地震作用下密頻拱橋Rayleigh阻尼的優(yōu)化解

雷素素，高永濤，潘旦光

（北京科技大學(xué)土木與環(huán)境工程學(xué)院，100083北京）

地震作用下密頻拱橋Rayleigh阻尼的優(yōu)化解

雷素素，高永濤，潘旦光

（北京科技大學(xué)土木與環(huán)境工程學(xué)院，100083北京）

為建立頻譜密集結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣，以地震反應(yīng)譜理論為基礎(chǔ)，基于完全二次組合（CQC）提出了求解Rayleigh阻尼系數(shù)的優(yōu)化分析方法.在此基礎(chǔ)上，為實(shí)現(xiàn)任意階模態(tài)阻尼比等于精確阻尼的要求，利用Lagrange乘子法進(jìn)一步建立了求解Rayleigh阻尼系數(shù)約束優(yōu)化方法.以一座斜交曲梁下承式鋼結(jié)構(gòu)吊索拱橋?yàn)槔?，討論?yōu)化分析所得Rayleigh阻尼系數(shù)的穩(wěn)定性，比較了不同的優(yōu)化目標(biāo)組合、約束條件對優(yōu)化參考頻率和地震反應(yīng)的影響，以及約束優(yōu)化解中約束模態(tài)的選取問題.數(shù)值分析結(jié)果表明，與平方和開平方組合（SRSS）相比，CQC組合所得的Rayleigh阻尼系數(shù)的地震反應(yīng)計(jì)算誤差更小，約束模態(tài)應(yīng)該選取對結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)有顯著貢獻(xiàn)的第一階模態(tài).

密頻結(jié)構(gòu)；地震反應(yīng)；Rayleigh阻尼；優(yōu)化分析；完全二次型組合

橋梁作為生命線工程之一，其抗震安全性歷來備受矚目.為滿足交通功能和城市景觀功能，世界各地因地制宜的修建大量造型優(yōu)美的非規(guī)則橋梁.對于非規(guī)則橋梁，其動力響應(yīng)特性復(fù)雜，因此，中國規(guī)范［1］要求采用時程分析法、多振型反應(yīng)譜法和功率譜法等分析方法來確保其抗震性能.當(dāng)采用直接積分法進(jìn)行時程反應(yīng)分析時，必然涉及阻尼矩陣的建立問題.在各種阻尼矩陣的構(gòu)建方法中，Rayleigh阻尼［2－3］由于數(shù)學(xué)處理的便利性而廣泛應(yīng)用到各種橋梁的地震反應(yīng)分析中，通常Rayleigh阻尼系數(shù)通過指定兩階參考頻率進(jìn)行計(jì)算.文獻(xiàn)［4－5］以最低兩階橫向模態(tài)為參考模態(tài)形成連續(xù)梁橋的Rayleigh阻尼；文獻(xiàn)［6］以基頻和對結(jié)構(gòu)有重要影響模態(tài)為參考模態(tài)構(gòu)造Rayleigh阻尼，對大跨雙曲拱橋進(jìn)行地震分析；文獻(xiàn)［7］建議選擇兩個振型參與系數(shù)大的振型來確定Rayleigh阻尼矩陣，對于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)，直接指定兩階合理的參考頻率有一定的難度，此時可采用優(yōu)化理論的方法計(jì)算Rayleigh阻尼系數(shù)；文獻(xiàn)［8］提出采用最小二乘法計(jì)算α和β，最小二乘法沒有考慮各階模態(tài)對動力反應(yīng)貢獻(xiàn)的差異，不是一種合理計(jì)算方法［9］；文獻(xiàn)［10］建立了基于多參考振型的加權(quán)最小二乘法計(jì)算Rayleigh阻尼；文獻(xiàn)［11－12］基于振型疊加反應(yīng)譜理論和平方和開平方原理（SRSS），建立了Rayleigh阻尼系數(shù)的優(yōu)化解；文獻(xiàn)［13－14］分別通過顯式方法和拉格朗日乘子法求解了有約束模態(tài)的Rayleigh阻尼系數(shù)，但是并未考慮約束模態(tài)的影響和約束模態(tài)的選取方法.

由反應(yīng)譜的理論可知，SRSS組合沒有考慮模態(tài)之間的相互影響，比較適合頻率較為稀疏結(jié)構(gòu)的反應(yīng)分析.對于頻率密集的結(jié)構(gòu)，頻率比在0.85以內(nèi)的模態(tài)之間相互影響很大［15］.為此，在文獻(xiàn)［11，14］基礎(chǔ)上，本文主要進(jìn)行兩方面研究：基于完全二次組合（CQC）推導(dǎo)了優(yōu)化Rayleigh阻尼系數(shù)的計(jì)算公式，以模態(tài)相關(guān)系數(shù)考慮模態(tài)之間的相互影響，并與SRSS組合優(yōu)化方法進(jìn)行比較，討論密頻結(jié)構(gòu)目標(biāo)函數(shù)的建立問題；采用Lagrange乘子法建立基于CQC組合的Rayleigh阻尼系數(shù)約束優(yōu)化求解方法，在此基礎(chǔ)上，以張家口一座斜交曲梁下承式鋼結(jié)構(gòu)吊索拱橋?yàn)槔懻摷s束模態(tài)的選取方法及約束條件對優(yōu)化結(jié)果的影響.

1 Rayleigh阻尼系數(shù)約束優(yōu)化解

在地震輸入作用下，多自由度體系的強(qiáng)迫振動方程可表示為

式中：u、ù和ü分別為相對位移、相對速度和相對加速度向量，I為地面運(yùn)動影響向量，üg（t）為地面運(yùn)動加速度，M、C和K分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣.假設(shè)C為Rayleigh阻尼，即

式中：α和β分別為質(zhì)量比例阻尼系數(shù)和剛度比例阻尼系數(shù).若已知結(jié)構(gòu)前N階的頻率ωn和模態(tài)φn（n＝1，2，…，N），則由式（2）所得第n階模態(tài)的近似阻尼比為

若第n階模態(tài)的精確阻尼比為ζ?n，由模態(tài)疊加反應(yīng)譜法的理論可知，第n階模態(tài)對第k自由度的最大位移反應(yīng)ukn由Rayleigh阻尼所得的近似解和精確解可分別表示為：

式中上標(biāo)?表示精確解.γn＝－φn T MI／Mn，Mn＝φn T Mφn分別為第n階振型參與系數(shù)和振型質(zhì)量，Sd（ζn，ωn）為第n階模態(tài)的位移反應(yīng)譜，其計(jì)算式為

為考慮頻率密集結(jié)構(gòu)模態(tài)之間的相互影響，基于反應(yīng)譜理論中的相關(guān)系數(shù)和CQC組合，以第k自由度位移反應(yīng)建立目標(biāo)函數(shù)：

式中λij＝ωi／ωj，ρij為第i階模態(tài)和第j階模態(tài)的相關(guān)系數(shù)［3］.顯然，式（7）是α和β的隱函數(shù).為簡化計(jì)算，將位移反應(yīng)譜函數(shù)采用一階Taylor級數(shù)展開：

式中S′d（ζ?n，ωn）＝?Sd（ζ?n，ωn）／?ζn.將式（9）代入式（8），整理后可得

式中：

為得式（10）的最小值，令

化簡后可得

式中 G＝ΩWΩT，R＝ΩWy.求解式（12）即可得Rayleigh阻尼系數(shù)的無約束優(yōu)化解.如果式（10）的權(quán)重矩陣僅保留主對角線元素，而令其余元素為零，即可得到基于SRSS組合的優(yōu)化Rayleigh阻尼系數(shù)，由此可知，基于CQC組合的優(yōu)化方法計(jì)算工作量增加很小.為使第r階模態(tài)的阻尼比等于精確值ζ?r，則可增加約束條件：

采用Lagrange乘子法，式（13）約束條件下，式（10）的目標(biāo)函數(shù)可表示為

將式（14）分別對X與λ求導(dǎo)，并令相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)為零可得代數(shù)方程組：

求解式（15）方程，所得的Rayleigh阻尼系數(shù)為第r階模態(tài)阻尼比等于精確解的約束優(yōu)化解.

2 工程概況及輸入地震波

為驗(yàn)證以上算法合理性和精度以及約束條件必要性，以張家口通泰大橋?yàn)槔?，探討不同方法所得Rayleigh阻尼系數(shù)對橋梁地震反應(yīng)的影響.通泰大橋是一座斜交曲梁下承式鋼結(jié)構(gòu)吊索拱橋（圖1），橋的拱圈斜跨主梁，水平投影與主梁跨中軸線切向夾角19.5°，主梁與拱圈之間由28根吊索相連，主橋?yàn)榭鐝?90 m的鋼箱梁彎橋，彎曲半徑600 m，拱圈最大矢高62.118 m，拱腳間距180 m，主梁和拱圈的截面尺寸見圖1.

圖1 橋梁示意（mm）

橋梁采用單脊梁式建立有限元模型，見圖2.模型中以Timoshenko梁單元（beam189）剖分主梁和拱，以索單元（link180）剖分吊索.鋼的彈性模量為2.06×1011Pa，密度7 850 kg／m3，泊松比0.3.橋面鋪裝及欄桿采用附加質(zhì)量的方式考慮，每個梁單元節(jié)點(diǎn)附加質(zhì)量為1.23×104kg.根據(jù)設(shè)計(jì)圖紙，拱腳為固定支座，梁端為鉸支座.模型共包括431個單元，676個節(jié)點(diǎn)，其中坐標(biāo)系：x方向?yàn)闄M橋向，y方向?yàn)轫槝蛳颍瑉方向?yàn)樨Q向.并設(shè)各階模態(tài)的精確阻尼比為0.02.建立有限元模型后，在恒載作用下，索力調(diào)整以橋面1／8點(diǎn)豎向位移的平方和最小為優(yōu)化目標(biāo)，以跨中位移小于l0／400（l0為主梁跨徑）為約束條件進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，所得索力和橋梁應(yīng)力作為后續(xù)地震反應(yīng)分析的初始應(yīng)力狀態(tài).

在式（9）計(jì)算中，權(quán)重系數(shù)wij涉及第k自由度的模態(tài)位移φkn，即優(yōu)化的參考自由度問題.根據(jù)文獻(xiàn)［11］的研究成果，以拱頂這一最大位移反應(yīng)的自由度為參考自由度.

在輸入地震波方面，選擇3條不同類型的地震波作為橋梁的地震輸入，并將地震波峰值加速度統(tǒng)一調(diào)整為0.1 g.地震波的加速度時程和7個阻尼比（ζ＝0.005、0.01、0.02、0.03、0.05、0.10、0.20）下的位移反應(yīng)譜見圖3.

圖2 橋梁有限元模型

圖3 地震波加速度時程及其位移反應(yīng)譜

對于實(shí)際地震輸入下的反應(yīng)譜必然是極不規(guī)則的曲線，因此，無法建立位移反應(yīng)譜顯式表達(dá)式.此時可由7個阻尼比的反應(yīng)譜通過曲線擬合并求導(dǎo)計(jì)算得到［14］，即

3 計(jì)算結(jié)果及分析

3.1 橋梁自振特性

對于吊索拱橋，拉索的應(yīng)力對結(jié)構(gòu)的動力特性有顯著影響.為考慮重力對拉索應(yīng)力的影響及拉索的幾何剛度，拱橋的模態(tài)分析分兩個步驟：計(jì)算重力及初始應(yīng)力下結(jié)構(gòu)的應(yīng)力；進(jìn)行有預(yù)應(yīng)力的模態(tài)分析.結(jié)構(gòu)主要階數(shù)的自振頻率、振型參與質(zhì)量、累積振型參與質(zhì)量和振型特征見表1.可見當(dāng)模態(tài)階數(shù)達(dá)198階時，x和y方向的累積振型參與質(zhì)量都超過90%.

表1 部分顯著貢獻(xiàn)模態(tài)

從模態(tài)分析結(jié)果看，第1階模態(tài)是拱橫橋向（x方向）振動的第1個顯著貢獻(xiàn)模態(tài)，第3階模態(tài)是拱順橋向（y方向）振動的第1個顯著貢獻(xiàn)模態(tài)，且是橫橋向振型參與質(zhì)量最大的一階模態(tài)；因此，建立式（12）的約束條件時，橫橋向的約束模態(tài)取為第1階，同時，也計(jì)算第3階模態(tài)為約束模態(tài)作為對比.在順橋向約束模態(tài)的選取方面，分別選擇結(jié)構(gòu)的基頻（第1階）和對y方向振動有顯著貢獻(xiàn)的第1個模態(tài)（第3階）作為約束模態(tài)，進(jìn)行對比分析，以理解基頻的含義.兩種做法雖然最終選取的約束模態(tài)都是第1階和第3階，但對比分析的目的并不相同.

3.2 參與優(yōu)化計(jì)算模態(tài)個數(shù)影響

由式（6）可知，Rayleigh阻尼系數(shù)優(yōu)化計(jì)算與參與優(yōu)化計(jì)算的模態(tài)個數(shù)N有關(guān).圖4、5為x方向激勵下不同方法所得Rayleigh阻尼系數(shù)隨模態(tài)數(shù)N的變化情況，y方向激勵下的計(jì)算結(jié)果具有相同的變化規(guī)律.圖中SRSS和CQC為無約束優(yōu)化分析的結(jié)果，SRSS1、SRSS3、CQC1和CQC3表示約束優(yōu)化解.字母后面的數(shù)字表示約束模態(tài)的階數(shù)，譬如，CQC3表示第3階模態(tài)的阻尼比等于精確值作為約束條件，用CQC組合作為模態(tài)函數(shù)所得的約束優(yōu)化解.從Rayleigh阻尼系數(shù)曲線看，當(dāng)累積振型參與質(zhì)量超過90%的模態(tài)參與優(yōu)化計(jì)算，無論是SRSS組合還是 CQC組合，無論是無約束還是有約束，Rayleigh阻尼系數(shù)的計(jì)算結(jié)果趨向于一個穩(wěn)定值.因此，下面計(jì)算分析時，都以 N＝198所得的優(yōu)化Rayleigh阻尼系數(shù)進(jìn)行時程分析.

圖4 x方向激勵無約束優(yōu)化解

圖5 x方向激勵約束優(yōu)化解

不同優(yōu)化算法計(jì)算所得的α和β列于表2、3.將α和β代入式（3）計(jì)算各階模態(tài)阻尼比，并稱優(yōu)化計(jì)算所得阻尼比等于精確阻尼比的頻率為優(yōu)化參考頻率，不同方法所得優(yōu)化參考頻率也列于表2、3.

由計(jì)算結(jié)果可知：1）對比CQC和SRSS所得Rayleigh阻尼系數(shù)可知，CQC組合所得α更大而β更小，由此導(dǎo)致CQC組合所得的第二個優(yōu)化參考頻率大于SRSS，但第一個參考頻率基本相同，這表明CQC組合更多地考慮了高階模態(tài)的影響；2）對比無約束和有約束優(yōu)化解的計(jì)算結(jié)果可知，當(dāng)約束模態(tài)是相應(yīng)激勵方向第一個顯著貢獻(xiàn)模態(tài)（x方向激勵時選第1階，y方向激勵時選第3階），約束優(yōu)化解的第2個參考頻率與無約束優(yōu)化解的基本相同，且無約束優(yōu)化解的第一個參考頻率也接近約束模態(tài)，對于這種情況，增加約束條件對優(yōu)化計(jì)算影響很小；3）不同地震波輸入下，優(yōu)化參考頻率并不相同，這是由于不同地震波的頻譜特性并不相同，而本文優(yōu)化分析方法可綜合考慮結(jié)構(gòu)動力特性和輸入地震波的頻譜特性的影響.

表2 x方向激勵下優(yōu)化Rayleigh阻尼系數(shù)及參考頻率

表3 y方向激勵下優(yōu)化Rayleigh阻尼系數(shù)及參考頻率

3.3 反應(yīng)峰值的計(jì)算誤差

由模態(tài)分析可知，當(dāng)模態(tài)個數(shù)達(dá)1 000階時，體系x方向和y方向的累積振型參與質(zhì)量都超過99%.為此，采用各階模態(tài)的精確阻尼比，以1 000階模態(tài)的振型分解法計(jì)算所得的結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)量作為精確解，并記為r?.采用Rayleigh阻尼模型所得的近似解記為r，則Rayleigh阻尼模型計(jì)算結(jié)果的相對誤差e為

作為對比的傳統(tǒng)Rayleigh阻尼計(jì)算方法，在x方向激勵時，選用i＝1，j＝115和i＝1，j＝198兩模態(tài)組合方式，在y方向激勵時，選用i＝1，j＝138和i＝3，j＝138兩種模態(tài)組合方式計(jì)算相應(yīng)的Rayleigh阻尼矩陣.下面分別從拱頂位移峰值，拱腳的軸力、剪力的峰值比較不同方法所得Rayleigh阻尼對計(jì)算精度的影響.

在不同地震波沿x方向激勵作用下，不同方法所得Rayleigh阻尼的計(jì)算誤差見表4.可看出：1）從總體統(tǒng)計(jì)角度看，使用優(yōu)化方法得到的計(jì)算誤差都小于傳統(tǒng)方法，而不考慮輸入地震波影響的傳統(tǒng)計(jì)算方法，不同地震波的計(jì)算誤差差別很大；2）除CQC3外，無約束優(yōu)化解和約束優(yōu)化解的計(jì)算誤差基本相同，這表明無約束優(yōu)化方法具有自動識別顯著貢獻(xiàn)模態(tài)的能力，而無需人為指定約束條件進(jìn)行約束優(yōu)化分析；3）采用SRSS組合進(jìn)行優(yōu)化分析結(jié)果具有很好精度，而CQC組合的計(jì)算精度更高，這是由于SRSS組合的優(yōu)化方法所得的Rayleigh阻尼系數(shù)使反應(yīng)譜組合中自相關(guān)項(xiàng)的計(jì)算誤差最小，這同時也降低了互相關(guān)部分的計(jì)算誤差，而CQC組合考慮自相關(guān)和互相關(guān)項(xiàng)誤差的影響，因此，可在一定程度上提高計(jì)算精度.其最明顯的影響是對拱腳剪力計(jì)算精度的提高，這是由于拱腳剪力中包含高頻成分，CQC組合的第2個優(yōu)化參考頻率高于SRSS組合，因此，相應(yīng)地提高剪力的計(jì)算精度；4）CQC3方法的計(jì)算結(jié)果是優(yōu)化分析中最差的，這表明任意選擇一階顯著貢獻(xiàn)模態(tài)作為約束模態(tài)是不合理的.

表5為y方向激勵作用下的計(jì)算誤差.由計(jì)算結(jié)果可以看出：1）從總體統(tǒng)計(jì)角度看，使用優(yōu)化方法得到的計(jì)算誤差也小于傳統(tǒng)方法，而且變化規(guī)律和x方向激勵下的基本一致，這再次表明優(yōu)化分析的有效性；2）由于y方向激勵下，第一個顯著貢獻(xiàn)模態(tài)是第3階，因此，以第3階作為約束模態(tài)的計(jì)算精度顯著高于以第1階作為約束模態(tài)，這表明，所謂的動力反應(yīng)基頻應(yīng)該是指對結(jié)構(gòu)有顯著貢獻(xiàn)的第1階模態(tài).

表4 x方向激勵下的計(jì)算誤差

表5 y方向激勵下的計(jì)算誤差

4 結(jié) 論

1）優(yōu)化Rayleigh阻尼系數(shù)與參與計(jì)算的模態(tài)數(shù)目有關(guān)，計(jì)算中應(yīng)使優(yōu)化方程包含所有的顯著貢獻(xiàn)模態(tài).實(shí)際計(jì)算時，可選取累計(jì)振型參與質(zhì)量超過90%的模態(tài)數(shù)進(jìn)行計(jì)算.

2）優(yōu)化分析方法所得Rayleigh阻尼系數(shù)是綜合考慮結(jié)構(gòu)動力特性和地震波頻譜特性影響的結(jié)果，無需人為確定兩階參考頻率，便于工程應(yīng)用，且從統(tǒng)計(jì)角度看，計(jì)算誤差小于傳統(tǒng)誤差.

3）與SRSS組合相比，CQC組合的優(yōu)化方法在計(jì)算工作量增加不多的情況下，所得的優(yōu)化Rayleigh阻尼系數(shù)可提高結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)精度.

4）采用約束優(yōu)化分析時，應(yīng)該選用與激勵方向相對應(yīng)的第1個顯著貢獻(xiàn)模態(tài)作為約束模態(tài)，此時所得的Rayleigh阻尼系數(shù)具有很高的計(jì)算精度.簡單選擇第1模態(tài)或任意選擇1階模態(tài)作為約束模態(tài)的做法應(yīng)該避免.

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（編輯趙麗瑩）

An optim ization solution of Rayleigh dam ping coefficients on arch bridges w ith closely-spaced natural frequencies subjected to seism ic excitations

LEISusu，GAO Yongtao，PAN Danguang

（School of Civil and Environmental Engineering，University of Science and Technology Beijing，100083 Beijing，China）

An optimization solution of Rayleigh damping coefficients is proposed to construct the dampingmatrix of structureswith closely-spaced natural frequencies based on the seismic response spectrum theory and the complete quadratic combination（CQC）rule.A constrained optimization method is further developed to enforce the arbitrary ordermode damping ratio equal to the precise value by Lagrangemultipliermethod.A curved girder skew through steel suspension arch bridge is analyzed to investigate the characteristics of the proposed method.Firstly，the solution stability of optimal Rayleigh damping coefficients is discussed，Secondly.the effects of the different combinations of optimal objective functions and constraint conditions on optimal reference frequencies and seismic response are compared，and the selection of constraintsmode in constrained condition is also discussed.Numerical results show that the seismic response calculation error is smaller while the Rayleigh damping coefficients is obtained from CQC rather than the square rootof sum square（SRSS）combination.The constrained mode should be specified as the first order significantmode corresponding to structural seismic responses.

closely spaced natural frequencies structure；seismic response；Rayleigh damping；optimization analysis；complete quadratic combination

TU311.3；U442.5＋5

A

0367－6234（2015）12－0123－06

10.11918／j.issn.0367-6234.2015.12.022

2015－04－09.

國家自然科學(xué)基金（51078032）；北京市自然科學(xué)基金（8143037）.

雷素素（1988—），女，博士研究生；高永濤（1962—），男，教授，博士生導(dǎo)師；潘旦光（1974—），男，研究員，博士生導(dǎo)師.

潘旦光，pdg＠ustb.edu.cn.