美式期權(quán)定價的一種蒙特卡洛方法

張麗虹

（云南財經(jīng)大學(xué)馬克思主義學(xué)院，昆明 650221）

引言

在最近的幾十年里，金融衍生市場的發(fā)展已經(jīng)成為影響經(jīng)濟(jì)的重要現(xiàn)象，衍生市場是相對于基礎(chǔ)市場而言的。金融衍生物是一種風(fēng)險管理工具，它的價值依賴于基本的原生資產(chǎn)（或稱標(biāo)的資產(chǎn)）的價格變化。在金融市場，商品市場有很多形式的金融衍生工具，其中遠(yuǎn)期合約、期貨和期權(quán)是三種最基本的金融衍生工具。如果把原生資產(chǎn)設(shè)定為股票、債券、匯率或商品等，那么為了對這些原生資產(chǎn)進(jìn)行風(fēng)險管理，相應(yīng)的有：股票期貨（期權(quán)）、債券期貨（期權(quán)）、貨幣期貨（期權(quán)）以及商品期貨（期權(quán)）等[3，7]。

在市場經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)的國家，期權(quán)市場已是構(gòu)成其證券市場的一個重要組成部分。近二十年來，國際金融界對期權(quán)理論的研究和應(yīng)用投入了巨大的關(guān)注。特別是在西方發(fā)達(dá)國家，期權(quán)理論的發(fā)展日新月異，期權(quán)應(yīng)用研究也緊隨其后[3，7]。從金融期權(quán)研究得出的原理、方法和結(jié)論不僅僅應(yīng)用于期權(quán)投資領(lǐng)域，還可以廣泛應(yīng)用于宏觀、微觀經(jīng)濟(jì)和管理問題的分析與決策[8]。瑞典皇家科學(xué)院將1997年度的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎授予兩位對現(xiàn)代期權(quán)理論研究有突出貢獻(xiàn)的經(jīng)濟(jì)學(xué)家：美國斯坦福大學(xué)教授梅隆·舒爾斯（Myron Scholes）和哈佛大學(xué)教授羅伯特·莫（Robert C.Merton），這表明全世界對期權(quán)理論研究和實際應(yīng)用重要性的認(rèn)可[5，7]。由于歷史、體制、學(xué)科建設(shè)等方面因素的影響制約，期權(quán)理論在我國的研究才剛剛開始，其應(yīng)用也幾乎呈空白狀態(tài)。但我國政府、金融學(xué)術(shù)界和實務(wù)界已經(jīng)越來越重視這一理論的研究和應(yīng)用。國務(wù)院曾多次指示要加快金融科學(xué)的設(shè)立，國家自然科學(xué)基金會對金融數(shù)學(xué)、金融工程的研究項目支持力度也較大?，F(xiàn)在已有相當(dāng)一部分學(xué)者正活躍在這一領(lǐng)域，許多大學(xué)相繼成立了金融數(shù)學(xué)系和金融工程中心，并開始了相應(yīng)的學(xué)術(shù)研究和人才培養(yǎng)工作，這將對中國的金融改革，特別是金融數(shù)學(xué)、金融工程的發(fā)展做出有益的嘗試和貢獻(xiàn)。期權(quán)理論作為金融數(shù)學(xué)的一個重要研究內(nèi)容也將得到迅速的發(fā)展。隨著中國經(jīng)濟(jì)市場化進(jìn)程的發(fā)展和各方面條件的成熟，期權(quán)市場在中國的發(fā)育和發(fā)展是中國市場體系，特別是金融市場發(fā)展與完善過程中的一項重要內(nèi)容，是大勢所趨[1]。

期權(quán)是最重要的金融衍生工具之一，合理定價則是期權(quán)發(fā)揮其功能的基礎(chǔ)。對于歐式期權(quán)，已經(jīng)有了經(jīng)典的Black-Scholes公式，但由于美式期權(quán)具有可提前執(zhí)行的特性，Black-Scholes公式并不適用[7]。

期權(quán)作為一種衍生金融產(chǎn)品，它的價格決定于標(biāo)的資產(chǎn)價格的變化。標(biāo)的資產(chǎn)的價格變化是不確定以及隨機(jī)的，所以由此產(chǎn)生的期權(quán)價格變化也是隨機(jī)的。但是一旦標(biāo)的資產(chǎn)的價格確定下來，那么作為其衍生物的期權(quán)的價格也將隨之確定，即存在函數(shù)Vt=V（St，t）。它表示若在t時刻原生資產(chǎn)的價格為 St，則期權(quán)的價格為 Vt=V（St，t）。這里的期權(quán)價格V（St，t）是一個確定的二元函數(shù)。通常在期權(quán)的到期日那天，期權(quán)的價值（或成為期權(quán)的收益、期權(quán)的價格）V（St，t）是確定的。但是期權(quán)生效日t=0那天的期權(quán)價格即期權(quán)金是未知的。因為他是期權(quán)購買者為了取得這個未定權(quán)益所要付出的代價。我們的計算目的就是求出期權(quán)金的值[1]。

通常計算美式期權(quán)的方法有有限差分法、二叉樹法及蒙特卡洛法[2，6，9]。本文將討論如何利用蒙特卡洛方法來計算美式期權(quán)的價格。國內(nèi)學(xué)者在考慮美式期權(quán)定價問題的蒙特卡洛方法時，比較少詳細(xì)討論方法的具體設(shè)計過程[6，9-12]，并且由于美式期權(quán)一般不具有封閉解，所以人們通常依靠數(shù)值解法來解決這一問題。本文將詳細(xì)討論方法的設(shè)計過程，并用Matlab程序在計算機(jī)上數(shù)值實現(xiàn)該過程。本文將按照下面的方式來組織：（1）簡單介紹美式期權(quán)的定義、美式期權(quán)的特性及分類等基本概念，幫助人們更好地理解美式期權(quán)；（2）詳細(xì)討論美式期權(quán)定價的蒙特卡洛方法設(shè)計與數(shù)值計算過程；（3）得出計算結(jié)果并與傳統(tǒng)的有限差分法計算得到的結(jié)果相比較。

一、美式期權(quán)的基本概念

美式期權(quán)是指可以在成交后有效期內(nèi)任何一天被執(zhí)行的期權(quán)。也就是指期權(quán)持有者可以在期權(quán)到期日以前的任何一個工作日，選擇執(zhí)行或不執(zhí)行期權(quán)合約。它通常分為美式看漲期權(quán)與美式看跌期權(quán)。

美式看漲期權(quán)在行權(quán)期內(nèi)，如果標(biāo)的資產(chǎn)S高于敲定價格K，則持有者隨時可以以敲定價格K買進(jìn)標(biāo)的資產(chǎn)。此時持有者以價格K買入標(biāo)的資產(chǎn)，在市場中又可以以即時價格S賣出，獲得利潤S-K；若在行權(quán)期內(nèi)，標(biāo)的資產(chǎn)的價格始終低于敲定價格K，則持有者可以選擇不買進(jìn)任何標(biāo)的資產(chǎn)，此時獲得的利潤為0，所以看漲期權(quán)的最終價格是確定的：V（S，t）=max（S-K；0）。

美式看跌期權(quán)在行權(quán)期內(nèi)，如果標(biāo)的資產(chǎn)價格S低于敲定價格K，則持有者隨時可以以敲定價格K賣出標(biāo)的資產(chǎn)，獲得利潤K-S；若在行權(quán)期內(nèi)，標(biāo)的資產(chǎn)的價格始終高于敲定價格K，則持有者可以選擇不賣出任何標(biāo)的資產(chǎn)，此時獲得的利潤為0，所以看跌期權(quán)的最終價格是確定的：V（S，t）=max（K-S；0）。

二、美式期權(quán)定價的蒙特卡洛方法

首先假定美式期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)的價格，也就是S=S（t）服從下面的隨機(jī)過程：

對于任意的t>0都成立，這里z是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量（均值0，方差1）。在下面的蒙特卡洛方法計算中，我們就是利用公式（1）來模擬標(biāo)的資產(chǎn)在任意t時刻的價格。

下面討論蒙特卡洛方法計算在t=0時刻美式期權(quán)的價格。設(shè)t=T是美式期權(quán)交割日時間，t=0是美式期權(quán)開始生效的那一時刻，S（t）表示美式期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)在t時刻的價格。假定 t0，t1，t2，…，tm滿足：

且記Si=S（ti），i=0，1，2，…，m；這里的m是一個給定的正整數(shù)。同時假定美式期權(quán)只可能在t1，t2，…，tm這m個有限時刻行權(quán)。下面，可以記Vi（s）表示在t=ti時刻且標(biāo)的資產(chǎn)的價格Si=s時美式期權(quán)的價格。并且記hi（s）=h（Si=s），這里規(guī)定：

如果r（t）是一個常函數(shù)，例如r（t）=r不變，則Di-1，i=e-r（ti-ti-1），若進(jìn)一步規(guī)定 ti=iΔt，i=0，1，2，…m則：

本文首要的計算目的是求出V0（s）的值，也即在t=0時刻且標(biāo)的資產(chǎn)價格S0=s時美式期權(quán)的價格。關(guān)于它的計算，可以用下面的公式來計算：

如果對所有的 i=1，2，…m，有 Di-1，i=e-rΔt，則：

這里的E（e-rΔtVi（Si）|Si-1=s）代表一條件數(shù)學(xué)期望。

為了便于（4）的計算，我們引入新的變量：

通過計算，（4）可變化為：

為了順利進(jìn)行下一步的計算，首先要求出（5）中的條件期望E（i（Si）|Si-1=s）。為此，我們假定：

這里，φ1（s），φ2（s），…，φM（s）是一些形式已知的基函數(shù)。在后面的計算之中，本文選取以下基函數(shù)：φr（s）=sr，r=0，1，2，…，M。由（6）可得：

蒙特卡洛方法主要利用（5）式計算V0（s），該方法通過以下步驟分步進(jìn)行：

1.給定 S（0）=s的值。

2.根據(jù)式（1），先模擬 n條標(biāo)的資產(chǎn)價格 S（t）變化的曲線，每條曲線上都有m個值，也即t1，t2，…，tm時刻的值為{S1j，S2j，…，Smj}，j=1，2，…，n。

4.對于 i=m-1，…3，2，1，0按照下列步驟進(jìn)行循環(huán)計算：

三、計算結(jié)果

我們假定用有限差分法計算出來的結(jié)果為“準(zhǔn)確解”（該方法詳細(xì)內(nèi)容見[13]之中的介紹），然后將其與蒙特卡洛方法得出的結(jié)果進(jìn)行比較分析。

在具體的計算過程中，本文設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的平均收益率r=0.1，標(biāo)的資產(chǎn)波動率σ=0.4，到期日T=1（年），合約執(zhí)行價格K=10。

關(guān)于美式看跌期權(quán)，t=0時的價格V0（s）對不同的s計算結(jié)果（見下頁表1）。

關(guān)于美式看漲期權(quán)，t=0時的價格V0（s）對不同的s計算結(jié)果（見下頁表2）。

從表2中不難看出，模擬次數(shù)越多時，得到的數(shù)值解越接近“準(zhǔn)確解”。

表1

表2

結(jié)論

本文討論了美式期權(quán)定價的蒙特卡洛方法，我們根據(jù)美式期權(quán)的特點(diǎn)詳細(xì)地制定了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型和Matlab程序。本文比較了蒙特卡洛方法與有限差分法得到的數(shù)值結(jié)果，發(fā)現(xiàn)它們非常接近。相對于傳統(tǒng)二項式、有限差分（隱式和顯式）等方法，蒙特卡洛方法具備了更好的普適性，可推廣用于各式期權(quán)價格的計算中，在實際應(yīng)用中也就更能大顯身手。但蒙特卡洛方法也有自己的缺點(diǎn)，那就是仿真結(jié)果不太精確，具有較大波動性，尤其是在在模擬次數(shù)較小的時候。為了提高精度，我們可以增加模擬次數(shù)。但是，蒙特卡洛方法具有一般性，相信本文的研究方法可以較好地解決其他各式期權(quán)價格的計算問題，同時，也可以將之推廣應(yīng)用于其他類型的金融衍生品的定價問題中。

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