材料力學課程教學中的幾個極值問題

戴京濤++夏毅銳++孫海霞

摘 要：極值問題是材料力學課程教學中經(jīng)常遇到的問題。本文對材料力學課程教學中的幾個極值問題進行了分析和研究。研究表明，空心圓軸抗扭截面系數(shù)是其外徑的單調(diào)函數(shù)，外徑越大，其抗扭截面系數(shù)就越大；對于某些截面來說，截去部分材料反而會使整個結(jié)構(gòu)的抗彎能力增強；工程上常見的只承受集中載荷的雙向彎曲梁的最大的彎矩只會出現(xiàn)在集中力作用的截面。教學實踐表明，利用學生已經(jīng)掌握的數(shù)學物理知識推導力學理論和公式，并將這些理論和公式結(jié)合工程實際進行分析，能夠有效地激發(fā)和提高學生的學習興趣，取得良好的教學效果。

關鍵詞：材料力學 課程教學 極值

中圖分類號：TB301 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）12（c）-0233-02

《材料力學》作為一門重要的專業(yè)基礎課，在機械、機電等專業(yè)的課程體系中占有重要地位。但由于這門課概念、定理、公式較多，理論抽象，學生學起來較為吃力。因此，培養(yǎng)學生的學習興趣，讓學生輕松學好力學，是力學教學的當務之急。極值問題是材料力學課程教學中經(jīng)常遇到的問題，圍繞極值問題的推導與分析，充分展現(xiàn)問題中的力學之美，能夠有效激發(fā)和提高學生的學習興趣。下面就材料力學中的幾個極值問題進行討論。

1 面積一定的空心圓截面抗扭截面系數(shù)最大值問題

任意截面極慣性矩的定義式[1]為：。顯然，對于面積固定的空心圓軸來說，外徑D越大，其極慣性就越大?？招膱A截面的抗扭截面系數(shù)表達式為：。從這一定義式看，對于面積固定的空心圓截面來說，雖然Ip會隨著外徑D的增大而增大，但從整個表達式看，其抗扭截面系數(shù)不一定增大，關鍵問題是看Ip增加得快還是D增加的快。對于空心軸，，式中：，為內(nèi)外徑之比。問題轉(zhuǎn)化為在面積一定的條件下，也就是：（C>0，常數(shù)）條件下，求函數(shù)的極值問題。易解得：上式求導得：。

也就是說Wt是關于D的單調(diào)增函數(shù)，所以Wt隨著外徑D增大而增大。當然，在截面面積一定的情況下，隨著外徑的增大，圓筒壁厚會越來越小，當小到一定程度后，空心圓軸的破壞將不再是強度問題，而是薄壁圓筒受扭失穩(wěn)問題。

2 圓截面的最大抗彎截面系數(shù)

如圖1（a）所示，半徑為r的圓形橫截面，切掉畫陰影線的部分后，抗彎截面系數(shù)會如何變化？這樣做對梁的抗彎剛度又會有哪些影響呢？

由圖1（b）可以看出，切掉陰影線部分后剩余的面積，是由4個相同的直角三角形面積和4個相同的扇形面積之和，一個直角三角形面積對水平直徑的慣性矩為：

一個扇形面積對水平直徑的慣性矩為：

因為圓截面在中性軸附近聚集了較多的材料，而離中性軸遠處的材料卻較少。當切掉適當?shù)男」蚊娣e后，使之離中性軸遠處的材料密集度增大，這樣抗彎截面系數(shù)必增大。

被切去陰影部分后，剩余面積對水平直徑的慣性矩：

抗彎截面系數(shù)Wx：

顯然，抗彎截面系數(shù)是α的函數(shù)。Wx取得極值時，Wx對α的一階導數(shù)為零，則有：

=0

解以上方程得兩個解（由于上述方程為超越方程，所以只能進行數(shù)值求解）：（無意義，舍去）或，抗彎截面系數(shù)Wx達到最大值：，此時。而未切前：，。

從以上比較可知切后抗彎截面系數(shù)增大，而抗彎剛度降低，因而使梁的抗斷裂能力提高，抗彎曲變形能力降低。

通過以上問題發(fā)現(xiàn)：對某些截面來說，截去部分材料反而會使整個結(jié)構(gòu)的抗彎能力增強。

在工程實際中，對于截面上、下端較小的截面，諸如圓形、三角形等截面，都可在截面的上、下端適當?shù)亟厝ヒ恍〔糠?，以增大截面的彎曲截面系?shù)，提高梁的彎曲強度。但彎曲截面系數(shù)增大的比例有多大，是否有實際意義，還應根據(jù)不同形狀的截面區(qū)別對待。對圓形截面，截面系數(shù)只增大了0.6%，工程意義不大[2，3]。

3 僅作用集中力情況下雙向彎曲梁的最大彎矩截面的確定

雙向彎曲中，水平和鉛垂面內(nèi)同時發(fā)生彎曲變形，并在軸上產(chǎn)生彎矩My和Mz。對于傳動軸來說，如果要對其強度進行校核，首先需要找到其危險截面，即要確定出最大彎矩所在的截面。

如圖2所示，對于AB段，My和Mz曲線均為過原點的直線，則：

，

顯然合彎矩M是x的一次函數(shù)，M為直線。同理可證DB段彎矩圖也是直線。這種情況下，梁的最大彎矩值只能出現(xiàn)在直線的兩端。

CD段My和Mz一個為單調(diào)增加函數(shù)，另一個為單調(diào)減少函數(shù)，如圖所示。顯然，僅僅通過合彎矩函數(shù)的表達式無法直接判斷出最大彎矩值發(fā)生在CD段的哪個位置。

第一種推導方法：

，

合彎矩：

由上式可見：，所以該段合彎矩圖為凹曲線。因此，該段最大彎矩發(fā)生在閉區(qū)間[C，D]的兩端點處，亦即危險截面為集中力所在的截面。

第二種推導方法：

顯然，合彎矩圖為雙曲線。由上式可得：

上式中的常數(shù)項：

則有：

這說明合彎矩的雙曲線的焦點位于豎直方向，且曲線開口向上。所以，該段最大彎矩發(fā)生在閉區(qū)間[C，D]的兩端點處，亦即危險截面為集中力所在的截面。

經(jīng)過多年的教學實踐發(fā)現(xiàn)，利用學生已經(jīng)掌握的數(shù)學物理知識推導力學理論和公式，并將這些理論和公式結(jié)合工程實際進行分析，能夠有效地激發(fā)和提高學生的學習興趣，取得良好的教學效果。材料力學是一門藝術(shù)，它給學生以知識、以思考、以享受、以探討奧妙的興趣。因而，值得每一位力學教師認真研究，反復推敲，并巧妙應用于教學實踐，讓學生好學、學好材料力學。

參考文獻

[1] 劉鴻文.材料力學[M].北京：3版.高等教育出版社，1992.

[2] 孫訓方，方孝淑，關來泰.材料力學[M].5版北京：高等教育出版社，2009.

[3] 范欽珊.材料力學[M].2版.北京：高等教育出版社，2005.endprint