標(biāo)準(zhǔn)和優(yōu)美厄米－高斯光束通過圓環(huán)孔衍射的比較

蘇婷燕 顧菊觀 曹佳妍 杜琴畫 胡 凱

（湖州師范學(xué)院理學(xué)院，浙江湖州 313000）

標(biāo)準(zhǔn)和優(yōu)美厄米－高斯光束通過圓環(huán)孔衍射的比較

蘇婷燕 顧菊觀 曹佳妍 杜琴畫 胡 凱

（湖州師范學(xué)院理學(xué)院，浙江湖州 313000）

標(biāo)準(zhǔn)厄米－高斯光束（Standard Hermite－Gaussian beam，SHGB）和優(yōu)美厄米－高斯光束（Elegant Hermite－Gaussian beam，EHGB）是厄米－高斯光束的兩個特殊解．應(yīng)用柯林斯（Collins）公式研究兩種光束通過圓環(huán)孔的衍射特性，用Matlab軟件進(jìn)行一些數(shù)值模擬．模擬結(jié)果表明：這兩種光束通過圓環(huán)孔的衍射存在明顯差異，在x、y軸方向上SHGB衍射光強(qiáng)始終比EHGB大，差異來源于標(biāo)準(zhǔn)厄米－高斯光束與優(yōu)美厄米－高斯光束的場分布的差異．

標(biāo)準(zhǔn)厄米－高斯光束；優(yōu)美厄米－高斯光束；圓環(huán)孔；衍射

激光通過復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)的傳輸特性，一直是科學(xué)工作者感興趣的研究課題［1－8，10－14］．目前，對標(biāo)準(zhǔn)厄米－高斯光束的研究相對比較多，而對優(yōu)美厄米－高斯光束［13，14］的研究則相對較少；另外，對于圓環(huán)孔的衍射研究雖然有涉及但是能查閱到的文獻(xiàn)相對比較少，而且研究方向比較單一．基于這些情況，本文對比兩種光束，并運(yùn)用柯林斯公式研究了標(biāo)準(zhǔn)厄米－高斯光束和優(yōu)美厄米－高斯光束通過圓環(huán)孔的衍射特性，利用Matlab進(jìn)行一些數(shù)值模擬并分析衍射特性．

1 標(biāo)準(zhǔn)厄米－高斯光束和優(yōu)美厄米－高斯光束通過圓環(huán)孔的傳輸特性

二維標(biāo)準(zhǔn)厄米－高斯光束的場分布可用下式表示［6，10，11，13，14］

二維優(yōu)美厄米－高斯光束的場分布可用下式表示［6，13，14］

其中，E0是振幅；k是波數(shù)；px，py分別為在x和 y方向的復(fù)曲率半徑；Np，Nq分別為p階和q階厄米多項(xiàng)式；ωx，ωy分別為厄米－高斯光束在x和y方向的束腰大?。畠煞N光束表達(dá)式區(qū)別主要在于：二者厄米多項(xiàng)式中相差系數(shù)

p＝4，q＝6階數(shù)的兩種光束的光強(qiáng)分布如圖1所示（圖中縱坐標(biāo)I為相對光強(qiáng)）．由圖可知，雖然兩者只在厄米多項(xiàng)式中相差系數(shù)，但是其光強(qiáng)分布相差甚遠(yuǎn)．SHGB光束的光強(qiáng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)比EHGB光束的大；且SHGB光束邊緣的光強(qiáng)比中心的大，而EHGB光束光強(qiáng)集中在中心．顯然，可猜測這兩種光束通過圓環(huán)孔的衍射肯定也存在很大差異．

二維的標(biāo)準(zhǔn)厄米－高斯光束通過半徑為r的圓孔的近軸ABCD光學(xué)系統(tǒng)，它的輸出場可用柯林斯衍射積分表示為

將硬邊圓孔的窗口函數(shù)拓展為一組有限復(fù)高斯函數(shù)之和［9］

式中，al和bl分別為展開系數(shù)和復(fù)高斯函數(shù)系數(shù)．

標(biāo)準(zhǔn)厄米－高斯光束通過半徑為r的圓孔后，出射場用柯林斯衍射積分公式運(yùn)算可得出射場分布

二維標(biāo)準(zhǔn)厄米－高斯光束通過圓孔的出射場分布的傳輸近似分析解與文獻(xiàn)［10］、文獻(xiàn)［11］一致．

類似地，可求得二維優(yōu)美厄米－高斯光束經(jīng)積分運(yùn)算通過圓孔的出射場分布

對于光束通過圓環(huán)孔的解析結(jié)果，利用公式E＝E2（r2）－E2（r1）即可求得相應(yīng)光束通過圓環(huán)孔的光強(qiáng)，而r2，r1分別是圓環(huán)孔的外半徑和內(nèi)半徑．

2 計算機(jī)數(shù)值模擬

對式（5）、式（7）進(jìn)行積分計算，應(yīng)用Matlab分別得到SHGB與EHGB光束通過圓環(huán)孔（內(nèi)半徑r1＝0．5mm，外半徑為r2＝1．0mm）的衍射特性．假設(shè)束腰在孔面上，取E0＝1，λ＝632．8nm，ωx＝ωy＝ω0＝1mm．厄米－高斯光束的厄米多項(xiàng)式的微分表達(dá)式為則p＝4，q＝6［6］時：

對于SHGB：

由圖2（a）、（b）（I為相對光強(qiáng)）可知，z軸上相對光強(qiáng)的振動變化隨著觀察屏遠(yuǎn)離衍射屏（即圓環(huán)孔）其振動逐漸消失；從一開始的幾何投影區(qū)，到距離孔較遠(yuǎn)的菲涅耳衍射區(qū)（即近場衍射區(qū)域），到相距甚遠(yuǎn)的夫瑯禾費(fèi)衍射區(qū)（即遠(yuǎn)場衍射區(qū)），3個區(qū)之間是逐步發(fā)生改變的［10］．比較圖2可以發(fā)現(xiàn)SHGB光束與EHGB光束通過圓環(huán)孔的衍射，在菲涅耳衍射區(qū)SHGB的整體光強(qiáng)比EHGB的小；SHGB光束菲涅耳衍射區(qū)過渡到夫瑯禾費(fèi)衍射區(qū)對應(yīng)的z比EHGB光束要大，其原因是SHGB光束光強(qiáng)分布不集中；在夫瑯禾費(fèi)衍射區(qū)，SHGB的整體光強(qiáng)比EHGB的大，并且SHGB衰減相對比較緩慢，而EGHB相對衰減較快，其原因是由兩束光的光強(qiáng)分布差異引起的．

根據(jù)圖2，比較圖3（a）、（b）、（c）、（d）（I為相對光強(qiáng)）可知，在菲涅耳衍射區(qū)兩種光束的衍射存在明顯差異，EGHB的衍射峰比SGHB的衍射峰多，且整體衍射光強(qiáng)較小，其原因是EGHB光強(qiáng)整體分布比SGHB相應(yīng)減?。容^圖3（e）、（f）、（g）、（h）可知，在夫瑯禾費(fèi)衍射區(qū)，兩種光束通過圓環(huán)孔的衍射圖樣有相近，但仍然存在一定的分布形狀差異，其原因是兩束光的光強(qiáng)分布有較大的差異；其衍射強(qiáng)度都是SHGB衍射光強(qiáng)較大．y軸方向的衍射光強(qiáng)圖樣和分布情況與x軸方向相似，不再以圖表示，其原因是光強(qiáng)分布是一致的．

3 結(jié)語

本文用柯林斯公式分析和由Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值模擬得到了厄米多項(xiàng)式p＝4，q＝6的標(biāo)準(zhǔn)厄米－高斯光束和優(yōu)美厄米－高斯光束通過圓環(huán)孔的衍射光強(qiáng)分布圖．模擬結(jié)果表明：SHGB光束、EHGB光束通過圓環(huán)孔的衍射，光強(qiáng)I跟z的關(guān)系變化趨勢基本一致，SHGB光束菲涅耳衍射區(qū)過渡到夫瑯禾費(fèi)衍射區(qū)對應(yīng)的z比EHGB光束要大，SHGB衰減比EGHB相對比較緩慢，SHGB整體衍射光強(qiáng)比EHGB要大．在x、y軸方向上SHGB衍射光強(qiáng)始終比EHGB大；兩種光束通過圓環(huán)孔的衍射圖樣有相近，但仍然存在一定的分布形狀差異．

［1］ Gu Juguan，Zhao Daomu，Mei Zhangrong，et al．Propagation characteristic of the two－dimensionaal off－axial Hermie－cosh－Gaussian beams through rectangular apertured and misaligned optical systems［J］．Optik ＆Laser Technology，2005（37）：173－179．

［2］ Gu Juguan，Zhao Daomu．Relative phase shift of two－dimensional cosine－Gaussian beams passing through apertured paraxial ABCD optical systems［J］．Optik，2004，115（2）：67－70．

［3］ 顧菊觀，甘亮勤，徐海斌，等．厄米－高斯光束通過雙矩孔的傳輸特性［J］．激光與紅外，2006，36（7）：584－586．

［4］ 徐海斌，甘亮勤，顧菊觀．厄米－高斯光束通過硬邊光闌的自由傳輸特性［J］．激光與紅外，2005，35（10）：779－781．

［5］ 戴兵，賀安之，朱兆青．一類與橢圓和矩形相關(guān)的孔徑的夫瑯禾費(fèi)衍射研究［J］．大學(xué)物理，2003，22（3）：5－8．

［6］ 呂百達(dá)．激光光學(xué)［M］．3版．北京：高等教育出版社，2003：10－12．

［7］ 季小玲，呂百達(dá)．厄米－高斯光束通過多個硬邊光闌復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)變換的計算機(jī)模擬［J］．強(qiáng)激光與粒子束，2003，15（9）：845－849．

［8］ Gu Juguan，Zhao Daomu．Propagation characteristics of Gaussian beams through a paraxial ABCDoptical system with an annular aperture［J］．Journal of Modern Optics，2005，52（8）：1065－1072．

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［11］ 楊平，顧菊觀，張亞萍，等．厄米－高斯光束通過三角形與圓形圍成孔的衍射［J］．廣西物理，2011，32（2）：28－30．

［12］ 張亞萍，顧菊觀，楊平，等．平頂－高斯光束通過圓形與三角形圍成孔的衍射［J］．物理通報，2012（8）：23－25．

［13］ Saghafi S，Sheppard C J R，Piper J A．Characterising elegant and standard Hermite－Gaussian beam modes［J］．Optics Communications，2001（191）：173－179．

［14］ Lu Baida，Ma Hong．A comparative study of elegant and standard Hermite－Gaussian Beams［J］．Optics Communications，2000（174）：99－104．

COMPARATION OF THE CIRCULAR HOLE DIFFRACTION BETWEEN STANDARD HERMITE－GAUSSIAN BEAM AND ELEGANT HERMITE－GAUSSIAN BEAM

Su Tingyan Gu Juguan Cao Jiayan Du Qinhua Hu Kai

（School of Science，Huzhou Normal College，Huzhou，Zhejiang 313000）

Standard Hermite－Gaussian beam（SHGB）and elegant Hermite－Gaussian beam（EHGB）are two special solutions of the Hermite－Gaussian beams．The diffraction characteristics of the two kinds of beams passing through a circular hole are studied by Collins equation．Some numerical simulations are illustrated with Matlab software．The simulation results show that significant differences exist in the circular hole diffraction for the two kinds of beams．Especially，the diffracted light intensity of SHGB is always larger than of EHGB in the xand yaxial direction．These differences are resulted from the different field distributions of SHGB and EHGB．

standard Hermite－Gaussian beam；elegant Hermite－Gaussian beam；circular hole； diffraction

2014－01－26

2013年浙江省大學(xué)生科技創(chuàng)新項(xiàng)目（2013R425020），湖州師范學(xué)院高等教育研究項(xiàng)目（GJB12011），2012年湖州師范學(xué)院第五屆大學(xué)生科研項(xiàng)目．

顧菊觀，男，教授，主要從事激光光學(xué)、光電材料及物理教學(xué)的研究．gjg＠hutc．zj．cn