納什的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)與展望

舒尚奇

(渭南師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，陜西渭南714099)

約翰·納什(John F.Nash)，美國數(shù)學(xué)家，普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，主要研究博弈論、微分幾何學(xué)和偏微分方程.

1 純數(shù)學(xué)上的杰出貢獻(xiàn)

沃爾夫數(shù)學(xué)獎及阿貝爾獎雙料得主格羅莫夫說:“依我看來，納什在幾何學(xué)中的成果比在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的成果高出好幾個數(shù)量級，后者根本沒法比.這些成果帶來的是思考問題的態(tài)度上的巨大轉(zhuǎn)變.”［1］

納什第一個純數(shù)學(xué)的突破性成果是在他20歲剛出頭的時候做出的“一個關(guān)于流形和實代數(shù)簇的漂亮發(fā)現(xiàn)”［1］.這是一個深刻的結(jié)果.

1951年，納什在麻省理工學(xué)院開始了關(guān)于“等距嵌入”的研究，考慮黎曼流形是否能看成歐幾里得空間的子空間.他的Nash Embedding Theorem，證明了any Riemannian manifold can be isometrically embedded in a Euclidean space.在數(shù)學(xué)里，黎曼流形非常抽象，而歐幾里得空間比較接近現(xiàn)實世界，人們便于理解.最后，他用兩個“納什嵌入定理”解決了這個問題［2］.這些結(jié)果，被認(rèn)為是20世紀(jì)的經(jīng)典結(jié)論，提供了最深層次的數(shù)學(xué)直觀.同時，納什嵌入定理的發(fā)現(xiàn)讓納什很自然地進(jìn)入了另外一個數(shù)學(xué)分支——偏微分方程的研究.他利用納什嵌入定理解出了之前一直被認(rèn)為是不可能解出的一類偏微分方程.他所用的方法，被沃爾夫數(shù)學(xué)獎得主墨瑟完善后發(fā)表，定名為“納什－墨瑟定理”［2］.在微分幾何和實代數(shù)幾何上，納什有2個影響深遠(yuǎn)的定理:第一，任何黎曼流形都可以等距嵌入到歐氏空間中;第二，給定任何閉流形，都存在一個實代數(shù)簇，這個代數(shù)簇的某個連續(xù)分支與給定的流形同構(gòu).

2015年納什對橢圓偏微分方程進(jìn)行研究，也就是Hilbert第十九個問題，在橢圓型二階偏微分方程的理論中，有一部分現(xiàn)在被稱作德·吉奧吉－納什定理，發(fā)展這套理論最早是為了證明某些Euler－Lagrange方程的解的正則性.例如，可以考慮如下的變分問題:設(shè)F(p)是定義在Rn上的光滑函數(shù)，求出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，使得它是如下泛函數(shù):的臨界點(diǎn).自然要問:它有臨界點(diǎn)嗎?臨界點(diǎn)有沒有所需求的性質(zhì)?通過一些計算與討論，問題往往要?dú)w結(jié)到研究如下的“散度”形式的二階橢圓微分方程:(研究的是弱解).其中系數(shù)矩陣只滿足一些相當(dāng)寬泛的條件:它們在所討論的區(qū)域上是一致正定的對稱矩陣，并且是有界可測的.德·吉奧吉和納什使用了不同的方法獨(dú)立地得到了有關(guān)這一方程的結(jié)果.納什研究了相應(yīng)的熱方程并且得到了赫爾德的估計，即證明了弱解的赫爾德連續(xù)性.橢圓方程可以視作不依賴時間的熱方程，從而其結(jié)果可以一并得到.由此即可推出原來變分問題的解具有相當(dāng)好的正則性，即給出了Hilbert第十九問題的答案.這個成就足以讓納什獲得了數(shù)學(xué)界的最高榮譽(yù)——菲爾茲獎，只不過菲爾茲獎只頒發(fā)給年齡不超過40歲的數(shù)學(xué)家.而在這之前，德·吉奧吉用另外一個方法也解決了這個問題，因此，這個結(jié)果定名為德·吉奧吉－納什定理［2］.為表彰納什在非線性偏微分方程理論及其在幾何分析方面做出的開創(chuàng)性的顯著貢獻(xiàn)，2015年的阿貝爾獎授予來自美國的兩位數(shù)學(xué)泰斗約翰·納什和路易斯·尼倫伯格.他們的突破已發(fā)展成應(yīng)用廣泛、功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)方法，成為研究非線性偏微分方程的重要工具，其影響遍及非線性偏微分方程的所有分支.

2 博弈論方面的開創(chuàng)性成果

1950年，納什在普林斯頓大學(xué)以非合作博弈(Non－cooperative Games)為題的畢業(yè)論文獲得博士學(xué)位.在這篇論文中，納什提出了納什均衡這個重要概念.此概念影響深遠(yuǎn)，已成為博弈論中最為核心的概念，極大地推動了博弈論的發(fā)展及其在社會科學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用，特別是促進(jìn)了經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展.著名博弈論學(xué)者、諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎得主羅杰·邁爾森(Myerson，1999)認(rèn)為，發(fā)現(xiàn)納什均衡的意義可以和生命科學(xué)中發(fā)現(xiàn)DNA的雙螺旋結(jié)構(gòu)相媲美［3］.

1950年和1951年納什的兩篇關(guān)于非合作博弈論的論文，改變了人們對競爭和市場的看法.他證明了非合作博弈及其均衡解，并證明了均衡解的存在性，即著名的納什均衡.納什的研究奠定了現(xiàn)代非合作博弈理論的基礎(chǔ)，以后博弈論的研究基本上都是沿著這條路徑展開的.在當(dāng)今科學(xué)界，人們普遍認(rèn)為，與牛頓和愛因斯坦的數(shù)學(xué)理論相比，納什的數(shù)學(xué)理論觸及的學(xué)科更多.牛頓和愛因斯坦的數(shù)學(xué)旨在處理物理問題，而納什的數(shù)學(xué)卻可以應(yīng)用在自然科學(xué)和社會科學(xué)的眾多領(lǐng)域.

博弈論主要是由馮·諾依曼(1903—1957)創(chuàng)所立的.他是一位天才的數(shù)學(xué)家.他不僅創(chuàng)立了經(jīng)濟(jì)博弈論，而且發(fā)明了計算機(jī)，被稱為計算機(jī)之父.博弈論畢竟是數(shù)學(xué)，更確切地說是運(yùn)籌學(xué)的一個分支，因此，說起博弈論自然要用數(shù)學(xué)語言，也就是一大堆數(shù)學(xué)公式.早在20世紀(jì)初，塞梅魯(Zermelo)、鮑羅(Borel)和馮·諾伊曼已經(jīng)開始研究博弈的準(zhǔn)確數(shù)學(xué)表達(dá)，直到1939年，馮·諾依曼遇到經(jīng)濟(jì)學(xué)家奧斯卡·摩根斯特恩(Oskar Morgenstern)，并與其合作才使博弈論進(jìn)入經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域.1944年他與奧斯卡·摩根斯特恩合著的《博弈論與經(jīng)濟(jì)行為》標(biāo)志著現(xiàn)代系統(tǒng)博弈理論的形成.但由于它過于抽象，使其應(yīng)用范圍受到很大限制，對博弈論的研究只有少數(shù)數(shù)學(xué)家關(guān)注.所以，影響有限.這時，納什提出了非合作博弈“納什均衡”的概念，它標(biāo)志著博弈論的一個新時代的開始!在經(jīng)濟(jì)博弈領(lǐng)域，納什做出了劃時代的貢獻(xiàn)，是繼馮·諾依曼之后最偉大的博弈論大師之一.他提出的著名的納什均衡的概念在非合作博弈理論中起著核心的作用［3］.由于納什在博弈論上的開創(chuàng)性成就，他與約翰·海薩尼(John Harsanyi)和萊茵哈德·澤爾騰(Reinhard Selten)一起獲得了1994年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎.

博弈論提供了一種計算各種可能決策所產(chǎn)生效益的數(shù)學(xué)方法，該理論為在各種競爭性場合做出最佳決定建立了一套具體的數(shù)學(xué)方法.正如經(jīng)濟(jì)學(xué)家赫伯特·金迪斯(Herbert Gintis)所說，博弈論是我們“研究世界的一種工具”.“它不僅研究人們?nèi)绾魏献鳎已芯咳藗內(nèi)绾胃偁帯?同時，“博弈論還研究行為方式的產(chǎn)生、轉(zhuǎn)變、散播和穩(wěn)定.”［4］博弈論不是納什發(fā)明的，但他擴(kuò)大了該理論的范圍，為之提供了解決實際問題的有力工具.在一開始，他的研究成果并沒有受到人們的重視.他的文章發(fā)表在20世紀(jì)50年代，當(dāng)時博弈論僅在冷戰(zhàn)分析家之間流傳，這些分析家認(rèn)為國際侵略和利益最大化之間有一些相似之處.在經(jīng)濟(jì)學(xué)界，博弈論還被視為一種新奇事物.經(jīng)濟(jì)學(xué)家薩繆·鮑爾斯(Samuel Bowles)說:“在當(dāng)時博弈論羽翼未豐，如同經(jīng)濟(jì)學(xué)中其他許多優(yōu)秀的思想一樣，它還沒有受到人們的關(guān)注.”［5］然而在20世紀(jì)70年代時情況發(fā)生了改變，進(jìn)化論學(xué)派的生物學(xué)家開始采用博弈論研究動植物中的生存競爭現(xiàn)象，緊接著在20世紀(jì)80年代，經(jīng)濟(jì)學(xué)家終于開始以各種不同方式將博弈論應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)中，尤其是將它用在設(shè)計真實試驗以驗證經(jīng)濟(jì)學(xué)理論方面.到20世紀(jì)80年代末博弈論在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域已經(jīng)充分顯示了它的作用.如今學(xué)過經(jīng)濟(jì)學(xué)的人都知道博弈論，學(xué)過博弈論的人都知道“納什均衡”，足見納什對經(jīng)濟(jì)學(xué)的影響.

3 影響前瞻

現(xiàn)在經(jīng)濟(jì)學(xué)家繼續(xù)使用博弈論分析人們?nèi)绾巫龀鲇嘘P(guān)經(jīng)濟(jì)的決策;生物學(xué)家用它來建立假說以解釋適者生存原理和利他主義的起源;人類學(xué)家使用它來研究原始文化，從而說明人性的多樣化;神經(jīng)科學(xué)者通過研究博弈者的大腦，試圖發(fā)現(xiàn)決策如何反映人們的動機(jī)和情感.事實上，神經(jīng)經(jīng)濟(jì)學(xué)—一個完全新的研究領(lǐng)域——也已基本成型.該學(xué)科將博弈論的思想方法與腦部掃描技術(shù)相結(jié)合，旨在探測、測量與人類決策行為相關(guān)的神經(jīng)活動.神經(jīng)科學(xué)家瑞德·蒙塔古(Read Montigue)說:“我們正在以研究波音777機(jī)翼上氣流的精密程度定量研究人類的行為.”［6］簡言之，納什的數(shù)學(xué)理論連同在其基礎(chǔ)上建立起來的現(xiàn)代博弈論已經(jīng)成為科學(xué)家研究眾多與人類行為相關(guān)課題時的首選方法.事實上，赫伯特·金迪斯認(rèn)為，博弈論已經(jīng)成為“一種研究行為科學(xué)的通用語言”.

(1)博弈論與統(tǒng)計力學(xué).現(xiàn)在博弈論和物理學(xué)在一些前沿領(lǐng)域中的結(jié)合已相當(dāng)緊密.物理學(xué)家一直在尋找描述自然界的大統(tǒng)一理論，在此過程中博弈論有望大顯身手.統(tǒng)計力學(xué)是物理學(xué)家用于描述世界復(fù)雜性的一個最有力的萬能工具.在過去的一個多世紀(jì)中，物理學(xué)家一直在用它來描述諸如氣體、化學(xué)反應(yīng)、磁性材料特征等問題——更確切地說就是定量研究物質(zhì)在各種不同環(huán)境下的行為特征.這是在缺乏具體數(shù)據(jù)的情況下研究物質(zhì)行為這幅“巨畫”的有效途徑.舉個例子，房間內(nèi)游離了數(shù)以萬計的氣體分子，你不可能跟蹤每一分子的軌跡，但統(tǒng)計力學(xué)可以通過研究大量粒子的統(tǒng)計學(xué)行為來解釋空調(diào)為何能改變環(huán)境溫度［7］.

(2)博弈論與生物學(xué).博弈論在進(jìn)化生物學(xué)研究中起到重要作用，這毫不令人吃驚.博弈論是關(guān)于競爭的理論，而生物進(jìn)化就像永無休止的奧林匹克競賽.如果復(fù)雜的生命產(chǎn)生進(jìn)化過程遵循博弈論原理，那么人腦的發(fā)展變化無疑也應(yīng)該遵循同樣的規(guī)律.大腦科學(xué)家想要挖掘人們經(jīng)濟(jì)決策背后的神經(jīng)生理學(xué)機(jī)制，就要設(shè)法了解人腦是如何工作的，因此，博弈論在該領(lǐng)域的盛行是一件非常自然的事情.反過來，人腦又決定了人類所有其他行為，如個人的行為、人與人之間的行為、社會行為、政治行為以及經(jīng)濟(jì)行為.所有這些行為又決定著個人、社會、政治和經(jīng)濟(jì)活動體系的發(fā)展變化.

(3)博弈論與化學(xué).參加化學(xué)反應(yīng)的分子似乎不需要任何的生存競爭，但實際上，競爭一直存在.博弈論和統(tǒng)計力學(xué)之間的聯(lián)系肯定能為博弈論在化學(xué)中尋找到用武之地.比如說，參加反應(yīng)的分子總是在尋找能量最小的狀態(tài)以達(dá)到穩(wěn)定.分子的這種對能量最小化的“渴望”與生物機(jī)體對最大程度適應(yīng)環(huán)境的“渴望”沒有什么太大的差別，對它們的研究可以用到類似的數(shù)學(xué)方法或者可以說從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看，它們就是一回事.

(4)博弈論與物理學(xué).物理學(xué)覆蓋的領(lǐng)域要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于統(tǒng)計力學(xué)，還有天體物理學(xué)、宇宙學(xué)以及亞原子領(lǐng)域.在近幾年，物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家相互合作共同創(chuàng)立了量子博弈論.迄今為止，量子理論似乎正在豐富著博弈論，然而這種豐富也可能是相互的.現(xiàn)代科學(xué)界非常著迷信息論，他們利用信息論的數(shù)學(xué)思想和隱喻去描述從黑洞到人腦計算活動的各類科學(xué).在過去的幾十年間，量子信息論導(dǎo)致了人們對量子物理學(xué)的再認(rèn)識，從而產(chǎn)生了對量子物理學(xué)的許多新描述，不僅如此，許多理論家還認(rèn)為信息論思想是統(tǒng)一量子場和引力場的關(guān)鍵，也許是通往萬物“終極理論”的必由之路.沃爾伯特推測，“博弈論可能是尋找這一終極理論的一個必不可少的工具，有了它成功的可能性就大大提高了.”［8］

這樣我們可以認(rèn)為博弈論的數(shù)學(xué)思想，使它成為很多學(xué)科處理問題的工具.那些困擾著科學(xué)界的復(fù)雜系統(tǒng)——比如軀體、大腦、社會.它們不是人們按照某種計劃設(shè)計的，而是源于各單元間的聯(lián)系，比如細(xì)胞與細(xì)胞之間的相互作用或人與人之間的關(guān)系，這些都屬于競爭性相互關(guān)系，而博弈論針對的正是這類問題.很明顯納什的數(shù)學(xué)理論提供了一個反映現(xiàn)實世界規(guī)律的前所未有的方法.或許我們也能看到納什的數(shù)學(xué)理論是如何作為將經(jīng)濟(jì)學(xué)、心理學(xué)、人類學(xué)和社會學(xué)與生物學(xué)和物理學(xué)之間做合并進(jìn)而創(chuàng)造出包含宏觀生命科學(xué)、人類個體行為乃至整個物質(zhì)世界的大一統(tǒng)理論.在這個過程中，我們應(yīng)該放開眼界看待這個迅速興起的研究領(lǐng)域，它將把20世紀(jì)50年代納什的數(shù)學(xué)的思想與19世紀(jì)的物理學(xué)和21世紀(jì)的神經(jīng)科學(xué)結(jié)合起來.

［1］O.D.Kellogg.Foundations of Theory［M］.New York:Dover Publications，1954.

［2］L.C.Evans.Partial Differential Equations［M］.Providence:American Mathematical Society，1998.

［3］Dixit，A.K，S.Skeath.Games of Strategy［M］.New York:Norton ＆ Company，2004.

［4］Osborne M.J.An introduction to game theory［M］.Oxford:Oxford University Press，2003.

［5］［美］湯姆·齊格弗里德.納什均衡與博弈論［M］.洪雷，陳瑋，彭工，譯.北京:化學(xué)工業(yè)出版社，2011.

［6］謝識予.經(jīng)濟(jì)博弈論［M］.上海:復(fù)旦大學(xué)出版社，2002.

［7］［美］邁爾森.博弈論［M］.于寅，費(fèi)劍平，譯.北京:中國經(jīng)濟(jì)出版社，2001.

［8］［美］迪克西特，［美］奈爾伯夫.策略思維［M］.王爾山，譯.北京:中國人民大學(xué)出版社，2013.