)生視覺(jué)聽(tīng)覺(jué)上舒服，通俗易懂，在微課的制作上我們有主題明確的微課名稱、有信息提供的片頭、有邏輯的正文內(nèi)容、有引導(dǎo)性的片尾等。以下是我們關(guān)于積分上限的函數(shù)求導(dǎo)一講的微課設(shè)計(jì)：

首先分析難點(diǎn)形成的原因，對(duì)積分上限的函數(shù)求導(dǎo)，學(xué)生不易掌握，是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)積分上限的函數(shù)與被積函數(shù)的關(guān)系理解不清楚，教材呈現(xiàn)給學(xué)生的是積分上限的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)在積分上限處的對(duì)應(yīng)的表達(dá)式，積分上限的函數(shù)是被積函數(shù)當(dāng)自變量是上限變量時(shí)的原函數(shù).如果對(duì)積分上限的函數(shù)求導(dǎo)，那么根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算與積分運(yùn)算的互逆關(guān)系，應(yīng)該還原為被積函數(shù)。如此反復(fù)使學(xué)生的思維在數(shù)學(xué)概念之間打轉(zhuǎn)，形成學(xué)生學(xué)習(xí)難點(diǎn)。尤其是積分上限的函數(shù)中，積分上限是函數(shù)的情形，在求導(dǎo)時(shí)，要把該積分上限的函數(shù)看成復(fù)合函數(shù)，由于中間變量的位置的特殊性，學(xué)生對(duì)這種復(fù)合關(guān)系理解不清楚，進(jìn)一步形成學(xué)生學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

根據(jù)以上分析，我們確立了這一課的教學(xué)思想：借助于數(shù)學(xué)符號(hào)，讓上述各種關(guān)系體現(xiàn)在數(shù)學(xué)符號(hào)之間的轉(zhuǎn)換，使各函數(shù)之間的關(guān)系更具體，更直觀，達(dá)到學(xué)生對(duì)概念及公式更好的理解和應(yīng)用的目的.在這一教學(xué)思想的指導(dǎo)下，將這一講的內(nèi)容進(jìn)行分類，從最基本的積分上限的函數(shù)的求導(dǎo)數(shù)開(kāi)始，到被積表達(dá)式中含有上限變量的積分上限的函數(shù)的求導(dǎo)，再到積分上限是的函數(shù)的積分上限的函數(shù)的求導(dǎo)，最后學(xué)習(xí)計(jì)算積分上、下限都是的函數(shù)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和含有積分上限的函數(shù)的式子的極限；由易到難，層層梯進(jìn)，分解難點(diǎn)，圍繞主題。教學(xué)過(guò)程如下：

3.1 基本類型

把積分上限的函數(shù)的自變量與積分變量區(qū)分開(kāi)來(lái)，積分上限的函數(shù)的自變量是上限變量，對(duì)積分上限的函數(shù)求導(dǎo)是對(duì)上限變量求導(dǎo)，與積分變量沒(méi)有關(guān)系。弄清上限變量后，再根據(jù)積分上限的函數(shù)的求導(dǎo)公式計(jì)算就可以了。舉例如下：

3.2 被積表達(dá)式中含有上限變量

對(duì)于這種情況，我們應(yīng)該先想辦法把積分變量從被積表達(dá)式中分離出來(lái)，然后再進(jìn)行求導(dǎo)。

3.3 積分上限是x的函數(shù)

積分上限的函數(shù)還有一種重要的類型，那就是積分上限是x的函數(shù)，以下我們舉例說(shuō)明如何求這一類積分上限的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

下面舉例說(shuō)明以上公式的應(yīng)用

3.4 拓展延伸

利用計(jì)算積分上限的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法，還可以計(jì)算積分下限的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極限等。以下舉例說(shuō)明。

3.5 作業(yè)

計(jì)算下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

總之，我們主要研究的是針對(duì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)型微課，所選內(nèi)容主要是學(xué)生學(xué)習(xí)有困難的知識(shí)點(diǎn)，我們的教學(xué)特色主要體現(xiàn)在：由淺入深，分層次有坡度地設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，分解難點(diǎn)，圍繞主題。滿足學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的個(gè)性化學(xué)習(xí)的需求；加深學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容的理解；培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)思考分析問(wèn)題，形成正確的思維方法；激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)新思維等。

[1] 胡鐵生.微課：區(qū)域教育信息資源發(fā)展新趨勢(shì)[J].電化教育研究,2011(10).

[2] 梁樂(lè)明,曹俏俏,張寶輝.微課程設(shè)計(jì)模式研究——基于國(guó)內(nèi)外微課程的對(duì)比分析[J].開(kāi)放教育研究，2013(1).

[3] 余毅.基于微課程模式的資源共享課建設(shè)探討[J].中國(guó)教育信息化，2014(5).

[4] 楊建雅.數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)改革的探索[J].運(yùn)城學(xué)院學(xué)報(bào)，2008(2).

[5] 楊建雅.“小組合作學(xué)習(xí)”在數(shù)學(xué)分析課程中的應(yīng)用研究[J].運(yùn)城學(xué)院學(xué)報(bào)，2010(5).

[6] 張鳳琴,楊建雅.《數(shù)學(xué)分析》課堂教學(xué)模式研究[J].教育理論與實(shí)踐，2010(36).

[7] 楊建雅，張鳳琴等.數(shù)學(xué)分析課堂教學(xué)改革的實(shí)踐與思考[J].運(yùn)城學(xué)院學(xué)報(bào)，2012(2).

【責(zé)任編輯 馬太來(lái)】

Discussing on the Expansion Resources Construction of Mathematical Analysis Based on the Micro Course

YANG Jian-ya, ZHANG Feng-qin

(DepartmentofAppliedMathematics，YunchengUniversity，Yuncheng044000,China)

This paper analyses the development and current situation of the micro course. The micro course draws people’s great attentions as the new education resource, the model of learning and teaching. While the most researches still stay in the interpretation of the thought and the application prospect, which lack the deep research and conclusion in practical teaching model. According to teaching practice, this paper analyzing the difficulties of mathematical analysis course and the reasons of affecting students’ learning, and proposing the making content and the designing method about the micro course of mathematical analysis.

Micro course; Mathematical analysis; Function of integral upper limit

2015-10-11

山西省高等學(xué)校精品資源共享課程項(xiàng)目； 運(yùn)城學(xué)院教育教學(xué)研究項(xiàng)目(XK-2014034)

楊建雅(1962-)，女，山西臨猗人，運(yùn)城學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系教授，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育與生物數(shù)學(xué)。

O171

A

1008-8008(2015)06-0001-04