新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題的研究

吳劍

數(shù)學(xué)一直是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，高考中的生命線，數(shù)列在其中扮演了重要角色，掌握數(shù)列的概念、數(shù)列通項(xiàng)公式的意義，是學(xué)習(xí)數(shù)列的基礎(chǔ)，了解遞推公式也是必不可少的，學(xué)習(xí)數(shù)列是為了解決簡單的實(shí)際問題。為服務(wù)生活，在實(shí)際應(yīng)用中的儲(chǔ)蓄、人口增長、分期付款等問題都需要用到相關(guān)知識(shí)，現(xiàn)實(shí)生活處處體現(xiàn)著兩者間密切的聯(lián)系。因此，如何把數(shù)列學(xué)好，并應(yīng)用到實(shí)際，就成了非常重要的問題。

一、高中數(shù)學(xué)數(shù)列內(nèi)容概述

（一）地位

高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)課程內(nèi)容安排遵守“螺旋上升”式原則。因此，在人教版新課標(biāo)數(shù)學(xué)必修五第二章中安排了“數(shù)列”。作為一個(gè)獨(dú)立的章節(jié)，占12個(gè)課時(shí)，也可以看出數(shù)列的重要性。

在數(shù)學(xué)中，數(shù)列扮演著重要角色體現(xiàn)在知識(shí)聯(lián)系上，數(shù)列連接著許多數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)、不等式、函數(shù)和方程都離不開數(shù)列。數(shù)列體現(xiàn)著很獨(dú)特的思想方法，如函數(shù)和方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、類比歸納、整體代入等重要的數(shù)學(xué)思想和方法。在實(shí)際應(yīng)用里，數(shù)列和儲(chǔ)蓄、分期付款、物品的堆放、人口增長這些問題都有著很強(qiáng)的聯(lián)系。

（二）學(xué)習(xí)內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：數(shù)列中其屬性和項(xiàng)數(shù)是我們關(guān)注的重點(diǎn)，要學(xué)會(huì)用函數(shù)的觀點(diǎn)來探討數(shù)列；必須熟練掌握數(shù)列求和的基本方法和相關(guān)遞推數(shù)列等問題。

難點(diǎn)：數(shù)列與不等式和函數(shù)等綜合問題。遞推數(shù)列的解決方法。

（三）數(shù)列性質(zhì)

數(shù)列很特殊，是因?yàn)樗x在正整數(shù)集（或其子集）上是一種特殊的函數(shù)，所以它具有函數(shù)的一般性質(zhì)，單調(diào)性、最值、周期性等等。數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)也常常作為考察重點(diǎn)，因?yàn)樗菙?shù)列與函數(shù)的交匯點(diǎn)，是重點(diǎn)知識(shí)考查，是高考試題的熱點(diǎn)，當(dāng)然也能考察學(xué)生的綜合能力。

二、高考中數(shù)列問題的解題策略

1. 直接運(yùn)用通項(xiàng)與求和公式。學(xué)生課下必須牢記并熟練運(yùn)用等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式，這些題目沒有捷徑，記住把公式直接運(yùn)用到固定題型中就行了。

2. 靈活利用常見性質(zhì)。做題少的，沒有經(jīng)驗(yàn)的考生常常高考中也常常用傳統(tǒng)的方法求“首項(xiàng)”及“公差（比）”，很多題型都會(huì)直接考查這些性質(zhì)，如果可以靈活運(yùn)用性質(zhì)，就會(huì)很簡單，也能節(jié)省一些答題時(shí)間，增強(qiáng)自信心。

3. 累加（乘）法通項(xiàng)公式。累加法和累乘法是在處理數(shù)列問題時(shí)很好用的推導(dǎo)方法，分別應(yīng)用于等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式中，高考中也常常出現(xiàn)以這兩種方法為基礎(chǔ)的題型，來考查學(xué)生對(duì)數(shù)列的掌握。

4. 數(shù)學(xué)歸納法求通項(xiàng)公式。數(shù)學(xué)歸納法常被用于證明與自然數(shù)n相關(guān)的題型，是一種證明方法，也會(huì)用在數(shù)列通項(xiàng)公式這類題型中，我們用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，常規(guī)的方法有時(shí)很不好用，那么就嘗試一下“數(shù)學(xué)歸納法”。

三、學(xué)習(xí)數(shù)列中應(yīng)有的能力

1. 培養(yǎng)合情推理能力和創(chuàng)新意識(shí)。俗話說，沒有大膽的猜測，就不會(huì)有偉大的發(fā)現(xiàn)。應(yīng)該重視大膽猜測，歸納判斷，在猜測的基礎(chǔ)上加以論證。創(chuàng)新意識(shí)很利于實(shí)際問題的解決，合情的推理可以為解決問題提供線索，合理的猜測有利于得出結(jié)論。

2. 培養(yǎng)推理論證能力。高中數(shù)學(xué)中合理論證發(fā)揮著重要作用，所以必須注意培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力。學(xué)生應(yīng)注意培養(yǎng)自己嚴(yán)密的數(shù)學(xué)邏輯思維能力，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一個(gè)很重要的、必備的能力之一。

3. 培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。想要具備解決簡單實(shí)際問題的能力，就必須增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，以數(shù)列來顯示與生活的緊密聯(lián)系，高考中常常以數(shù)列為背景考察實(shí)際問題。

一直以來，研究高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題都是一線數(shù)學(xué)專家的研究要點(diǎn)，這里，針對(duì)數(shù)列的地位、學(xué)習(xí)要點(diǎn)、性質(zhì)、思想方法、策略和需要的學(xué)習(xí)能力進(jìn)行研究，說明數(shù)列問題的學(xué)習(xí)不是一件容易的事，還需要學(xué)生們刻苦鉆研題型、總結(jié)方法、積累數(shù)學(xué)思想。也進(jìn)一步說明在新課標(biāo)下，高中數(shù)學(xué)和應(yīng)用高等數(shù)學(xué)的必要性。