兩站測(cè)向交叉定位相對(duì)誤差幾何稀釋度研究*

王國(guó)剛

(海軍駐連云港七一六所軍事代表室 連云港 222061)

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兩站測(cè)向交叉定位相對(duì)誤差幾何稀釋度研究*

王國(guó)剛

(海軍駐連云港七一六所軍事代表室 連云港 222061)

針對(duì)工程中使用相對(duì)誤差幾何稀釋度衡量定位精度的問(wèn)題,論文以相對(duì)誤差幾何稀釋度為研究對(duì)象,分析兩站測(cè)向交叉定位原理,給出了傳感器測(cè)角誤差不同時(shí),相對(duì)誤差幾何稀釋度最小的傳感器探測(cè)角度與測(cè)角誤差關(guān)系,并討論了傳感器測(cè)角誤差相同時(shí),相對(duì)誤差最小的平臺(tái)最優(yōu)布站方式。通過(guò)Matlab仿真,驗(yàn)證了傳感器測(cè)角誤差相同時(shí)結(jié)論的正確性。

交叉定位; 定位精度; GDOP; 相對(duì)誤差; 最優(yōu)布站

Class Number TN957

1 引言

與有源探測(cè)相比,無(wú)源探測(cè)不向目標(biāo)發(fā)射電磁波,具有抗干擾性強(qiáng),隱蔽性好和作用距離遠(yuǎn)的優(yōu)點(diǎn),隨著測(cè)量技術(shù)、信息截獲和處理技術(shù)的逐漸發(fā)展,無(wú)源探測(cè)在電子戰(zhàn)系統(tǒng)中占據(jù)越來(lái)越重要的位置。常用的無(wú)源探測(cè)技術(shù)包括利用測(cè)量目標(biāo)信號(hào)到達(dá)角度的測(cè)向交叉定位法和利用到達(dá)時(shí)間差的時(shí)差定位法,由于被動(dòng)探測(cè)設(shè)備對(duì)目標(biāo)的測(cè)量數(shù)據(jù)變化比較慢,變動(dòng)范圍比較小,因而方位信息是最可靠的輻射源參數(shù)之一。而大氣波導(dǎo)情況比較復(fù)雜,俯仰角測(cè)量誤差較大,所以只采用方位角進(jìn)行定位相對(duì)穩(wěn)定[1～3]。

測(cè)向網(wǎng)通常由若干個(gè)配置在不同位置的站臺(tái)組成,每個(gè)探測(cè)平臺(tái)可觀測(cè)性有限很難獨(dú)立實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)準(zhǔn)確定位,往往設(shè)置多站進(jìn)行聯(lián)合測(cè)向,并由一個(gè)中心站接收數(shù)據(jù)在地圖上進(jìn)行交叉定位。根據(jù)工程需求,本文應(yīng)用相對(duì)誤差幾何稀釋度衡量定位精度,通過(guò)分析給出兩被動(dòng)雷達(dá)探測(cè)精度不同及相同條件下定位精度最高的條件,討論探測(cè)精度相同時(shí)平臺(tái)最優(yōu)布置,使平臺(tái)運(yùn)動(dòng)更加機(jī)動(dòng),增強(qiáng)平臺(tái)布站的靈活性,對(duì)測(cè)向網(wǎng)合理優(yōu)化配置研究具有重要意義。

2 兩站測(cè)向交叉定位原理

設(shè)兩個(gè)觀測(cè)站的位置為(x1,y1)、(x2,y2),目標(biāo)位置位于T(x,y)點(diǎn),所測(cè)量得到的角度為θ1和θ2,兩條方向的射線交于一點(diǎn),該點(diǎn)即為目標(biāo)的位置[4],如圖1所示。

圖1 兩站測(cè)向交叉定位原理示意圖

忽略兩測(cè)向站坐標(biāo)軸指向誤差(即認(rèn)為三個(gè)坐標(biāo)軸分別平行),根據(jù)角度定義可得:

(1)

整理為

(2)

矩陣表示為

AX=Z

(3)

式中:

該算法忽略了地球曲率及兩測(cè)向站坐標(biāo)軸指向誤差,兩站距離較近時(shí),誤差較小可以忽略;但當(dāng)兩站距離較遠(yuǎn)時(shí),誤差較大,需進(jìn)行相應(yīng)的坐標(biāo)變換修正[5]。

如果測(cè)量過(guò)程中沒(méi)有誤差,兩站測(cè)向線在空間中交于一點(diǎn),然而測(cè)量過(guò)程中總會(huì)存在誤差,這些誤差對(duì)位置估計(jì)的影響體現(xiàn)在方位線不再交于一點(diǎn)。如果測(cè)量誤差是隨機(jī)的,測(cè)得的方位角可能比實(shí)際方位角大,也可能比實(shí)際方位角小,從而形成一個(gè)誤差橢圓。傳感器中還可能存在測(cè)量偏差問(wèn)題,即系統(tǒng)誤差可以通過(guò)標(biāo)校方法消除,因而隨機(jī)測(cè)量誤差對(duì)定位誤差影響較大[6～9]。假定兩站測(cè)角誤差δθ1、δθ2服從均值為0的高斯分布,兩站之間的測(cè)角誤差相互獨(dú)立。

分析測(cè)向定位誤差,對(duì)式(2)求偏導(dǎo),整理可得

(4)

寫成矩陣形式為

AδX=B

(5)

其中:

故可以得:

δX=A-1B=T·B

(6)

令:

B1=(x-x1)sec2θ1,B2=(x-x2)sec2θ1

故式(6)又可寫為

(7)

得到協(xié)方差矩陣為

(8)

其中:

3 相對(duì)誤差幾何稀釋度分析

交叉定位算法的性能通常用誤差幾何稀釋度(geometric dilution of precision,GDOP)來(lái)評(píng)估。GDOP是目標(biāo)估計(jì)位置的均方根誤差同量測(cè)均方根誤差的比值,能夠反映傳感器與目標(biāo)間的相對(duì)幾何位置對(duì)量測(cè)誤差的放大關(guān)系。這一方面表明傳感器與目標(biāo)間的相對(duì)幾何位置能夠?qū)δ繕?biāo)的估計(jì)位置產(chǎn)生影響;另一方面,不同的傳感器與目標(biāo)間的相對(duì)幾何位置會(huì)產(chǎn)生不同的定位精度。因此,GDOP能夠?qū)⒏鱾鞲衅髋c目標(biāo)間的相對(duì)幾何位置同定位精度聯(lián)系在一起,并能夠準(zhǔn)確衡量前者對(duì)后者的影響程度。目前很多文獻(xiàn)僅用目標(biāo)位置的均方根誤差表示GDOP。

通常有兩種方式描述定位精度的GDOP曲線:二維平面內(nèi)的等值線圖及三維立體曲線,前者是后者在二維平面內(nèi)的投影。一般等值線圖描述GDOP的變化趨勢(shì),而立體圖直觀表示GDOP在整個(gè)觀測(cè)區(qū)域內(nèi)的總體結(jié)構(gòu)。對(duì)于兩站無(wú)源探測(cè)系統(tǒng)而言,GDOP三維立體曲線是在雙站基線區(qū)域含有凸起且總體類似于馬鞍面的結(jié)構(gòu),這些不能在二維等值線中得到反映[10]。

工程應(yīng)用中,被動(dòng)雷達(dá)常用相對(duì)誤差幾何稀釋度ΔGDOP(%)作為指標(biāo)衡量定位精度,即

(9)

(10)

根據(jù):

代入式(10)可得:

(11)

式中:r1和r2分別為目標(biāo)到兩個(gè)測(cè)向站間的距離。

式(11)表明測(cè)向交叉的定位誤差等于測(cè)向線交叉區(qū)域的多邊形邊長(zhǎng)平方和除以其夾角的正弦,如圖2所示。

假設(shè)兩站的測(cè)角精度σθ=σθ1,σθ2=mσθ1,參考坐標(biāo)系的原點(diǎn)選擇為兩個(gè)站A1,A2連線的上O,x軸為兩個(gè)站連線方向,y軸符合右手法則。

圖2 測(cè)向交叉定位誤差區(qū)域示意圖

圖3 測(cè)向交叉定位示意圖

將式(11)簡(jiǎn)化得:

(12)

由于

(13)

式中:R為目標(biāo)到達(dá)兩個(gè)測(cè)向站基線的距離。

將式(13)代入式(12)中可得:

(14)

則:

(15)

由式(15)可知,相對(duì)誤差幾何稀釋度與傳感器的精度、平臺(tái)布站方式等有關(guān)。

4 相對(duì)誤差幾何稀釋度與布站關(guān)系分析

為了便于分析,令:

(16)

比較式(15)和式(16),可知ω與ΔGDOP具有相同的單調(diào)性,并且當(dāng)ω取最小值時(shí),ΔGDOP也取最小值[11]。

(17)

(18)

式中:

α=(θ1-θ2)

如果在某一個(gè)θ1和θ2取得最小值,必然滿足以下極值條件:

(19)

則:

(20)

以0≤θ1≤π/2為例,因?yàn)檩椛湓茨繕?biāo)不在基線或延長(zhǎng)線上,所以θ1≠θ2且θ1≠0,θ2≠0。

(21)

整理得:

(22)

式(22)為兩傳感器探測(cè)誤差不同時(shí)相對(duì)誤差幾何稀釋度最小的條件。由于式(22)無(wú)法得出平臺(tái)布站與探測(cè)角的直接關(guān)系,因此討論m=1,即兩平臺(tái)探測(cè)誤差相等σθ=σθ1=σθ2時(shí)相對(duì)誤差幾何稀釋度與平臺(tái)布站關(guān)系。

當(dāng)θ1=π-θ2,兩條測(cè)向線交叉成為一個(gè)等腰三角形,交點(diǎn)在y軸上,則最優(yōu)的定位精度在x=0處獲得。

設(shè)兩站連線中心為原點(diǎn),目標(biāo)位于兩站連線的中間位置,θ1=π-θ2=θ,代入式(15)中可得:

(23)

當(dāng)sin2θcosθ取得最大值時(shí),ΔGDOP取得最小值。sin2θcosθ對(duì)于θ求導(dǎo)并令其等于0,可得

(24)

故目標(biāo)位于兩站連線的中間位置,且與兩站夾角約為70.6°時(shí),測(cè)向交叉定位的相對(duì)誤差幾何稀釋度最小。

5 仿真驗(yàn)證與分析

為了驗(yàn)證兩站傳感器探測(cè)誤差相同時(shí),相對(duì)誤差幾何稀釋度最小條件,仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)置目標(biāo)位于兩探測(cè)平臺(tái)中線上,與基線距離29km,平臺(tái)以10m/s的速度從(300km,0)運(yùn)動(dòng)至(0km,0),方位探測(cè)誤差為1°,則交叉定位角與相對(duì)誤差幾何稀釋度關(guān)系如圖4所示。

圖4 方位探測(cè)誤差1度時(shí)定位角與ΔGDOP關(guān)系圖

由圖4可以看出,當(dāng)目標(biāo)位于兩探測(cè)平臺(tái)中間位置,交叉定位角0°～20°時(shí),ΔGDOP遞減,在30°～110°間ΔGDOP變化平緩,大約70°時(shí),ΔGDOP最小。當(dāng)交叉定位角大于120°時(shí),即輻射源目標(biāo)靠近基線時(shí),ΔGDOP增大。

圖5 方位探測(cè)誤差不同時(shí)定位角與ΔGDOP關(guān)系圖

考慮到傳感器探測(cè)誤差大小對(duì)ΔGDOP的影響,仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)置目標(biāo)位于兩探測(cè)平臺(tái)中線上,與基線距離29km,平臺(tái)以10m/s的速度從(300km,0)運(yùn)動(dòng)至(0km,0),方位探測(cè)誤差分別為0.5°、1.0°、1.5°、2.0°時(shí)交叉定位角與相對(duì)誤差幾何稀釋度ΔGDOP關(guān)系如圖5所示。

由圖5可以看出,隨著方位探測(cè)誤差增大,ΔGDOP值增大。雖然方位探測(cè)誤差不同,但隨著交叉定位角增大,ΔGDOP呈先減后增趨勢(shì),當(dāng)交叉角大約70°時(shí),ΔGDOP最小。當(dāng)輻射源目標(biāo)在基線位置時(shí),ΔGDOP最大。

6 結(jié)語(yǔ)

本文在工程中使用相對(duì)誤差幾何稀釋度衡量定位精度的需求下,詳細(xì)闡述了兩站測(cè)向交叉定位原理并分析相對(duì)誤差幾何稀釋度,給出傳感器探測(cè)誤差相同和不同時(shí)相對(duì)誤差最小條件及傳感器探測(cè)誤差相同時(shí)平臺(tái)最優(yōu)布站方式。仿真實(shí)驗(yàn)表明方位探測(cè)誤差越大,相對(duì)誤差幾何稀釋度越大,同時(shí)傳感器探測(cè)誤差相同,輻射源目標(biāo)位于兩站連線的中間位置,且與兩站夾角約為70.6°時(shí),定位的相對(duì)誤差幾何稀釋度最小。本文研究用于兩觀測(cè)站對(duì)輻射源目標(biāo)測(cè)向定位時(shí),指導(dǎo)平臺(tái)相對(duì)目標(biāo)合理機(jī)動(dòng)提高定位精度,為輔助指揮員生成協(xié)同探測(cè)方案提供理論和技術(shù)支撐。

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Relative Geometric Dilution of Precision in Double Station Bearing-only Location

WANG Guogang

(Navy Representative Office in 716 Research Institute in Lianyungang, Lianyungang 222061)

According to the positioning accuracy measured by the relative GDOP in engineering, the paper takes the relative GDOP as the research project and analyzes the double station bearing-only principle. Adopting the minimum relative GDOP as prerequisite, the paper deduces the relationship of the sensor detection angle and angle error on the condition of different angle errors, discusses the optimal placement of the platform on the condition of the same angle errors. Further on, the Matlab simulation result verifies the conclusion on the condition of the same angle errors.

bearing-only, positioning accuracy, GDOP, relative error, optimal placement

2015年6月3日,

2015年7月26日

王國(guó)剛,男,工程師,研究方向:作戰(zhàn)系統(tǒng)試驗(yàn)評(píng)估方法。

TN957

10.3969/j.issn.1672-9730.2015.12.016