三維Boussinesq方程關于速度的一個爆破準則

田春紅（南京航空航天大學　金城學院，江蘇　南京　211156）

三維Boussinesq方程關于速度的一個爆破準則

田春紅
（南京航空航天大學金城學院，江蘇南京211156）

摘要：研究了三維Boussinesq方程的正則性問題，在乘子空間獲得了三維Boussinesq方程的一個新的爆破準則。

關鍵詞：Boussinesq方程；爆破性；乘子空間

0　引言及預備知識

三維不可壓縮的Boussinesq方程是大氣科學中重要的模型之一，在地理學中也有重要的應用，基于它的重要性，三維不可壓縮的Boussinesq方程已成為流體動力學方程研究中的熱點［1-4］。

本文考慮下面的三維Boussinesq方程

在R3上的初值問題，其中表示流體的速度場，P=P() x，t是壓力，是溫度場，μ>0是粘性系數，κ>0是熱擴散系數，u0,θ0分別表示初始速度和初始溫度，且

空間X?r的范數定義如下：

1　主要結果及其證明

在乘子空間X?r獲得了三維不可壓縮的Boussinesq方程新的正則性準則。

證明不失一般性，假定μ=κ=1。首先證明在條件（2）下結論成立。對系統（1）中的前兩個方程關于微分，然后分別乘以，通過在R3上進行分部積分，得到

注意到不可壓縮條件??u=0，把（3）與（4）式相加有

對I1，利用分部積分、Ho?lder不等式及Young不等式可得

類似地，可以得到I2的估計：

估計I3。利用Young不等式可以得到

把估計式（6）～（8）代入式（5），得

所以

對于T0

通過式（11）可以得到

對式（13）在區(qū)間[T0]，t應用Gronwall不等式，在條件

下，我們得到

這里C0是依賴T0的正數。

接下來做H3-范數估計，需用到下面的交換子估計［5］：

對A1作如下估計：

用估計式（14），對于T0

對于A2：

對于A3，再利用式（18）、（19），可以得到

把上面各估計式代入式（16），得到

定理1說明了Boussinesq方程的正則性是由速度場u決定的。

參考文獻(References)

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［2］董柏青，宋娟.三維部分粘性Boussinesq方程的爆破準則［J］.中國科學：數學，2010（12）：1225-1236.

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［4］QIU H，DU Y，YAO Z. Bloe-up criteria for 3D Boussinesq equations in the multiplier space［J］. Comm Nonl Sci Numer Simulat，2011，16：1820-1824.

［5］KATO T，PONCE G. Commutator estimates and the euler and navier-stokes equations［J］. Comm Pure Appl Math，1988，41 （7）：891-907.

（責任編輯：胡燕梅）

Blow up Criteria of 3D Boussinesq Equations on Speed

TIAN Chunhong
（Department of Basic Sciences，Nanhang Jincheng College，Nanjing 211156，Jiangsu，China）

Abstract：Considers the three-dimensional Boussinesq equations with the incompressibility condition，obtains a new blow up criteria for the three-dimensional Boussinesq equations in the multiplier space.

Keywords：Boussinesq equations；blow up criteria；multiplier space

作者簡介：田春紅（1978—），女，講師，碩士，研究方向：微分方程。

收稿日期：2014-10-28

DOI：10.16389/j.cnki.cn42-1737/n.2015.01.006

中圖分類號：O175.8

文獻標志碼：A

文章編號：1673-0143（2015）01-0031-04