鉆孔體應變與面應變觀測井孔耦合系數的計算

張凌空 牛安福

（中國北京100045中國地震臺網中心）

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鉆孔體應變與面應變觀測井孔耦合系數的計算

（中國北京100045中國地震臺網中心）

鉆孔應變觀測系統(tǒng)（巖石、 膨脹水泥和應變儀鋼筒）存在顯著的井孔耦合效應， 只有確定這一耦合系數， 才能得到地殼巖石的真實應變值， 從而實現不同測點數據的可比性． 本文根據雙襯套理論及彈性力學理論， 建立了三維空間應力作用下體應變與面應變觀測力學模型， 并進一步推導各自井孔耦合系數計算式， 發(fā)現兩組系數與井孔的受力狀況密切相關， 分別與不同力源引起的應變信號相對應． 亦即應力比（鉆孔軸向應力與平面應力之比）不同， 耦合系數也不一樣， 體應變隨應力比的增大而下降， 面應變則上升. 本文結果還表明平面應力作用下的耦合系數與外加應力無關， 只與觀測系統(tǒng)本身有關， 故數值保持恒定. 此外， 文中對其影響因素也進行了分析， 結果表明， 體應變和面應變的井孔耦合系數均隨巖石彈性模量和泊松系數的增大而增大， 且前者的幅度較大， 井孔耦合材料水泥對二者影響均很小．

體應變 面應變 井孔耦合系數 力學模型

引言

巖石、 膨脹水泥和儀器鋼筒組成了3層復合雙襯套結構， 由于應力集中和外加應力在各層介質中的連續(xù)傳遞， 井孔存在明顯的耦合效應， 故測得的鉆孔體應變（εTi）或面應變（εmi）不同于無孔巖石的真實體應變（εT）或面應變（εm）， 二者之間分別用體應變井孔耦合系數或面應變井孔耦合系數進行校正（即εTi=βTεT或εmi=βmεm）． 只有將觀測應變值除以耦合系數才能得到地殼巖石的真實應變量（即εT=εTi/βT或εm=εmi/βm）， 從而各臺站之間的數據才具有可比性， 這對于資料分析、 處理、 評估等具有實際意義．

鉆孔應變儀問世以來很長一段時間, 觀測臺網一直發(fā)展緩慢（蘇愷之等， 2003； 邱澤華， 石耀霖， 2004； 邱澤華， 2010）， 截止到2003年美國大約有25套體應變儀， 日本和中國各有30余套； 分量式應變儀使用得更少， 美國有4套， 日本和中國各約有8套， 所以井孔耦合系數問題一直很少有人探究． 開始于2003年的美國“板塊邊界觀測計劃（PBO）”（張寶紅， 2004， 2010）， 決定沿圣安德烈斯斷層和阿拉斯加南部地區(qū)新建175個鉆孔應變觀測臺站， 目前已安裝了85套Gladwin型分量式應變儀， 并獲得初步觀測資料（Roeloffs， 2010）． 受美國影響“十五”期間中國地震局進行了大規(guī)模數字化地震觀測網絡建設， 鉆孔應變儀作為重要的形變前兆觀測儀器在全國重點地震監(jiān)測區(qū)得到使用和推廣（歐陽祖熙等， 2009； 李海亮， 李宏， 2010； 牛安福等， 2011）， 其中國產TJ-2型體應變儀建立了近百個測點， 國產YRY-4型、 RZB-2和RZB-3型等分量式應變儀共建立了約60個測點， “十二五”期間有一大批臺站啟用．

新形勢下鉆孔應變觀測臺網的快速發(fā)展， 將井孔耦合系數的計算問題逐步推至議事日程． 早期， Evertson（1977）曾率先建立起三維空間應力作用下體應變的觀測模型. 近年來張凌空等（2012）及張凌空和牛安福（2013）發(fā)現該模型在參數k的解算上有些問題， 便根據潘立宙（1981）、 歐陽祖熙和張宗潤（1988）以及陳沅俊和楊修信（1990）先后提出的雙襯套理論和彈性力學理論， 分別用兩種方法重新解算了k值并得到相同結果． 本文以此工作為基礎， 進一步推導體應變、 面應變觀測井孔耦合系數的計算式， 并對各種影響因素進行分析．

1 三維空間應力作用下體應變與面應變觀測的力學模型

世界上首臺高靈敏度鉆孔應變儀是美國華盛頓卡耐基研究所Sacks教授和德克薩斯大學Evertson博士于1968年共同研制成功的（劉瀾波等， 1986）. 之后Evertson （1977）在“用于地震學研究的鉆孔應變儀”的研究報告里， 首次建立了三維空間應力σ1,σ2,σ3作用下的鉆孔體應變觀測模型， 即

（1）

式中,E3和μ3分別表示巖石的彈性模量和泊松系數，k為探頭鋼筒內壁面應變與裸孔巖石面應變之比．

關于面應變計算， 分量式應變儀因為沒有鉆孔軸向上線應變記錄功能， 故[σ3-μ3（σ1+σ2）]/E3一項可視為0， 因而探頭記錄到的面應變?yōu)?/p>

.

（2）

式（1）、 （2）中k是一個至關重要的參數， 它直接影響到模型的表述正確與否． Evertson（1977）采用兩層介質力學模型（巖石、 儀器鋼筒）， 并作了兩點假定解算出k≈0.9． 由于實際觀測系統(tǒng)為3層介質， 故忽略了水泥層影響的兩層介質模型不是很合理． 張凌空等（2012）及張凌空和牛安福（2013）用雙襯套法（潘立宙， 1981； 歐陽祖熙， 張宗潤， 1988； 陳沅俊， 楊修信， 1990）和厚壁圓筒方程法（楊緒燦， 金建三， 1987）分別重新解算了k值， 并得到一致結果.

（3）

式中X4是與觀測系統(tǒng)各層材料的彈性參數和半徑都有關的一個量， 為

（4）

其中，α1=（1+μ1）/E1,α2=（1+μ2）/E2,α3=（1+μ3）/E3,β1=（1-μ1）/E1,β2=（1-μ2）/E2,β3=（1-μ3）/E3. 式中：r1，r2分別為鋼筒內、 外半徑；r3為井孔半徑， 鋼筒、 水泥、 巖石的彈性模量和泊松比分別為E1和μ1，E2和μ2及E3和μ3．

由于k≈0.9是Evertson（1977）根據Sacks-Evertson體應變儀的參數解算出來的， 又采用了兩層介質簡化模型， 故巖石彈性參數（E3，μ3）的合理取值范圍變得很窄， 并且不適用于其它型號應變儀（如國產TJ-2型體應變儀、 YRY-4型和RZB型分量式應變儀等）的計算， 而式（3）則是通用式．

式（1）、 （2）構成了鉆孔體應變與面應變觀測的理論基礎， 只要給出任何影響地應變觀測的應力解（σ1，σ2，σ3）， 就可以代入這兩個公式建立相應的模型， 如應變固體潮、 應變氣壓波和應變地震波等． 當σ3=0時， 平面應力（σ1，σ2）作用下探頭鋼筒內壁上的體應變和面應變的表達式分別為

（5）

（6）

式（5）、 （6）與張凌空等（2012）根據雙襯套理論推導的公式形式完全一致．

根據式（5）、 （6）也可以逆推回式（1）、 （2）， 即如果鉆孔存在軸向主應力σ3， 則其對裸孔巖石產生的水平面應變?yōu)?2μ3σ3/E3， 對儀器鋼筒內壁產生的面應變?yōu)?2kμ3σ3/E3， 沿鉆孔軸向產生的線應變近似等于其周圍巖體的軸向應變σ3/E3. 根據彈性力學中的疊加原理， 鋼筒內壁徑向應變和軸向應變等于每種外力單獨作用下所產生的應變之和， 于是式（5）加上（1-2kμ3）σ3/E3， 式（6）加上-2kμ3σ3/E3， 就分別得到了在三維空間應力作用下的式（1）和式（2）．

在實際測量中體應變數據可由體應變儀直接給出， 面應變數值則需要簡單求和. 對于國產四分量應變儀面應變等于兩組相互垂直的分量元件數值之和， 國外三分量應變儀則等于3組測量元件數值之和的2/3．

2 三維空間應力作用下體應變與面應變的關系

將式（2）除以式（1）得

令η=σ3/（σ1+σ2）， 其物理含義是鉆孔軸向應力與平面應力之比， 簡稱應力比， 則

（7）

f即為三維空間應力作用下體應變與面應變的轉換系數， 有εmi=fεTi， 即體應變與面應變之間存在f倍的關系．

圖1 三維空間應力作用下體應變與面應變的轉換系數（f）隨應力比（η）的變化

當觀測系統(tǒng)的各項參數均為定值時， 如美國Sacks-Evertson體應變井（Evertson， 1977； 張凌空等， 2012），E1=19.6×1010Pa，μ1=0.30，r1=54 mm，r2=57 mm，r3=76 mm，E2=2.0×1010Pa，μ2=0.35. 取E3=5×1010Pa，μ3=0.25， 則f與η密切相關， 隨其增大而減?。▓D1）． 當η值確定時f只與巖石的E3和μ3有關， 其變化規(guī)律與張凌空等（2012）給出的圖2類似． 式（7）表明雖然體應變儀不能直接測得面應變， 但可以用公式將體應變轉換成面應變． 當η=0時， 得到的是平面應力（σ3=0）作用下的轉換系數

（8）

式（8）在張凌空等（2012）文中已作過比較詳細的討論．

3 無孔巖石的應變力學模型

根據彈性力學原理（楊緒燦， 金建三， 1987）， 在水平應力σ1，σ2和垂直應力σ3的作用下， 裸孔巖石的線應變?yōu)?/p>

其體應變?yōu)?/p>

（9）

面應變?yōu)?/p>

（10）

當σ3=0時得到平面應力作用下的力學模型為

（11）

（12）

4 井孔耦合系數計算

4.1 三維空間應力作用下的井孔耦合系數

將式（1）除以式（9）， 得到體應變觀測井孔耦合系數為

（13）

圖2 三維空間應力作用下體應變與面應變井孔耦合系數（βT, βm）隨應力比（η）的變化

將η=σ3/（σ1+σ2）代入式（13）得

（14）

同理， 將式（2）除以式（10）， 得到面應變觀測井孔耦合系數為

（15）

圖2給出了體應變、 面應變井孔耦合系數隨應力比的變化. 可以看出，βT和βm與η密切相關， 當E3和μ3取定值時， 二者分別隨η增加而下降或上升（圖2）； 如果η、 鉆孔和儀器等有關參數確定， 則二者只與巖石彈性模量和泊松系數相關（變化規(guī)律與圖3相近）． 需要指出的是， 在不同的應力場中η值是不一樣的， 如大氣壓、 地震波等． 因此， 在三維空間應力作用下耦合系數并非獨立量， 而是與某種力源相對應， 同一口鉆井可以有多個耦合系數； 數據標定也不具有普遍意義， 只是針對某種信號而言．

4.2 平面應力作用下的井孔耦合系數

通常情況下地殼巖石以水平應力為主， 在平面應力作用下，σ3=0，η=0， 根據式（14）和（15）有

（16）

（17）

這時耦合系數與外加應力無關， 對于特定的鉆孔、 儀器， 只與巖石彈性模量和泊松系數有關． 表1給出了北京地區(qū)5個Sacks-Evertson體應變臺站井孔耦合系數的計算結果．

表1 北京地區(qū)Sacks-Evertson體應變井的井孔耦合系數Table 1 Borehole coupling coefficient of Sacks-Evertson volume strainmeter in Beijing area

4.3 影響因素分析

“十五”以后我國使用的體應變儀主要是TJ-2型, 其技術參數為E1=21×1010Pa，μ1=0.30，r1=42 mm，r2=44.5 mm，r3=65 mm，E2=3.0×1010Pa，μ2=0.25 （蘇愷之等， 2003）. 將其分別代入式（16）和（17）， 繪制出在平面應力作用下βT和βm隨巖石彈性參數變化的曲線（圖3）. 可以看出， 二者的變化規(guī)律很相近， 即二者均隨巖石彈性模量和泊松系數的增大而增大， 只是體應變的幅值增大更多、 變化更劇烈． 由于應變儀探頭安裝時膨脹水泥的干稀程度每口井均會有一定的變化， 導致其彈性參數可能存在一定波動． 圖4給出了βT和βm隨E2和μ2的變化曲線. 可以看出， 在E2=2.1×1010Pa附近βT和βm達到峰值， 并且隨μ2的增大而增大. 即當E2不變時，μ2每增加0.1，βT和βm分別平均增大

圖3 體應變（a）、 面應變（b）井孔耦合系數與巖石彈性參數E3的關系

圖4 膨脹水泥彈性參數μ2改變對體應變（a）與面應變（b）井孔耦合系數的影響

0.07和0.05； 當μ2不變時，βT和βm最大改變量分別為0.3和0.2． 一般情況下鉆孔安裝工藝要求E2控制在（2.5—4）×1010Pa范圍內（蘇愷之等， 1987）， 這樣βT最多改變0.155，βm則為0.104. 因此E2和μ2的改變對體應變、 面應變的耦合系數影響很?。?/p>

5 討論與結論

1） 在三維空間應力作用下鉆孔體應變和面應變觀測的力學模型可分別表述為式（1）、 （2）的形式， 其中參數k用式（3）表述. 該組公式構成了鉆孔應變觀測的一個理論基礎， 只要給出任何影響地應變觀測的應力解， 都可以代入這兩個公式建立相應的模型． 由這兩個公式還可以推導出體應變與面應變的轉換系數， 從而實現了體應變觀測數據向面應變觀測數據的轉換．

2） 井孔耦合系數（βT,βm）是指鉆孔體應變或面應變的理論觀測值與無孔巖石的理論真實值之比， 用以表明井孔耦合效應（由外加應力在各層介質中的傳遞引起）對觀測的影響， 可分別表述為式（14）和（15）． 其中η=σ3/（σ1+σ2）， 為鉆孔軸向應力與平面應力之比．βT隨η增加而下降，βm則上升， 且βT變化幅度比βm小得多． 在平面應力作用下η=0，βT和βm均隨E3和μ3的增加而上升， 且βT變化幅度大； 在工藝施工范圍內（E2=（2.5—4）×1010Pa），E2和μ2改變對二者影響很小，βT最多減小0.155，βm最多減小0.104．

3） 通常情況下各測點體應變或面應變觀測值一般不能直接進行比較（除非它們的觀測條件完全相同）， 只有將實測值除以井孔耦合系數轉換成真實的巖石應變值后， 各臺站之間的數據才具有可比性， 這一步稱作體應變或面應變觀測的局地標定． 需要指出的是， 井孔耦合系數與井孔的受力狀況有關， 在三維空間應力作用下（如大氣壓和地震應力等），βT和βm與η有關， 表明同一口井力源不同耦合系數也不一致， 因此標定值可以有多個； 在平面應力作用下（如日、 月潮汐引力）， 二者與外加應力無關， 只與觀測系統(tǒng)本身有關， 因此耦合系數不變．

4） 本文使用的主要是Sacks-Evertson型和TJ-2型體應變井的技術參數， 對于其它型號的應變觀測井情況與之類似， 只要將有關參數代入各公式同樣可以計算和畫圖．

5） 本文從理論上探討了應變儀觀測與鉆孔變形的關系， 這只限于很小的尺度. 由于地殼巖石橫向不均勻性， 千米級乃至百千米級尺度范圍內鉆孔變形與周邊地殼應變場的關系究竟如何， 是下一步需要重點關注的問題． 目前， 我國這方面深入細致的研究還很欠缺， 構造應變場測量中的有關理論與技術有待于進一步建立與提高．

研究過程中得到蘇愷之和邱澤華研究員的大力支持與幫助， 在此謹表誠摯謝意．

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Calculation of borehole coupling coefficient based on borehole volume strain and area strain observation

（ChinaEarthquakeNetworksCenter,Beijing100045,China）

Obvious borehole coupling effect exists in the borehole strain observation system （rock, expansive cement and strainmeter steel tube）.The real strain of rock in the crust can be obtained by determinng the coupling coefficient, so that comparativity of the data measured at the different points can be improved. According to the double bushing theory and elastic mechanics model, this paper establishes the mechanical models of volume strain and area strain observation under the action of three-dimensional stress. Then we deduced the borehole coupling coefficient formula at different observatories, from which we found that the coefficient was closely related to stress in the holes. The different strain signals can be correspondently attributed to different sources. That is to say, the stress ratio （the ratio of axial stress of drilling to plane stress） is different, the coupling coefficient is not the same. The volume strain decreased with the stress ratio increasing, and area strain increased. In addition, the coupling coefficients under plane stress had nothing to do with the additional stress, but only with the observation system as shown by the constant measurements. Finally, the affecting factors were analyzed. The results show that borehole coupling coefficient of volume strain and area strain increased with the rock elastic modulus and Poisson’s coefficient increasing, and the change in the former is larger, effect of borehole coupling material of cement on the two quantities is small.

volume strain； area strain； borehole coupling coefficient； mechanical model

10.11939/jass.2015.01.007.

國家科技支撐計劃項目（2012BAK19B02-02）和地震行業(yè)科研專項（201108009）共同資助.

2014-03-03收到初稿， 2014-04-02決定采用修改稿.

e-mail: zhll1023@163.com

10.11939/jass.2015.01.007

P315.72+7

A

張凌空, 牛安福. 2015. 鉆孔體應變與面應變觀測井孔耦合系數的計算. 地震學報, 37（1）: 80--88.

Zhang L K, Niu A F. 2015. Calculation of borehole coupling coefficient based on borehole volume strain and area strain observation.ActaSeismologicaSinica, 37（1）: 80--88. doi:10.11939/jass.2015.01.007.