超聲波電動機P 與PI 型迭代學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)速控制

劉 玉，史敬灼，黃景濤，徐美玉，張聚偉，張 雷

(河南科技大學(xué)，洛陽471023)

0 引 言

超聲波電動機特殊的運行機理，使其運行特性表現(xiàn)出明顯的非線性及時變特征，不易得到理想的運動控制性能［1］。為克服超聲波電動機自身的這些缺點，努力得到符合應(yīng)用期望的控制性能和運行穩(wěn)定性，其控制策略的研究逐漸趨于復(fù)雜化。許多復(fù)雜的控制器，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器、自適應(yīng)控制器、模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器等，先后被提出并用于超聲波電動機。這些控制策略，算法復(fù)雜，不僅增加了系統(tǒng)復(fù)雜度，而且在線計算量大，其實現(xiàn)需要更高檔的DSP 等芯片，從而增加了系統(tǒng)成本，不利于超聲波電動機的大規(guī)模產(chǎn)業(yè)化應(yīng)用。

我們當然希望控制策略越簡單越好，但前提是電機系統(tǒng)控制性能滿足工業(yè)應(yīng)用要求。而之所以超聲波電動機控制策略研究日漸復(fù)雜化，原因在于慣常使用的定常參數(shù)PID 等簡單控制策略無法滿足需要。于是，有必要探求其它的較為簡單的控制形式和控制策略，并針對超聲波電動機的特點進行合理改變、設(shè)計與整定，才有可能實現(xiàn)我們的期望。

Arimoto 等人在上世紀80 年代提出的迭代學(xué)習(xí)控制思想［2］，是一種通過模仿人類學(xué)習(xí)行為來獲得學(xué)習(xí)能力的漸進控制過程［3］。該控制器在重復(fù)的運行過程中，基于經(jīng)驗知識學(xué)習(xí)來確定逐漸趨近期望控制過程的控制量最優(yōu)變化軌跡，從而得到更好的控制性能［4］。迭代學(xué)習(xí)控制算法較為簡單，不依賴于被控對象的精確模型，適用于超聲波電動機這類具有高度非線性、模型難以準確確定且可重復(fù)運行的被控對象。

本文針對超聲波電動機的時變非線性，分別設(shè)計了形式簡單的P 型和PI 型迭代學(xué)習(xí)控制策略，對超聲波電動機進行轉(zhuǎn)速控制。實驗表明，控制算法簡單，易于實現(xiàn)，電機轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線表現(xiàn)出漸進的學(xué)習(xí)過程，控制效果較好。

1 迭代學(xué)習(xí)控制的基本算法

迭代學(xué)習(xí)控制策略針對具有可重復(fù)性的被控對象，利用先前的控制經(jīng)驗，根據(jù)該系統(tǒng)的輸入變量和輸出期望信號之間的相互關(guān)系，來在線尋求一個理想的輸入變量變化過程，從而使被控對象達到控制要求并輸出期望的輸出信號。這里所謂的可重復(fù)性，有兩層含義。一是系統(tǒng)的運動是重復(fù)的;對于電機轉(zhuǎn)速控制來說，即指其轉(zhuǎn)速給定信號是重復(fù)施加的，電機每次運行均具有相同的期望輸出轉(zhuǎn)速。二是在上述每一次的重復(fù)運行過程中，被控對象的向量函數(shù)及其相互之間的函數(shù)關(guān)系是不變的。

作為普通和精密運動控制執(zhí)行部件的超聲波電動機，經(jīng)常工作于具有重復(fù)性的運動控制場合。據(jù)此，采用迭代學(xué)習(xí)控制方法，有可能通過相對簡單的控制器形式、較小的在線計算量，利用電機運動的重復(fù)性，實現(xiàn)電機控制性能的漸進調(diào)整，并在有限次數(shù)的重復(fù)運動之后，達到較好的控制性能。這就為降低超聲波電動機系統(tǒng)的控制復(fù)雜度提供了一種新的可能思路。

迭代學(xué)習(xí)控制的基本控制規(guī)律:

式中:t 為時間;uk+1(t)為系統(tǒng)第k +1 次重復(fù)運行過程中，在t 時刻的控制器輸出控制量，本文取為超聲波電動機的驅(qū)動頻率值;uk(t)為系統(tǒng)第k 次運行過程中t 時刻的控制量;ek(t)為系統(tǒng)第k 次運行過程中t時刻的轉(zhuǎn)速誤差;Nref(t)為電機轉(zhuǎn)速給定值;n(t)為電機的實際轉(zhuǎn)速值;比例環(huán)節(jié)KP為學(xué)習(xí)增益。因?qū)W習(xí)律為比例環(huán)節(jié)，式(1)的控制規(guī)律又稱為P 型迭代學(xué)習(xí)控制。

迭代學(xué)習(xí)控制的目的是在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)都未知的前提下，經(jīng)過多次重復(fù)運行，控制器的輸出u(t)趨近于事先未知的ud(t)，從而使得電機轉(zhuǎn)速n(t)趨近于期望的Nref(t)。當達到控制要求的精度之后，停止迭代學(xué)習(xí)并保存最近一次運行的控制器輸入輸出數(shù)據(jù)，就完成了迭代學(xué)習(xí)過程。

圖1 超聲波電動機迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)基本框圖

圖1 給出了超聲波電動機迭代學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)框圖。圖中“控制量記憶”、“誤差記憶”與“延時”環(huán)節(jié)用來存儲以前運動過程中的控制量和誤差，KP環(huán)節(jié)表示學(xué)習(xí)控制律。這些環(huán)節(jié)構(gòu)成了迭代學(xué)習(xí)控制器，對應(yīng)于式(1)。顯然，采用不同的學(xué)習(xí)控制律，可以得到不同的學(xué)習(xí)過程和控制過程。系統(tǒng)中，控制器的輸出為超聲波電動機頻率的給定值，通過驅(qū)動電路給出具有相應(yīng)頻率的驅(qū)動電壓作用于超聲波電動機。與電機同軸剛性連接的旋轉(zhuǎn)編碼器檢測電機轉(zhuǎn)速得到反饋信號，其與轉(zhuǎn)速給定值之差作為控制器的輸入，進而通過重復(fù)的迭代學(xué)習(xí)控制，得到更好的控制過程。

考察式(1)與圖1，系統(tǒng)當前控制過程的控制量uk+1(t)是由前次的控制量uk(t)和誤差ek(t)計算得到的，即控制量與當前的系統(tǒng)輸出轉(zhuǎn)速誤差ek+1(t)無關(guān)。從這一點來看，圖1 系統(tǒng)實質(zhì)上是一個開環(huán)控制系統(tǒng)。如前述，迭代學(xué)習(xí)控制是針對具有可重復(fù)性的系統(tǒng)提出的，其可重復(fù)性包含被控對象及其系統(tǒng)的時不變性質(zhì)。對于時不變系統(tǒng)，采用式(1)計算控制量，能夠保持控制的有效性，因為在每一次重復(fù)的控制過程中，控制對象的特性始終保持不變，變化的只是隨機的擾動信號。由于隨機擾動的量值通常微小，采用式(1)有可能保證并加快系統(tǒng)學(xué)習(xí)過程的收斂。但是超聲波電動機具有明顯的時變特性，采用式(1)與圖1 形式進行控制，不能保證系統(tǒng)控制過程的有效性。實驗表明，在階躍轉(zhuǎn)速給定值情況下，會導(dǎo)致電機轉(zhuǎn)速跟蹤過程中的抖動和穩(wěn)態(tài)的轉(zhuǎn)速偏差。因而，本文將式(1)改為:

式中:ek+1(t)為系統(tǒng)第k+1 次運行過程t 時刻的轉(zhuǎn)速誤差。對應(yīng)于式(3)的控制系統(tǒng)框圖如圖2 所示，控制形式進一步簡化。

圖2 超聲波電動機改進迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)基本框圖

式(3)控制量與當前轉(zhuǎn)速誤差相關(guān)。從單次控制過程來看，具有閉環(huán)控制的性質(zhì)，為克服超聲波電動機的時變特性提供了可能。從多次重復(fù)控制過程來看，每次的控制量都是在記憶前次控制量的基礎(chǔ)上，根據(jù)時變對象當前的誤差信息進行修正，同樣具有迭代學(xué)習(xí)的特征，能夠通過迭代使控制過程漸好。考察式(3)、圖2 控制過程的在線計算量，與傳統(tǒng)的固定參數(shù)PID 控制器相比，僅增加了控制量的一次存儲與讀取操作，計算量相當。

2 P 型迭代學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)速控制

2.1 學(xué)習(xí)增益KP 的確定

采用式(3)對超聲波電動機進行轉(zhuǎn)速控制，學(xué)習(xí)增益KP是唯一需要確定的控制參數(shù)。該值不僅與單次控制過程的動態(tài)性能相關(guān)，而且直接決定了迭代學(xué)習(xí)過程是否能夠收斂。為得到學(xué)習(xí)過程的收斂條件，進而確定合適的KP值，首先取超聲波電動機的模型為狀態(tài)方程形式，并設(shè)為具有普遍意義的全局Lipschitz 連續(xù)動力系統(tǒng)狀態(tài)方程［4］:

式中:x(t)為超聲波電動機系統(tǒng)的狀態(tài)變量。根據(jù)式(4)，可以推導(dǎo)出迭代學(xué)習(xí)的收斂條件［4］:

式中:γ 為小于1 的常數(shù)。限于篇幅，具體推導(dǎo)過程請參考文獻［4］。式(5)給出了能夠保證學(xué)習(xí)收斂的KP取值范圍。

式(4)中，函數(shù)關(guān)系G 表征了超聲波電動機轉(zhuǎn)速n(t)與其控制量u(t)(本文為電機驅(qū)動頻率)之間的函數(shù)關(guān)系。與之對應(yīng)，式(5)中的偏導(dǎo)數(shù)代表了n(t)相對于u(t)的變化率。對于線性被控對象，這個偏導(dǎo)數(shù)通常為固定值。而對于超聲波電動機這類非線性對象而言值隨電機運行狀態(tài)參數(shù)的不同而變化。

本文實驗用電機為Shinsei USR60 型兩相行波超聲電機。文獻［5］對該型電機做了詳細測試，給出了電機轉(zhuǎn)速與驅(qū)動頻率之間的穩(wěn)態(tài)關(guān)系曲線數(shù)據(jù)如圖3 所示。據(jù)此，在實驗電機運行頻率范圍內(nèi)，可得到轉(zhuǎn)速相對于驅(qū)動頻率的變化率，即穩(wěn)態(tài)的數(shù)值。顯然，不同頻率情況下，數(shù)值有差別。若采用工作頻率范圍內(nèi)的最大值代入式(5)進行計算，得到的KP值能夠保證在超聲波電動機工作范圍內(nèi)的學(xué)習(xí)收斂性。由圖3，經(jīng)數(shù)據(jù)擬合計算得到的最大值為121.0 r/(min·kHz)。由式(5)收斂條件可得KP的取值范圍為0 ＜KP＜0.017。仿真校核表明，這一取值范圍可同時保證系統(tǒng)控制的穩(wěn)定性。考慮實驗程序中采用頻率控制字來調(diào)節(jié)頻率，考慮其數(shù)量變換關(guān)系，程序中KP的實際取值范圍為0 ＜KP＜10.58。

圖3 轉(zhuǎn)速和驅(qū)動頻率關(guān)系(空載，實測)

2.2 實驗分析

設(shè)定轉(zhuǎn)速階躍給定值為30 r/min，進行P 型迭代學(xué)習(xí)實驗，希望得到超調(diào)為0 且響應(yīng)速度較快的階躍響應(yīng)。實驗用驅(qū)動電路為H 橋結(jié)構(gòu)，采用相移PWM 控制方式。

迭代學(xué)習(xí)控制過程是通過記憶前次控制過程，逐步學(xué)習(xí)不斷改進的過程。在這個過程中，首次控制過程因為沒有前次記憶，無法進行學(xué)習(xí)，僅為其后控制過程提供第一次記憶作為學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。所以，可采用任意控制器進行首次控制。為便于說明學(xué)習(xí)效果，實驗中采用KP=3.5、KI=2 的PI 控制器進行首次控制。該控制器可以保證超聲波電動機系統(tǒng)的穩(wěn)定運行，但控制效果不夠理想，響應(yīng)時間較長。首次運行過程中，記憶控制器輸出的控制量。從第二次控制過程開始，采用改進的P 型迭代學(xué)習(xí)控制律式(3)作為控制器。

實驗表明，學(xué)習(xí)增益KP在(0，10.58］范圍內(nèi)取不同值，學(xué)習(xí)過程都能夠逐漸趨于收斂。KP值越大，學(xué)習(xí)收斂越快，轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)的超調(diào)越大。例如取KP=3.5，連續(xù)進行9 次迭代學(xué)習(xí)控制的階躍響應(yīng)實驗，得到9 次轉(zhuǎn)速響應(yīng)如圖4 所示。

圖4 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線(KP =3.5)

圖4 中，第8、9 次階躍響應(yīng)的超調(diào)明顯增大?？紤]到期望無超調(diào)，且學(xué)習(xí)導(dǎo)致的曲線其它部分變化已不明顯，故而停止迭代學(xué)習(xí)。由圖4 可以看出，隨著迭代學(xué)習(xí)次數(shù)的增加，控制強度逐漸加強，階躍響應(yīng)上升時間逐漸減小，最終都會穩(wěn)定在給定值，P型迭代學(xué)習(xí)策略是有效的。

圖4 階躍響應(yīng)的一個突出問題是，隨著迭代學(xué)習(xí)過程的持續(xù)進行，出現(xiàn)了明顯的超調(diào)，這不是我們期望的。從現(xiàn)象上看，因為階躍給定值在起始時刻跳變?yōu)榉橇愕墓潭ㄖ?30 r/min)，而電機轉(zhuǎn)速在起始時刻為0，于是得到較大的轉(zhuǎn)速誤差?？疾焓?1)或式(3)給出的控制策略，較大的起始轉(zhuǎn)速誤差必然導(dǎo)致起始控制量隨著迭代的持續(xù)而快速增大，從而導(dǎo)致超調(diào)。

從原理上講，迭代學(xué)習(xí)控制策略在本質(zhì)上是一個在線的控制響應(yīng)優(yōu)化過程，P 型迭代學(xué)習(xí)采用了最簡單的比例漸近優(yōu)化策略。這一優(yōu)化過程試圖“漸近”的目標，是減小控制誤差，即，使響應(yīng)曲線不斷趨近于給定值曲線。這也就是說，給定值曲線表達了我們的控制期望。實驗中，給定值為固定值階躍信號，如圖5 中虛線所示。顯然，考慮到包括超聲波電動機在內(nèi)的任何被控對象都會有慣性，轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線絕對不會和圖5 虛線重合，于是P 型學(xué)習(xí)得到了轉(zhuǎn)速數(shù)據(jù)點分布在圖5 虛線上、下的響應(yīng)曲線，即出現(xiàn)了超調(diào)。既然圖5 虛線是不可能達到的，這樣的曲線也就沒有真實反映合理的控制期望，這是出現(xiàn)超調(diào)的重要原因之一。應(yīng)該采用恰當?shù)姆绞剑磉_合理的控制期望。據(jù)此，對轉(zhuǎn)速階躍給定值做柔化處理:

圖5 柔滑的階躍轉(zhuǎn)速給定曲線

取KP=3.5、β=0.7，進行P 型迭代學(xué)習(xí)控制實驗，連續(xù)9 次階躍實驗結(jié)果如圖6 所示，控制性能指標變化如表1 所示，轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線逐漸趨于表征控制期望的柔化給定曲線，無超調(diào)。從表1 可以看出，從第六次實驗開始，轉(zhuǎn)速穩(wěn)態(tài)波動誤差增大。增加KP值進行實驗。實驗結(jié)果表明，KP值越大，迭代學(xué)習(xí)收斂速度越快，但穩(wěn)態(tài)波動誤差也增大。

表1 P 型迭代學(xué)習(xí)控制性能指標(KP =3.5，β=0.7)

上述P 型迭代學(xué)習(xí)控制實驗中，電機能夠無超調(diào)運行，通過迭代學(xué)習(xí)，電機控制性能逐漸趨好。控制參數(shù)取為KP=3.5，β =0.7 時，電機的轉(zhuǎn)速控制性能較好，但轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線的上升時間還是比較長。當增加KP即增加控制強度之后，上升時間有所減小，但會導(dǎo)致較大的穩(wěn)態(tài)波動誤差。同時，迭代學(xué)習(xí)控制過程雖能夠單調(diào)收斂，但趨近期望響應(yīng)曲線時，收斂速度放慢，學(xué)習(xí)過程對控制性能的改進量變小。

考察控制策略式(3)，其中僅有一個控制參數(shù)KP，其值的確定需要同時兼顧動態(tài)、穩(wěn)態(tài)控制性能及學(xué)習(xí)收斂性能。對簡單的被控對象，也許可以設(shè)定一個KP值，使得這幾種不同的性能要求得到較好的折衷。但對于復(fù)雜對象，例如超聲波電動機，雖然能夠通過記憶、學(xué)習(xí)，實現(xiàn)控制性能漸進，但顯然無法兼顧上述幾種性能要求。基于此，考慮在式(3)中增加誤差的積分項，構(gòu)成PI 型迭代學(xué)習(xí)控制，以期獲得更好的控制性能。

3 PI 型迭代學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)速控制

3.1 PI 型迭代學(xué)習(xí)控制策略

在式(3)中增加誤差的積分項，得PI 型迭代學(xué)習(xí)控制策略:

式中:KI為積分學(xué)習(xí)增益。增加轉(zhuǎn)速誤差的積分項，有可能在增大控制強度的同時抑制超調(diào)，減小穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速波動，使系統(tǒng)運行更加平穩(wěn)。

3.2 實驗分析

PI 型迭代學(xué)習(xí)控制的實驗步驟與P 型迭代學(xué)習(xí)控制相同。選取不同的KP、KI、β 值進行階躍響應(yīng)實驗，考察控制參數(shù)對控制和學(xué)習(xí)性能的影響。實驗表明，選取KP=2、KI=6、β =0.8 時，性能相對較好，對應(yīng)的階躍響應(yīng)迭代學(xué)習(xí)過程如圖7 所示，控制性能指標如表2。由表2 中數(shù)據(jù)可以看出，學(xué)習(xí)過程的漸進性明顯，穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速波動也相對較小。

表2 PI 型迭代學(xué)習(xí)控制性能指標(KP =2，KI =6，β=0.8)

4 結(jié) 語

本質(zhì)上，迭代學(xué)習(xí)控制策略是一種算法相對簡單的在線優(yōu)化控制策略。為尋求適用于超聲波電動機的簡單控制策略，本文嘗試將其用于超聲波電動機轉(zhuǎn)速控制，并根據(jù)超聲波電動機的時變特點給出了改進的控制算法。實驗表明，所設(shè)計的超聲波電動機轉(zhuǎn)速迭代學(xué)習(xí)控制器，能夠?qū)崿F(xiàn)在線的控制性能改進;適當表述的期望控制響應(yīng)對控制性能及學(xué)習(xí)過程都有顯著影響，需要根據(jù)控制性能要求確定;控制參數(shù)個數(shù)應(yīng)適當，在考慮控制算法簡單的同時，保證控制的有效性。

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