MH-凸函數(shù)及其Jensen型不等式

宋振云

(湖北職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，湖北 孝感 432000)

MH-凸函數(shù)及其Jensen型不等式

宋振云

(湖北職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，湖北 孝感 432000)

摘要：針對(duì)調(diào)和凸函數(shù)，GH-凸函數(shù)，AH-凸函數(shù)的推廣問(wèn)題，提出了MH-凸函數(shù)的概念，通過(guò)進(jìn)一步研究MH-凸函數(shù)的凸性特征,給出了MH-凸函數(shù)的判定定理和相關(guān)性質(zhì)，建立了關(guān)于MH-凸函數(shù)的Jensen型不等式.

關(guān)鍵詞：MH-凸函數(shù)；判定定理；性質(zhì)；Jensen型不等式

1引言及MH-凸函數(shù)的概念

隨著凸性及其廣義凸性在控制、最優(yōu)化、線性規(guī)劃等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，近年來(lái)，對(duì)函數(shù)凸性的研究也愈來(lái)愈深入，尤其是基于凸性及其廣義凸性理論建立起來(lái)的凸分析，已引起眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注和高度重視，使得許多新的凸函數(shù)概念在關(guān)注和重視中被不斷提出，如調(diào)和凸函數(shù)[1]，GH-凸函數(shù)[2]，AH-凸函數(shù)[3]，P-凸函數(shù)(MA-凸函數(shù))[4]等等.本文針對(duì)調(diào)和凸函數(shù)、GH-凸函數(shù)、AH-凸函數(shù)的進(jìn)一步推廣問(wèn)題，提出了MH-凸函數(shù)的概念，研究了MH-凸函數(shù)的凸性特征，給出了MH-凸函數(shù)的判定定理和若干性質(zhì)，建立了MH-凸函數(shù)的Jensen型不等式.

定義1設(shè)I?R+，f:I→R+，若?x1,x2∈I，?t∈[0,1]，存在r∈R，使得

(1)

則稱f為I上的MH-凸函數(shù)；若不等式(1)中的不等號(hào)反向，則稱f為I上的MH-凹函數(shù).

顯然，當(dāng)r=0,-1,1時(shí)，MH-凸(凹)函數(shù)即分別為GH-凸(凹)函數(shù)，調(diào)和凸(凹)函數(shù)和AH-凸(凹)函數(shù).

2MH-凸函數(shù)的判定及其性質(zhì)

由于r=0時(shí)MH-凸(凹)函數(shù)為GH-凸(凹)函數(shù)，其相關(guān)討論見文[2].本文約定所有討論只考慮r≠0的情形.注意到閉區(qū)間I?R+上的函數(shù)τ(x)=xr當(dāng)r≠0時(shí)是單調(diào)的，記τ(I)=Ir.

定理1設(shè)I?R+，f:I→R+，則f(x)為I上的MH-凸(凹)函數(shù)的充要條件是：函數(shù)(f(x))-1為I上的P-凹(凸)函數(shù).

證明(f(x))-1為I上的P-凹(凸)函數(shù)，且f(x)>0?

f(x)為I上的MH-凸(凹)函數(shù).證畢.

故f(x)為I上的MH-凸函數(shù).

由上述證明過(guò)程可知，定理的后半部分成立.

同樣地可以證明：

定理4設(shè)I?R+，f:I→R+，且二階可導(dǎo)，則f(x)為I上的MH-凸(凹)函數(shù)的充要條件是：

x[2(f′(x))2-f(x)f″(x)]-(1-r)f(x)f′(x)≤(≥)0(x∈I).

(2)

注意到x∈I?R+，且f(x)>0，則

g″(xr)≤(≥)0?2x(f′(x))2-xf(x)f″(x)-(1-r)f(x)f′(x)≤(≥)0(x∈I)，

根據(jù)定理3f(x)為I上的MH-凸(凹)函數(shù)?

g″(xr)≤(≥)0?2x(f′(x))2-xf(x)f″(x)-(1-r)f(x)f′(x)≤(≥)0(x∈I).證畢.

定理5設(shè)I?R+，f:I→R+，

(i)若f(x)為I上嚴(yán)格遞增的調(diào)和凸函數(shù)，則當(dāng)r≤-1時(shí)，f(x)在I上是MH-凸函數(shù)；

(ii)若f(x)為I上嚴(yán)格遞減的調(diào)和凸函數(shù)，則當(dāng)r≥-1時(shí)，f(x)在I上是MH-凸函數(shù)；

(iii)若f(x)為I上嚴(yán)格遞減的調(diào)和凹函數(shù)，則當(dāng)r≤-1時(shí)，f(x)在I上是MH-凹函數(shù)；

(iv)若f(x)為I上嚴(yán)格遞增的調(diào)和凹函數(shù)，則當(dāng)r≥-1時(shí)，f(x)在I上是MH-凹函數(shù).

證明只證(i)，同理可證(ii)(iii)(iv).

?x1,x2∈I及?t∈[0,1]，當(dāng)r≤-1時(shí)，由冪平均的單調(diào)性[6-7]，得

因?yàn)閒(x)為I上嚴(yán)格遞增的調(diào)和凸函數(shù)，所以

故f(x)是I上的MH-凸函數(shù).

定理6設(shè)I,D?R+,f:I→D，且f(I)=D，

(i)若y=f(x)為I上嚴(yán)格遞增的MH-凸函數(shù)，則當(dāng)r≥-1時(shí)，其反函數(shù)y=f-1(x)為D上MH-凹函數(shù)；(ii)若y=f(x)為I上嚴(yán)格遞增的MH-凹函數(shù)，則當(dāng)r≤-1時(shí)，其反函數(shù)y=f-1(x)為D上MH-凸函數(shù)；

證明只證(i)，同理可證(ii).

設(shè)f(x)在I上是嚴(yán)格遞增的，則f(x)在I上的反函數(shù)y=f-1(x)在D上是嚴(yán)格遞增的，

?y1,y2∈D，必存在x1,x2∈I，使x1=f-1(y1)，x2=f-1(y2)，即y1=f(x1)，y2=f(x2).

當(dāng)r≥-1時(shí)，若y=f(x)是I上的MH-凸函數(shù)，則

(3)

所以，由y=f-1(x)在D上的嚴(yán)格遞增性和式(3)，得

故y=f-1(x)為D上的MH-凹函數(shù).

定理7設(shè)B?I?R+，A?R+，f:I→R+,μ:A→B，則

(i)若y=f(u)為I上嚴(yán)格遞增的調(diào)和凸函數(shù)，u=μ(x)為A上的MH-凸函數(shù)，則y=f(μ(x))為A上的MH-凸函數(shù)；

(ii)若y=f(u)為I上嚴(yán)格遞減的調(diào)和凸函數(shù)，u=μ(x)為A上的MH-凹函數(shù)，則y=f(μ(x))為A上的MH-凸函數(shù)；

(iii)若y=f(u)為I上嚴(yán)格遞增的調(diào)和凹函數(shù)，u=μ(x)為A上的MH-凹函數(shù)，則y=f(μ(x))為A上的MH-凹函數(shù)；

(iv)若y=f(u)為I上嚴(yán)格遞減的調(diào)和凹函數(shù)，u=μ(x)為A上的MH-凸函數(shù)，則y=f(μ(x))為A上的MH-凹函數(shù).

證明只證(i)，同理可證(ii)、(iii)、(iv).

又u=μ(x)是A上的MH-凸函數(shù)，所以

且y=f(u)為I上嚴(yán)格遞增的調(diào)和凸函數(shù)，所以

即y=f(μ(x))是A上的MH-凸函數(shù).

3MH-凸函數(shù)的Jensen型不等式

(4)

若f(x)是I上的MH-凹函數(shù)，則式(4)中的不等號(hào)反向.

即

如果f(x)是MH-凹函數(shù)，則證明過(guò)程中的不等號(hào)反向，即式(4)中的不等號(hào)反向. 證畢.

(5)

(6)

證明考察函數(shù)f(x)=x(x∈R+),則x[2(f′(x))2-f(x)f″(x)]-(1-r)f(x)f′(x)=(1+r)x

當(dāng)r≥-1時(shí)，f(x)=x是R+上的MH-凹函數(shù)，同樣地應(yīng)用定理8可證式(6)成立.

參考文獻(xiàn):

[1] 吳善和.調(diào)和凸函數(shù)與琴生型不等式[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2004，27(4)：382-385.

[2] 陳少元.GH-凸函數(shù)及其Jensen型不等式[J].首都師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，34(5):1-5.

[3] 陳少元.AH-凸函數(shù)及其應(yīng)用[J].湖北職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2013,16(2):106-109.

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MH-convex Function and its Jensen-type Inequality

SONG Zhenyun

(School of Mechanical and Electrical Engineering, Hubei Polytechnic Institute, Xiaogan 432000,China)

Abstract:In view of the extension of harmonic convex function, GH-convex function and AH-convex function, the paper brings forward the concept of MH-convex function. After studying the convexity properties of MH-convex function, it gives the decision theorem and corresponding properties of MH-convex function, and sets up Jensen-type inequality of MH-convex function.

Key words:MH-convex function; decision theorem; property; Jensen-type inequality

通信作者：宋振云(1958—),男，教授，主要從事高等數(shù)學(xué)及凸分析方面研究.E-mail: hbsy12358@126.com

基金項(xiàng)目:湖北省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃項(xiàng)目(2013A054).

收稿日期：2014-09-23

文章編號(hào):1674-232X(2015)02-0156-05

中圖分類號(hào):O178.1MSC2010: 52A41

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2015.02.008