數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用

☉江蘇省江陰英橋國際學(xué)校 吳忠妙

數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用

☉江蘇省江陰英橋國際學(xué)校 吳忠妙

數(shù)學(xué)所研究的內(nèi)容可以簡單概括為兩個(gè)方面：一是研究現(xiàn)實(shí)世界中的空間形式，二是研究現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系.這兩個(gè)方面的內(nèi)容相輔相成，互相配合，實(shí)現(xiàn)了人類對整個(gè)世界的數(shù)學(xué)認(rèn)知.因此，數(shù)學(xué)學(xué)科的研究重點(diǎn)也就得以確定了，即“數(shù)”與“形”.這樣就引出了數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要思想方法——數(shù)形結(jié)合.它也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的重中之重，需要我們對之展開著重研究.

一、巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)概念

概念學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)展開的必經(jīng)之路.作為基礎(chǔ)性內(nèi)容，如果概念學(xué)得不扎實(shí)，便是在學(xué)習(xí)之初為今后的深入學(xué)習(xí)埋下了隱患.因此，教師對于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)都是比較重視的.但是由于數(shù)學(xué)概念的文字性、抽象性特征，對于概念展開生動(dòng)有效的教學(xué)，并不是十分容易的.這時(shí)，我們便可以考慮讓數(shù)形結(jié)合來幫幫忙.

例如，在學(xué)習(xí)過函數(shù)圖像的相關(guān)概念之后，筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對于這部分概念理解的難點(diǎn)在于平面直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)的含義和應(yīng)用上.很多學(xué)生只是機(jī)械地背誦它們的含義，卻難以將其靈活運(yùn)用于數(shù)學(xué)關(guān)系的表達(dá)中.于是，筆者請學(xué)生思考這樣一個(gè)問題：已知時(shí)鐘在正常運(yùn)行的情況下，分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)6°，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)0.5°.在時(shí)鐘運(yùn)行過程中，時(shí)針與分針的夾角會(huì)隨著時(shí)間的變化而變化.現(xiàn)在，設(shè)時(shí)針與分針之間的夾角是y（度），運(yùn)行時(shí)間是t（分），那么，從12：00到12：30這段時(shí)間內(nèi)，y與t之間的函數(shù)圖像是什么？這個(gè)問題很好地將數(shù)學(xué)概念與具體圖形聯(lián)系起來了.學(xué)生經(jīng)過認(rèn)真思考得出了圖像（如圖1），并在這個(gè)過程中深刻領(lǐng)會(huì)了函數(shù)圖像的內(nèi)涵.

圖1

二、巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，快速解答簡單問題

選擇、填空等問題的形式與篇幅大多短小精悍，卻絕不能被師生們所忽視.如果能夠快速、準(zhǔn)確地解答簡單問題，就可以為整次測驗(yàn)節(jié)省出可觀的時(shí)間用來深入思考和檢查.在解答這類問題時(shí)，數(shù)形結(jié)合一直是適用范圍很廣的思想方法.

例如，一個(gè)等腰梯形兩組對邊中點(diǎn)連線段的平方和是8，那么這個(gè)等腰梯形的對角線長度是_________.題目條件非常簡單，可學(xué)生解答起來卻不那么簡單.很多學(xué)生不知道這個(gè)簡短的條件該怎樣分析和利用，在解題速度上卡了殼.于是，筆者提醒學(xué)生不要閑著筆，而是要邊讀題邊畫圖，將已知條件翻譯成具體的數(shù)學(xué)圖形.學(xué)生們在一步步畫出具體圖形之后，思路也漸漸明晰起來了，不僅明確了題目當(dāng)中所描述的數(shù)學(xué)狀態(tài)，還結(jié)合等腰梯形的性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)構(gòu)造了輔助線（如圖2），并很快得出了答案.

圖2

可以看出，將數(shù)形結(jié)合的方式運(yùn)用到簡單問題的解答過程中，明顯縮短了題目的解答時(shí)間，并且提高了問題解答的正確率.有了數(shù)形結(jié)合方法的輔助，很多題目都可以在短時(shí)間內(nèi)迎刃而解.漸漸地，簡單問題的解答甚至被學(xué)生視為一種樂趣了.

三、巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，有效建立數(shù)學(xué)模型

建模能力在數(shù)學(xué)教學(xué)中被確定為一種獨(dú)立的學(xué)習(xí)能力，可見其對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之重要.它不僅要求學(xué)生們有建立模型的意識(shí)，還需要能夠快速將理論知識(shí)與相應(yīng)模型聯(lián)系起來.不難發(fā)現(xiàn)，建模的過程實(shí)際上就是數(shù)形結(jié)合的真實(shí)反映.數(shù)形結(jié)合的靈活運(yùn)用，自然也就成為了有效建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵.

例如，在一次測驗(yàn)中出現(xiàn)過這樣一個(gè)問題：小林打高爾夫球，將球從山下的點(diǎn)O打出，使之向山頂?shù)那蚨碅飛去.球的飛行軌跡可以近似視為一個(gè)拋物線，且當(dāng)球達(dá)到最高處時(shí)，高度12米，其所移動(dòng)的水平距離是9米.已知山坡與水平方向的夾角是30°，點(diǎn)O與點(diǎn)A間的距離是8分米，則球的飛行軌跡是什么？從題目描述中便可知道，問題的解答需要建立二次函數(shù)的模型（如圖3）.另外，為了方便計(jì)算，筆者還特意指導(dǎo)學(xué)生對平面直角坐標(biāo)系的位置選擇進(jìn)行了思考.

圖3

四、巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，準(zhǔn)確處理應(yīng)用問題

同小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用問題相比，初中階段的問題難度顯然提升了不少，條件也復(fù)雜了許多.為了讓應(yīng)用問題得到順利解答，筆者常常會(huì)引入數(shù)形結(jié)合的方法.

例如，學(xué)生曾經(jīng)遇到過這樣一道應(yīng)用問題：如圖4，工人站在梯子上安裝天花板上離地2.9m的頂燈.梯子由兩個(gè)相同矩形面組成，且每個(gè)面的長被六條踏板七等分，梯腳固定跨度1m，矩形面與地面所成角α為78°.工人身高1.78m，當(dāng)他的頭頂距天花板0.05-0.20m時(shí)，安裝起來比較方便.現(xiàn)在他站在梯子的第三級踏板上，安裝是否方便呢？為了將這個(gè)現(xiàn)實(shí)場景以數(shù)學(xué)方式表現(xiàn)出來，筆者帶領(lǐng)學(xué)生以圖5中的方式予以呈現(xiàn)，解題思路瞬間明確了.

圖4

圖5

很多學(xué)生在閱讀過大段的應(yīng)用問題敘述之后，總是一頭霧水，不知所云，更不要說從中找到解答的入口了，其主要原因便在于學(xué)生沒有將隱藏在文字背后的數(shù)學(xué)挖掘出來，從而無法將這些問題通過數(shù)學(xué)的思路和方法進(jìn)行解決.數(shù)形結(jié)合便在這之間為學(xué)生搭建起了一座橋梁.學(xué)生們一邊讀題，一邊畫圖，圖形出來了，解答思路也在不知不覺中建立起來了.應(yīng)用問題的解答再也不是難事了.

五、巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，順利開展課堂活動(dòng)

前文已經(jīng)提到，初中數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中不能缺少對學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的激發(fā).為了達(dá)到這個(gè)目的，筆者最為常用的方法就是開展課堂活動(dòng).活動(dòng)這一形式本身就是學(xué)生所喜愛的，將要教學(xué)的知識(shí)內(nèi)容融入其中，能夠讓學(xué)生在輕松愉悅中感知數(shù)學(xué).在活動(dòng)的觸發(fā)環(huán)節(jié)，數(shù)形結(jié)合可以為我們提供很好的幫助.

圖6

例如，在學(xué)習(xí)過二次函數(shù)及其圖像的相關(guān)知識(shí)后，筆者向?qū)W生展示了如圖6所示的圖像，并且告訴大家，圖中所示是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像，且該圖像經(jīng)過（-1，1）和（2，-1）兩個(gè)點(diǎn).然后，筆者將全班學(xué)生分為四個(gè)“調(diào)查小組”，給每個(gè)小組布置一個(gè)“調(diào)查課題”，分別為：（1）y的最大值小于0；（2）當(dāng)x=0時(shí)，y的值大于1；（3）當(dāng)x=1時(shí)，y的值大于1；（4）當(dāng)x=3時(shí)，y的值小于0.由學(xué)生以“調(diào)查人”的身份研究分配給本組的課題，判斷其正誤，各小組間不能交流提醒，看看哪組分析得又快又好.

在數(shù)形結(jié)合的過程中，教師可以嘗試鼓勵(lì)學(xué)生盡可能多地參與其中.在親手將數(shù)字轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形的過程中，學(xué)生會(huì)扮演課堂活動(dòng)的主角，從而獲得最為真切的學(xué)習(xí)體驗(yàn).由此，數(shù)形結(jié)合完全可以成為課堂活動(dòng)開展的一個(gè)常用途徑.

六、巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，推動(dòng)完成深入探究

數(shù)學(xué)的思考是沒有止境的，初中數(shù)學(xué)亦是如此.想要實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量的教學(xué)效果，我們不能滿足于對課本內(nèi)容本身的知曉，而是要在掌握基礎(chǔ)知識(shí)之后進(jìn)行深入挖掘和探究.靈活且深化的數(shù)學(xué)思維往往就是在這個(gè)過程中產(chǎn)生的.既然是深入探究，難度自然會(huì)有較大提升.為了讓學(xué)生的探究活動(dòng)進(jìn)行得更加順利，需要適時(shí)地巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合.

從前文的論述中不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)形結(jié)合對于初中數(shù)學(xué)教學(xué)的意義是十分廣泛的.一方面，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)研究的必然結(jié)果.“數(shù)”與“形”高度概括了初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所涉及的全部內(nèi)容.二者相結(jié)合，符合數(shù)學(xué)研究的科學(xué)思路，為初中數(shù)學(xué)的有效教學(xué)指明了方向.另一方面，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題過程中的重要思想方法.在面對很多數(shù)學(xué)習(xí)題，尤其是條件關(guān)系比較復(fù)雜的問題時(shí)，僅僅通過代數(shù)或幾何領(lǐng)域的單一分析是很難解決的.數(shù)形結(jié)合，是高效解題的鑰匙，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的捷徑.綜上所述，若廣大數(shù)學(xué)教師與初中學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中樹立起牢固的數(shù)形結(jié)合意識(shí)，學(xué)習(xí)將會(huì)變得更有質(zhì)量、更高效.Z