柔性作業(yè)車間調(diào)度優(yōu)化的改進(jìn)模擬退火算法

李 俊,劉志雄,張 煜,賀晶晶

(1.武漢科技大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院，湖北 武漢，430081；2. 武漢理工大學(xué)物流工程學(xué)院，湖北 武漢，430063)

柔性作業(yè)車間調(diào)度優(yōu)化的改進(jìn)模擬退火算法

李 俊1,劉志雄1,張 煜2,賀晶晶1

(1.武漢科技大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院，湖北 武漢，430081；2. 武漢理工大學(xué)物流工程學(xué)院，湖北 武漢，430063)

針對(duì)柔性作業(yè)車間調(diào)度問題，提出一種改進(jìn)模擬退火算法來進(jìn)行求解。該算法引入粒子群算法中的基于位置取整和基于輪盤賭兩種個(gè)體編碼方法，并采用3種不同的局部搜索方法來構(gòu)造個(gè)體的鄰域結(jié)構(gòu)。算例計(jì)算表明，改進(jìn)模擬退火算法在求解柔性作業(yè)車間調(diào)度問題時(shí)，比粒子群算法、混合粒子群算法以及模擬退火算法具有更好的求解性能，其中采用輪盤賭編碼時(shí)，算法的求解性能要優(yōu)于采用位置取整時(shí)的求解性能，且基于互換的局部搜索方法要優(yōu)于其他兩種局部搜索方法，能更有效地改善算法的求解性能。

柔性作業(yè)車間調(diào)度;job shop;模擬退火算法;輪盤賭;局部搜索

柔性作業(yè)車間調(diào)度問題(Flexible Job-shop Scheduling Problem，F(xiàn)JSP)與其他生產(chǎn)調(diào)度問題相比更為復(fù)雜，也更加貼近實(shí)際的生產(chǎn)情況。在傳統(tǒng)的作業(yè)車間調(diào)度問題(Job-shop Scheduling Problem，JSP)中，每個(gè)工件的每道工序只能在指定的機(jī)器上進(jìn)行加工，而FJSP中每個(gè)工件的每道工序均可選擇多臺(tái)機(jī)器來進(jìn)行加工，并且在不同機(jī)器上的加工時(shí)間也不同。但由于FJSP減少了對(duì)加工設(shè)備的約束，擴(kuò)大了可行解的搜索范圍，所以問題的求解也更加復(fù)雜。

針對(duì)FJSP的復(fù)雜性，目前常用的求解方法有遺傳算法(GA)、模擬退火算法(SA)、演化算法(EA)、禁忌搜索(TS)、粒子群算法(PSO)等智能優(yōu)化算法，其中模擬退火算法由于穩(wěn)定性較好，得到了廣泛的應(yīng)用。Laarhoven等[1]于1992年最早將模擬退火算法應(yīng)用于求解車間作業(yè)(Job Shop)調(diào)度問題。Jamili等[2]將模擬退火算法與仿電磁學(xué)算法雜交來求解周期作業(yè)車間調(diào)度問題；Zhang等[3]提出了一種基于塊屬性的模擬退火算法來求解考慮總權(quán)重拖期的Job Shop問題；Dai[4]等使用一種改進(jìn)的遺傳-模擬退火算法來對(duì)柔性作業(yè)車間進(jìn)行能源有效性調(diào)度優(yōu)化，對(duì)作業(yè)車間的能源消耗和環(huán)境影響等因素進(jìn)行了考慮；Elmi等[5]針對(duì)考慮工作單元間物料流動(dòng)和可重入的作業(yè)車間調(diào)度問題，運(yùn)用模擬退火算法進(jìn)行了求解，為了提高算法的搜索效率，提出了基于塊概念的鄰域結(jié)構(gòu)；Zhang等[6]基于一種新的免疫機(jī)制提出了一種求解作業(yè)車間調(diào)度問題的混合模擬退火算法，對(duì)其總權(quán)重拖期進(jìn)行了優(yōu)化；Jolai等[7]針對(duì)無等待的兩階段柔性作業(yè)車間調(diào)度問題提出了一種雙目標(biāo)的模擬退火算法，該算法混合了田口法以及多目標(biāo)決策方法；Shahsavari-Pour等[8]將遺傳算法與模擬退火算法混合提出了一種新的混合亞啟發(fā)式算法，來求解多目標(biāo)柔性作業(yè)車間調(diào)度問題；梁旭等[9]提出了一種求解車間調(diào)度問題的新遺傳退火混合策略，將遺傳算法與模擬退火算法相結(jié)合；藍(lán)萌等[10]提出了一種混合鄰域搜索算法來求解多目標(biāo)柔性作業(yè)車間調(diào)度問題，該算法融合了模擬退火算法、遺傳算法以及免疫機(jī)制。綜上可見，在求解作業(yè)車間調(diào)度問題，尤其是柔性作業(yè)車間調(diào)度問題時(shí)，大多數(shù)學(xué)者都將模擬退火算法作為一種局部搜索方法來對(duì)其他算法進(jìn)行改進(jìn)。但模擬退火算法在參數(shù)設(shè)置不當(dāng)時(shí)容易陷入局部最優(yōu)。為此，本文考慮以模擬退火算法作為主體，加入其他的局部搜索策略來改善算法跳出局部最優(yōu)的能力，對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，并通過對(duì)幾個(gè)不同規(guī)模的FJSP算例進(jìn)行試驗(yàn)計(jì)算，以驗(yàn)證改進(jìn)模擬退火算法求解FJSP的有效性。

1 柔性作業(yè)車間調(diào)度問題

柔性作業(yè)車間調(diào)度問題的優(yōu)化目標(biāo)可以描述為最小化最大完工時(shí)間MakeSpan。假設(shè)有n個(gè)工件，m臺(tái)機(jī)器，工件i有Ji道工序。在某一確定的加工序列中，Sijk、Tijk、Cijk分別為工件i的第j(j∈Ji)道工序在機(jī)器k上的開始加工時(shí)間、加工過程時(shí)間、加工完成時(shí)間，而Tegk、Cegk則分別為機(jī)器k的上一加工任務(wù)的加工過程時(shí)間和加工完成時(shí)間，Cendk為機(jī)器k上加工的最后一道工序的加工完成時(shí)間，CTk為機(jī)器k上所有工件的加工完成時(shí)間，CTend為所有工件的加工完成時(shí)間。則最大作業(yè)完工時(shí)間最小的目標(biāo)函數(shù)為：

Min{CTend}=max{CTk}

(1)

約束條件為：

Sijk+Tijk=Cijk

(2)

Sijk=max{S(i-1)(j-1)k+

T(i-1)(j-1)k,Ci(j-1)(k-1)}

(3)

Cegk-Cijk≥Tegk

(4)

CTk=Cendk

(5)

CTend=max{CTk}

(6)

2 求解FJSP的改進(jìn)模擬退火算法

改進(jìn)的模擬退火算法(ModifiedSimulatedAnnealing，MSA)是將粒子群算法(PSO)中粒子編碼方法引入到模擬退火算法中來，采用基于位置取整和基于輪盤賭[11]兩種不同的編碼方法，并利用3種不同的局部搜索方法來構(gòu)造個(gè)體的鄰域結(jié)構(gòu)。

2.1 個(gè)體編碼方法

在柔性作業(yè)車間調(diào)度問題中，需要確定每個(gè)工件的加工路徑，將粒子群算法中的兩種粒子編碼方法(基于位置取整和基于輪盤賭的方法)引入到模擬退火算法中，以此來進(jìn)行工序加工機(jī)器的選擇，進(jìn)而確定工件的加工路徑。

(1)基于位置取整的個(gè)體編碼。

基于位置取整的編碼方法需要限定個(gè)體位置在正數(shù)范圍內(nèi)，然后對(duì)其進(jìn)行取整操作，通過映射對(duì)應(yīng)的機(jī)器號(hào)得到每道工序所對(duì)應(yīng)的加工機(jī)器，從而得到每個(gè)工件的加工路徑，最后根據(jù)工件的有序加工序列和加工路徑來生成調(diào)度方案。

(2)基于輪盤賭的個(gè)體編碼。

由于柔性作業(yè)車間調(diào)度問題存在部分柔性的情況，即工序并不能在所有機(jī)器上進(jìn)行加工，因此采用基于位置取整的編碼方法進(jìn)行個(gè)體編碼時(shí)，取整后的個(gè)體位置對(duì)應(yīng)的機(jī)器號(hào)可能并不在該工序的備選機(jī)器范圍內(nèi)，此時(shí)需要對(duì)該工序的個(gè)體位置進(jìn)行重新生成，這樣就會(huì)增加算法的計(jì)算時(shí)間。因此考慮一種基于輪盤賭的編碼方法，該方法采用輪盤賭概率選擇來進(jìn)行機(jī)器選擇，每次生成的個(gè)體位置一定會(huì)有唯一的一臺(tái)備選機(jī)器與之一一對(duì)應(yīng)，因此在求解部分柔性作業(yè)車間調(diào)度問題時(shí)能明顯比基于粒子位置取整的編碼方法更加節(jié)省時(shí)間，加快算法的搜索效率。

基于輪盤賭的編碼方法限定個(gè)體位置在(0,1)區(qū)間內(nèi)隨機(jī)生成，得到每道工序選擇機(jī)器的輪盤賭概率，然后看其概率落在哪臺(tái)機(jī)器的概率區(qū)間內(nèi)，就選擇哪臺(tái)機(jī)器來進(jìn)行加工。從而得到每個(gè)工件的加工路徑，最后根據(jù)工件的有序加工序列和加工路徑來生成調(diào)度方案。

2.2 局部搜索方法

模擬退火算法要求較高的初始溫度、較慢的降溫速率、較低的終止溫度以及各溫度下足夠多的抽樣次數(shù)，同時(shí)，如果在參數(shù)選取不恰當(dāng)時(shí)，算法容易陷入某個(gè)局部最優(yōu)值。為了使算法在合適的參數(shù)設(shè)置下能夠順利地找到最優(yōu)的調(diào)度解，且能相應(yīng)地降低算法的運(yùn)行時(shí)間，改進(jìn)模擬算法中考慮加入局部搜索的算法。

(1)基于互換的局部搜索方法?；诨Q的局部搜索方法按以下步驟來實(shí)現(xiàn)：①針對(duì)當(dāng)前解隨機(jī)選擇個(gè)體編碼中的兩個(gè)不同位置p、q(p

(2)基于逆序的局部搜索方法?；谀嫘虻木植克阉鞣椒ò匆韵虏襟E來實(shí)現(xiàn)：①針對(duì)當(dāng)前解隨機(jī)選擇個(gè)體編碼中的兩個(gè)不同位置p、q(p

(3)基于插入的局部搜索方法?；诓迦氲木植克阉鞣椒ò匆韵虏襟E來實(shí)現(xiàn)：①針對(duì)當(dāng)前解隨機(jī)選擇個(gè)體編碼中的兩個(gè)不同位置p、q(p

以上各種局部搜索方法均設(shè)置一定的次數(shù)進(jìn)行重復(fù)操作。

2.3 改進(jìn)模擬退火算法的實(shí)現(xiàn)

在設(shè)定的性能指標(biāo)為最小化最大完工時(shí)間時(shí)，求解FJSP的改進(jìn)模擬退火算法可以按以下步驟來實(shí)現(xiàn)：

(1)控制參數(shù)的初始化。設(shè)置初始溫度T0、降溫速率Q、結(jié)束溫度Te以及每個(gè)溫度下的迭代次數(shù)(即Metropolis鏈長)L。

(2)初始解S1的編碼。采用粒子群算法中的編碼方法對(duì)初始解進(jìn)行個(gè)體編碼。

(3)當(dāng)前解S1的局部搜索。設(shè)置一定的局部搜索次數(shù)對(duì)當(dāng)前解S1的鄰域進(jìn)行搜索，找到新的解S2。

(4)Metropolis準(zhǔn)則判斷。設(shè)最大完工時(shí)間計(jì)算函數(shù)為f(S)，則當(dāng)前解的最大完工時(shí)間為f(S1)，新解的最大完工時(shí)間為f(S2)，時(shí)間差為df=f(S2)-f(S1)，若df<0，則接受S2作為新的當(dāng)前解，即S1=S2。否則計(jì)算新解S2的接受概率exp(-df/T)，其中T為當(dāng)前迭代溫度，若exp(-df/T)>rand(rand表示(0,1)之間的隨機(jī)數(shù))，也接受S2作為新的當(dāng)前解，即S1=S2。否則保留當(dāng)前解S1。

(5)降溫迭代。利用降溫速率Q對(duì)當(dāng)前溫度T進(jìn)行降溫，降溫方法為T=Q×T。

(6)迭代終止。當(dāng)前溫度小于結(jié)束溫度，即T

3 算例分析

3.1 算例計(jì)算

選用經(jīng)典FJSP算例Hurink算例中的car1～car8問題[12]來進(jìn)行計(jì)算。這8個(gè)算例的規(guī)模分別為car1(11×5)(11×5為算例規(guī)模，表示有11個(gè)工件，5臺(tái)加工機(jī)器，其他算例類似)、car2(13×4)、car3(12×5)、car4(14×4)、car5(10×6)、car6(8×9)、car7(7×7)、car8(8×8)。

對(duì)于改進(jìn)模擬退火算法(MSA)，分別采用基于位置取整和基于輪盤賭的編碼方法，其參數(shù)設(shè)定為初始溫度T0=1000、降溫速率Q=0.98、結(jié)束溫度Te=0.001，每個(gè)溫度下的迭代次數(shù)L=300，基于互換操作的局部搜索次數(shù)為3次。對(duì)于car1～car8問題，連續(xù)優(yōu)化20次，將改進(jìn)模擬退火算法(MSA)的求解結(jié)果分別與SA、采用慣性權(quán)重線性遞減的基本粒子群算法(PSO)和混合粒子群算法(HPSO)的求解結(jié)果進(jìn)行比較分析。其中，SA的參數(shù)設(shè)置與MSA的參數(shù)設(shè)置保持一致。PSO和HPSO均采用基于輪盤賭的編碼方法，且HPSO為加入了基于互換操作的局部搜索方法的粒子群算法。其中，考慮到FJSP算例的復(fù)雜性，為了算法能獲得更好的求解性能，將PSO的參數(shù)設(shè)置為種群數(shù)量為20，最大迭代次數(shù)為1000次，將HPSO的互換次數(shù)設(shè)置為3次。

采用Matlab對(duì)上述問題進(jìn)行編程求解，以優(yōu)化最大作業(yè)完工時(shí)間為目標(biāo)，找出各方法在求解不同問題時(shí)得到的最優(yōu)解、最差解以及平均解，結(jié)果如圖1所示，其中適應(yīng)值表示設(shè)定的優(yōu)化目標(biāo)，即最大作業(yè)完工時(shí)間。

從圖1中可以看出，在8個(gè)car類FJSP算例的計(jì)算中，MSA無論是最優(yōu)解、最差解還是平均解都要優(yōu)于PSO、HPSO以及SA的相應(yīng)值，而且基于輪盤賭編碼的MSA比基于位置取整的MSA具有更好的求解性能。

圖1 不同算法解的比較

Fig.1 Comparison of solutions by different algorithms

3.2 MSA算法控制參數(shù)設(shè)置分析

對(duì)于MSA算法，一般設(shè)置初始溫度T0=1000，而Te、Q以及L的設(shè)置則比較靈活。在T0確定了以后，這3個(gè)參數(shù)的設(shè)置直接與算法的求解性能相關(guān)。以下以car1問題為例，以優(yōu)化最大作業(yè)完工時(shí)間為目標(biāo)，采用基于輪盤賭編碼的MSA算法，對(duì)Te、Q及L的參數(shù)選擇進(jìn)行分析。

(1)Te的設(shè)置。設(shè)置T0=1000、Q=0.98、L=300，互換操作次數(shù)為3次，連續(xù)優(yōu)化20次，Te分別設(shè)置為0.0001、0.001、0.01和0.1來進(jìn)行試驗(yàn)計(jì)算，結(jié)果如表1所示。從表1中可以看出，Te的值并不是越小越好，當(dāng)Te=0.001時(shí)，雖然求解時(shí)間比前兩者要長，但算法有更好的尋優(yōu)性能和穩(wěn)定性能，且求解時(shí)間也在可接受的范圍之內(nèi)。因此Te的值選擇0.001較佳。

(2)Q的設(shè)置。設(shè)置T0=1000、Te=0.001、L=300，互換操作次數(shù)為3次，連續(xù)優(yōu)化20次，Q分別設(shè)置0.90、0.93、0.95和0.98來進(jìn)行試驗(yàn)計(jì)算，結(jié)果如表2所示。從表2中可以看出，當(dāng)Q=0.9、0.93、0.95時(shí)，雖然算法的耗時(shí)明顯少于Q=0.98時(shí)，但其求解結(jié)果卻要差的多，因而設(shè)置Q=0.98更為合理。

(3)L的設(shè)置。設(shè)置為T0=1000、Te=0.001、Q=0.98，互換操作次數(shù)為3次，連續(xù)優(yōu)化20次，L分別設(shè)置為100、200、300和400來進(jìn)行試驗(yàn)計(jì)算，結(jié)果如表3所示。從表3的結(jié)果可以看出，在

表3 不同Metropolis鏈長時(shí)的計(jì)算結(jié)果

Table 3 Calculation results at different lengths of Metropolis

可接受的求解耗時(shí)范圍內(nèi)，當(dāng)L=300時(shí)，算法取得了更好的求解結(jié)果。

綜上所述，MSA算法的控制參數(shù)設(shè)置為T0=1000、Q=0.98、Te=0.001、L=300較為合理。

3.3 局部搜索方法的比較

采用不同的局部搜索方法會(huì)使MSA算法得到不同的求解結(jié)果。對(duì)于上述car1～car8問題，運(yùn)用基于輪盤賭編碼的MSA算法，分別采用3種不同的局部搜索方法來進(jìn)行求解。其參數(shù)設(shè)置均為T0=1000、Q=0.98、Te=0.001、L=300，局部搜索次數(shù)為3次，連續(xù)優(yōu)化20次，找出不同局部搜索方法下的最優(yōu)解、最差解以及平均解，結(jié)果如圖2所示。從圖2中可以看出，在采用3種不同局部搜索方法的MSA算法中，基于互換的局部搜索方法有更好的求解性能，尤其是在算例規(guī)模更大的時(shí)候，比如car6問題。同時(shí)，基于互換的局部搜索方法在編程實(shí)現(xiàn)時(shí)代碼更加簡單，具有更快的求解速度。

圖2 不同局部搜索策略下算法解的比較

Fig.2 Comparison of solutions by the algorithm under different local searches

3.4 局部搜索次數(shù)的確定

在局部搜索過程中，局部搜索次數(shù)的設(shè)置是一個(gè)很重要的參數(shù)。局部搜索次數(shù)過少，則搜索的效果不明顯，無法體現(xiàn)局部搜索的作用，而次數(shù)過多則會(huì)加大MSA算法的搜索空間，影響算法的求解效率。為此，需要確定一個(gè)合適的局部搜索次數(shù)，既能保證MSA算法的有效性，又能保證MSA算法的求解效率。

針對(duì)規(guī)模較大的car6問題，參數(shù)設(shè)置為T0=1000、Q=0.98、Te=0.001，L=300，連續(xù)優(yōu)化20次，分別設(shè)置局部搜索次數(shù)為1～10次來進(jìn)行試驗(yàn)計(jì)算，結(jié)果如表4所示。從表4中可以看出，算法的求解結(jié)果并不完全是隨著互換操作次數(shù)的增加而變得更好，但求解時(shí)間卻隨著互換操作次數(shù)的增加而變得越來越長。設(shè)置合理的互換操作次數(shù)不僅可以獲得更好的求解結(jié)果，而且可以縮小算法的搜索空間，節(jié)約算法的求解時(shí)間，加快算法的求解效率。從表5可以看出，無論是最優(yōu)值、最差值還是平均值，從提高算法的尋優(yōu)性能和穩(wěn)定性能角度出發(fā)，互換操作次數(shù)設(shè)置為3次最為合理。

4 結(jié)語

本文在研究了柔性作業(yè)車間調(diào)度問題的基礎(chǔ)上，將PSO算法中基于位置取整和基于輪盤賭兩種不同的編碼方法引入到模擬退火算法中來，并采用了3種不同的局部搜索方法，提出一種改進(jìn)模擬退火算法(MSA)來求解柔性作業(yè)車間調(diào)度問題。然后通過對(duì)幾個(gè)不同規(guī)模的FJSP算例的試驗(yàn)計(jì)算，分析了不同局部搜索方法的有效性，確定了合理的參數(shù)，說明了基于輪盤賭編碼的MSA算法在求解FJSP問題時(shí)具有更好的求解性能，且采用基于互換的局部搜索方法能有效改善算法的求解性能。

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[12]Monaldo Mastrolilli．Flexible job shop problem[DB/OL]．http: //people.idsia.ch/～monaldo /fjsp.html.

[責(zé)任編輯 鄭淑芳]

Modified simulated annealing algorithm for flexible job-shop scheduling problem

LiJun1,LiuZhixiong1,ZhangYu2,HeJingjing1

(1. College of Automobile and Traffic Engineering, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan 430081, China; 2. College of Logistics Engineering, Wuhan University of Technology, Wuhan 430063, China)

A modified simulated annealing algorithm was put forward to resolve the flexible job-shop scheduling problem, which used two kinds of individual encoding method respectively based on particle position rounding and roulette probability assignment in particle swarm algorithm.Three different local search methods were employed to constitute the neighborhood structure. The computational results show that the modified simulated annealing algorithm is more effective than particle swarm algorithm, hybrid particle swarm algorithm and simulated annealing algorithm in resolving the flexible job-shop scheduling problem. Compared with the position rounding encoding method, the roulette-probability-assignment-based encoding method can render the algorithm more effective, and the local search method based on crossing-over operation is better than the other two search methods in improving the solving performance of the algorithm.

flexible job-shop scheduling problem; job shop;simulated annealing algorithm; roulette selection; local search

2014-09-05

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(70801047,71372202)；中央高?；究蒲袑ｍ?xiàng)基金資助項(xiàng)目(2013-IV-057).

李 俊(1989-)，男，武漢科技大學(xué)碩士生.E-mail:286485135@qq.com

劉志雄(1975-)，男，武漢科技大學(xué)教授，博士.E-mail:lzx_brad@126.com

TP18

A

1674-3644(2015)02-0111-06