具有通信時(shí)延的多個(gè)體網(wǎng)絡(luò)量化一致性分析

張丹丹

（南昌航空大學(xué) 信息工程學(xué)院，江西 南昌 330063）

0 引 言

多個(gè)體網(wǎng)絡(luò)由大量個(gè)體或節(jié)點(diǎn)相互信息交互耦合而成，每個(gè)個(gè)體僅能與其周圍鄰居個(gè)體進(jìn)行信息傳遞。由于不需要網(wǎng)絡(luò)全局信息，多個(gè)體網(wǎng)絡(luò)在復(fù)雜環(huán)境下具有極強(qiáng)的魯棒性和適應(yīng)能力，以及節(jié)約成本等優(yōu)點(diǎn)，因而在過(guò)去十多年中，多個(gè)體網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)研究引起了不同領(lǐng)域?qū)W者們的廣泛關(guān)注。作為多個(gè)體網(wǎng)絡(luò)最根本的問(wèn)題，一致性問(wèn)題的研究更是受到極大關(guān)注，并取得了豐碩成果。在多個(gè)體網(wǎng)絡(luò)中，一致性是指在沒(méi)有中央集總控制情況下，個(gè)體間僅通過(guò)局部的交互作用使所有個(gè)體狀態(tài)趨于相同［1－2］，并在多移動(dòng)機(jī)器人編隊(duì)控制［3－4］、衛(wèi) 星 姿 態(tài) 同 步［5］等 方 面 具 有 廣 泛 應(yīng)用。一致性問(wèn)題的關(guān)鍵在于設(shè)計(jì)合理的一致性協(xié)議，使網(wǎng)絡(luò)中的個(gè)體能夠就感興趣的狀態(tài)變量達(dá)成共識(shí)。而作為一致性問(wèn)題的特例，平均一致性問(wèn)題則要求最終的一致性值為網(wǎng)絡(luò)中所有個(gè)體初始狀態(tài)的算術(shù)平均。

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)、網(wǎng)絡(luò)技術(shù)和通信技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展，多個(gè)體網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用更加廣泛，并涌現(xiàn)出一大批新的更加復(fù)雜的應(yīng)用需求。由于實(shí)際通信網(wǎng)絡(luò)的數(shù)字通道帶寬有限，從而導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)中個(gè)體的狀態(tài)信息在發(fā)送給其鄰居個(gè)體之前必須進(jìn)行量化，個(gè)體間只能基于量化狀態(tài)信息而非精確狀態(tài)信息進(jìn)行通信。因而設(shè)計(jì)有效的量化一致性協(xié)議，使得多個(gè)體網(wǎng)絡(luò)基于量化信息通信涌現(xiàn)出期望的群體動(dòng)力學(xué)行為，成為近年來(lái)多個(gè)體網(wǎng)絡(luò)研究的一個(gè)新熱點(diǎn)課題［6－13］。

常用量化策略主要有均勻量化和對(duì)數(shù)量化2類。文獻(xiàn)［6］研究了固定拓?fù)錈o(wú)向網(wǎng)絡(luò)的量化一致性問(wèn)題，得到了網(wǎng)絡(luò)達(dá)到平均一致性時(shí)量化器參數(shù)與無(wú)向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)參數(shù)間的定量關(guān)系。文獻(xiàn)［7］通過(guò)設(shè)計(jì)合適的均勻量化策略，固定拓?fù)錈o(wú)向網(wǎng)絡(luò)中的任意鄰居個(gè)體僅需互惠地發(fā)送有限比特量化信息，就足以確保網(wǎng)絡(luò)達(dá)成平均一致性。但無(wú)向網(wǎng)絡(luò)要求個(gè)體之間必須進(jìn)行雙向信息傳遞，而不同個(gè)體具有不同的信息傳輸能力，因此實(shí)際網(wǎng)絡(luò)一般都是有向的。因此，基于對(duì)數(shù)量化策略，文獻(xiàn)［12］研究了有向平衡網(wǎng)絡(luò)的量化一致性問(wèn)題，并發(fā)現(xiàn)在所提出的量化一致性協(xié)議作用下，所有個(gè)體能達(dá)成β－平均一致性，即當(dāng)對(duì)數(shù)量化器扇形邊界參數(shù)β趨于0時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中個(gè)體漸近地達(dá)成平均一致性。但平衡網(wǎng)絡(luò)意味著所有個(gè)體在網(wǎng)絡(luò)中具有同等重要性［2］，這一要求在實(shí)際應(yīng)用中過(guò)于苛刻。因此，基于均勻量化策略，文獻(xiàn)［9］研究了固定拓?fù)溆邢蚍瞧胶饩W(wǎng)絡(luò)的量化一致性問(wèn)題，所提出的量化一致性協(xié)議允許個(gè)體之間可以進(jìn)行單向、非平衡的信息通信。此外，由于一個(gè)個(gè)體可以進(jìn)入或離開(kāi)其他個(gè)體的有效感知范圍，這意味著在通信圖中，某些邊被移去或加入了新的邊，從而導(dǎo)致切換拓?fù)洌?－2］。采用自適應(yīng)均勻量化策略，文獻(xiàn)［8，10］分別研究了無(wú)向切換網(wǎng)絡(luò)和有向切換網(wǎng)絡(luò)的量化一致性問(wèn)題。

當(dāng)個(gè)體間進(jìn)行信息交換時(shí)，信息傳輸速度通常受到實(shí)際通信設(shè)備物理性能的限制，這使得發(fā)送方的信息會(huì)經(jīng)過(guò)一定時(shí)間延遲后才能被接收方收到，從而導(dǎo)致通信時(shí)延的產(chǎn)生。因此，研究量化和通信時(shí)延共存情形的多個(gè)體網(wǎng)絡(luò)一致性問(wèn)題既有極強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用背景，也是非常有必要的。文獻(xiàn)［11］在文獻(xiàn)［7］的基礎(chǔ)上，采用均勻量化策略研究發(fā)現(xiàn)只要無(wú)向網(wǎng)絡(luò)中個(gè)體間的通信時(shí)延有上界，則所有個(gè)體仍能達(dá)成平均一致性。但文獻(xiàn)［11］僅研究了無(wú)向網(wǎng)絡(luò)情形，從而限制了其應(yīng)用范圍。

本文在文獻(xiàn)［9，12］的基礎(chǔ)上，采用對(duì)數(shù)量化策略研究了量化和時(shí)延共存情形下的固定拓?fù)溆邢蚍瞧胶舛鄠€(gè)體網(wǎng)絡(luò)的一致性問(wèn)題。結(jié)果表明，無(wú)論對(duì)數(shù)量化信息多么粗糙，只要選取合適的增益參數(shù)，則所提出的量化一致性協(xié)議是可接受的，且多個(gè)體網(wǎng)絡(luò)以指數(shù)速度達(dá)成β－加權(quán)平均一致性。此外，本文揭示了一致性誤差的上界對(duì)對(duì)數(shù)量化器扇形邊界參數(shù)β的依賴關(guān)系，并用仿真實(shí)例驗(yàn)證了本文理論分析的有效性。本文通過(guò)引入時(shí)延節(jié)點(diǎn)將系統(tǒng)擴(kuò)維，將存在通信時(shí)延的量化一致性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)時(shí)延的量化一致性問(wèn)題，并利用相關(guān)強(qiáng)非周期馬爾科夫（Markov）鏈的收斂結(jié)論［14］進(jìn)行一致性分析，而文獻(xiàn)［11］主要運(yùn)用無(wú)向圖的代數(shù)圖譜理論和對(duì)稱矩陣分解方法來(lái)分析一致性，該方法不適用于本文所考慮的有向網(wǎng)絡(luò)。

1 準(zhǔn)備知識(shí)

1.1 圖論基礎(chǔ)知識(shí)

多個(gè)體網(wǎng)絡(luò)的通信拓?fù)渫ǔ？梢越３捎邢驁DG＝（V，ε，W），其中，網(wǎng)絡(luò)中個(gè)體或節(jié)點(diǎn)集V＝｛1，2，…，N｝，N 為個(gè)體數(shù)目；邊集ε＝｛eij＝（i，j）｜i，j∈V｝；與有向網(wǎng)絡(luò)相對(duì)應(yīng)的鄰接矩陣W＝（wij）∈RN×N，有向邊eji∈ε表示個(gè)體j向個(gè)體i發(fā)送信息，這時(shí)個(gè)體j稱為個(gè)體i的入度鄰居，此時(shí)的有向邊（j，i）對(duì)應(yīng)的邊權(quán)wij＞0，否則wij＝0。若有向圖G中的有序節(jié)點(diǎn)序列（i1，i2，…，ir）滿足eij，ij＋1∈ε，j∈｛1，…，r－1｝，則稱該有序節(jié)點(diǎn)序列為有向圖G中的一條有向路徑。如果有向圖G中的任意2個(gè)不同節(jié)點(diǎn)i和j之間都存在一條有向路徑，則稱圖G是強(qiáng)連通的。由于每個(gè)個(gè)體可獲悉自身狀態(tài)信息，本文假定所有個(gè)體具有自環(huán)或eii∈ε（i∈V）。如果圖G中任意節(jié)點(diǎn)i的入度和出度都相等，即對(duì)任意i∈V，成立，則稱圖G為平衡圖。若W 中的任意元素wij≥0且滿足W1＝1，1＝（1，1，…，1）T，則W 稱為 （行）隨 機(jī) 矩 陣。進(jìn) 一 步 地，若1TW＝1T還成立，則W 稱為雙隨機(jī)矩陣，此時(shí)網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)的有向圖為平衡圖［2］。

1.2 對(duì)數(shù)量化器

對(duì)數(shù)量化器可以用非線性函數(shù)q（·）：R→Γβ來(lái)表示，其作用是將實(shí)數(shù)集R映射到離散量化水平集Γβ，并定義為：對(duì)任意實(shí)數(shù)m，有

對(duì)應(yīng)的離散量化水平集Γβ為：

Γβ＝ ｛±vl｜vl＝ρlv0，l＝±1，±2，…｝∪ ｛0｝。其中，v0＞0為已知常數(shù)；0＜ρ＜1為對(duì)數(shù)量化器的密度參數(shù)；待設(shè)計(jì)參數(shù)β＝（1－ρ）／（1＋ρ）∈（0，1）表示對(duì)數(shù)量化器的扇形邊界參數(shù)［12］，即對(duì)數(shù)量化器滿足：

其中，Δ∈［－β，β］為因?qū)?shù)量化所導(dǎo)致的誤差。（2）式表明β越大，量化信息越不精確或越粗糙；相反地，β越小則量化信息越接近真實(shí)信息。

2 問(wèn)題描述

考慮具有N個(gè)個(gè)體的多個(gè)體網(wǎng)絡(luò)，其中個(gè)體i∈V具有離散一階動(dòng)力學(xué)［6－11］如下：

其中，xi（k）為個(gè)體i在k時(shí)刻的狀態(tài)；ui（k）為個(gè)體i的控制輸入或協(xié)議。

由于個(gè)體間信息交換受有限帶寬限制以及通信時(shí)延的影響，實(shí)際上個(gè)體i接收到個(gè)體j的信息為：

其中，q（xj（k－τji））為個(gè)體i在第k時(shí)刻接收到個(gè)體j在k－τji時(shí)刻的量化狀態(tài)；τji為有向邊eji的通信時(shí)延。

則由（2）式得：

其中，Δj∈［－β，β］；?j∈V。

對(duì)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浜蜁r(shí)延作假設(shè)1、假設(shè)2。

假設(shè)1 有向強(qiáng)連通圖G對(duì)應(yīng)的隨機(jī)鄰接矩陣W具有正對(duì)角元，即存在一個(gè)正數(shù)w滿足；同時(shí)wij∈｛0｝∪［w，1］對(duì)任意i≠j成立。

假設(shè)2τii＝0對(duì)任意i∈V成立；當(dāng)wij＝0時(shí)，τji＝0；存在一個(gè)有限正常數(shù)B，對(duì)任意i，j∈V滿足0≤τji≤B，即通信時(shí)延一致有上界。

對(duì)個(gè)體i∈V在第k時(shí)刻設(shè)計(jì)的一致性協(xié)議如下：

其中，α∈（0，1］為待定的增益參數(shù)；wij為隨機(jī)鄰接矩陣W對(duì)應(yīng)位置的元素。由（1）式、（5）式可知，（6）式表明個(gè)體i利用了其鄰居個(gè)體和自身的量化狀態(tài)信息，因而（6）式由β確定。

利用（4）式，并把（6）式代入（3）式得：

3 系統(tǒng)擴(kuò)維

若信息由個(gè)體j發(fā)出后經(jīng)過(guò)τji步延遲后到達(dá)節(jié)點(diǎn)i，則可以通過(guò)在網(wǎng)絡(luò)圖G中節(jié)點(diǎn)j和節(jié)

點(diǎn)i之間增加τji個(gè)時(shí)延節(jié)點(diǎn)來(lái)描述時(shí)延，而在沒(méi)有發(fā)生通信時(shí)延的節(jié)點(diǎn)之間則無(wú)需增加時(shí)延節(jié)點(diǎn)，則整個(gè)網(wǎng)絡(luò)添加的時(shí)延節(jié)點(diǎn)總數(shù)為。 為 敘 述 方 便，本 文 令xN＋1（k），…，xb（k）為時(shí)延節(jié)點(diǎn)狀態(tài)，通過(guò)例子說(shuō)明系統(tǒng)擴(kuò)維的過(guò)程。

例1 設(shè)有一個(gè)3個(gè)節(jié)點(diǎn)的有向強(qiáng)連通圖G，如圖1a所示。設(shè)節(jié)點(diǎn)3和節(jié)點(diǎn)1間的時(shí)延為2，其他節(jié)點(diǎn)之間無(wú)時(shí)延，如圖1b所示。

圖1 無(wú)時(shí)延和存在時(shí)延時(shí)的網(wǎng)絡(luò)圖

設(shè)圖1a無(wú)時(shí)延情況時(shí)的隨機(jī)矩陣W為：

其各行的行和均為1。

圖1b中，因?yàn)楣?jié)點(diǎn)3、1間的通信時(shí)延為2，故在有向邊e31插入時(shí)延節(jié)點(diǎn)和5，這樣節(jié)點(diǎn)3首先發(fā)送信息至第1個(gè)時(shí)延節(jié)點(diǎn)4，權(quán)為34＝1，節(jié)點(diǎn)4發(fā)送信息給節(jié)點(diǎn)5，權(quán)為54＝1，再經(jīng)由節(jié)點(diǎn)5發(fā)送信息至節(jié)點(diǎn)1，權(quán)為15＝2／3。從而得到時(shí)延情形下的有向圖所對(duì)應(yīng)的鄰接矩陣＝j(luò)）為：仍為一個(gè)隨機(jī)矩陣。

由于時(shí)延節(jié)點(diǎn)僅傳遞信息而沒(méi)有自環(huán)，故引入時(shí)延節(jié)點(diǎn)后的有向圖所對(duì)應(yīng)的鄰接矩陣所有主對(duì)角元素ii不全為正數(shù)，表明對(duì)應(yīng)一個(gè)不可逆Markov鏈，且該Markov鏈不是強(qiáng)非周期的［12］。因此，目前文獻(xiàn)中許多關(guān)于強(qiáng)非周期Markov鏈的收斂結(jié)論對(duì)本文不再適用。此外，由于不是對(duì)稱矩陣，則文獻(xiàn)［9］中對(duì)稱矩陣分解方法對(duì)本文不再適用。令

其中，ΔN＋1（k），…，Δb（k）表示時(shí)延節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的量化不確定性，且滿足：

則通過(guò)系統(tǒng)擴(kuò)維引入時(shí)延節(jié)點(diǎn)后，（7）式可寫(xiě)成為：

其中，迭代矩陣為：

其中，I為適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣。

其中，1＝（1，1，…，1）T，同時(shí)成立。

根據(jù)（9）式，對(duì)迭代矩陣Q（k），πTQ（k）＝πT也成立，亦即Q（k）和具有相同的平穩(wěn)分布。因而由（8）式可得：

這意味著在有界時(shí)延和量化信息通信情形下，多個(gè)體網(wǎng)絡(luò)仍保持加權(quán)平均一致性不變性［9］，當(dāng)π1＝π2＝…＝πN＋b＝1／（N＋b）時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中所有個(gè)體具有同等重要性［2］，即退化為平均一致性情形。

令一致性誤差為δ（k）＝（I－J）x（k），其中J＝1πT。則由（10）式得：

將（11）式帶入（8）式，并利用（9）式可得一致性誤差方程為：

定義1 設(shè)個(gè)體間基于對(duì)數(shù)量化信息通信，若對(duì)任意β∈（0，1），在一致性協(xié)議作用下有：

其中，sup表示上確界，則稱一致性協(xié)議為可接受的。進(jìn)一步地，在可接受一致性協(xié)議作用下，若有：

則稱多個(gè)體網(wǎng)絡(luò)達(dá)成β－加權(quán)平均一致性。當(dāng)扇形邊界參數(shù)β漸近地趨于0時(shí)，非時(shí)延節(jié)點(diǎn)一致性誤差δ（k）也漸近趨于0。

本文采用對(duì)數(shù)量化策略，并給出適當(dāng)?shù)纳刃芜吔鐓?shù)β設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，使得在有界時(shí)延與對(duì)數(shù)量化信息通信情形下，所提出的一致性協(xié)議能確保多個(gè)體網(wǎng)絡(luò)達(dá)成β－加權(quán)平均一致性。

4 一致性分析

隨機(jī)矩陣P描述了一個(gè)強(qiáng)非周期Markov鏈，進(jìn)一步地，定義加性隨機(jī)矩陣［14］為：

引理1 隨機(jī)矩陣Q描述了一個(gè)Markov鏈［14］，且具有平穩(wěn)分布π，即，并有：

其中，Qk（i，j）為矩陣Qk第i行第j列位置的元素；1＞λ2＝λ2（U（P））＞0為矩陣U（P）的第二大特征值；πj為滿足（9）式的向量π的第j個(gè)分量。

定理1 設(shè)假設(shè)1、假設(shè)2成立，對(duì)任意β∈（0，1），若選取，則一致性協(xié)議（6）式是可接受的，且有：

再根據(jù)δ（k）定義，由（18）式可得（12）式，即多個(gè)體網(wǎng)絡(luò)達(dá)成β－加權(quán)平均一致性。

證明 對(duì)任意β∈（0，1），由于｜Δj（k）｜≤β＜1及0＜α≤1／（1＋β）＜1，因此有‖α（I＋Ω（k））‖2≤1，則QT（k）＝I－α（I＋Ω（k））（I－）T是一個(gè)列隨機(jī)矩陣（每列的和均為1），且與屬于相同的類［15］，并有：

‖Q（k）‖1＝ ‖QT（k）‖∞＝1。

則由（8）式可得：

對(duì)向量x（k），‖x（k）‖2≤‖x（k）‖1成立，因而（17）式成立。進(jìn)一步地，由于x（k）＝［x（k），xτ（k）］T，故‖x（k）‖2≤‖x（k）‖2，則由（17）式可得（13）式，即一致性協(xié)議是可接受的。

其中，Ψ∈R（N＋b）×（N＋b－1）滿足ΨT1＝0，并有：

根據(jù)范數(shù)性質(zhì)和Φ定義，由（16）式和（21）式可得：

進(jìn)一步地，由于‖Ω（k－s）‖2≤β，則由（17）式、（23）式和（24）式可得：

對(duì)任意k≥0，‖~δ2（k）‖2＝‖δ（k）‖2成立，當(dāng)1＞λ2＞0時(shí)，則由（25）式可得（18）式。

定理1表明，只要強(qiáng)連通有向網(wǎng)絡(luò)中的通信時(shí)延有上界，則對(duì)任意β∈（0，1），只要選取α∈（0，1／（1＋β）］，多個(gè)體網(wǎng)絡(luò)最終依指數(shù)速度達(dá)成β－加權(quán)平均一致性，最終所有個(gè)體狀態(tài)趨于πTx（0）的鄰域內(nèi)。且（18）式表明，引入非線性對(duì)數(shù)量化過(guò)程，一致性誤差上界依賴于個(gè)體數(shù)目、通信時(shí)延、對(duì)數(shù)量化器扇形邊界參數(shù)β和個(gè)體初始狀態(tài)值。因此，定理1將無(wú)通信時(shí)延有向平衡網(wǎng)絡(luò)、個(gè)體動(dòng)力學(xué)為連續(xù)與采樣一階情形的量化一致性相關(guān)結(jié)論［12］推廣到存在通信時(shí)延有向非平衡網(wǎng)絡(luò)、個(gè)體動(dòng)力學(xué)為離散一階情形。

5 數(shù)值仿真

考慮如圖1a所示的3個(gè)個(gè)體有向圖G，個(gè)體狀態(tài)初始值x0＝ （－ 2.45 1.57 2.02 ）T，并設(shè)除自環(huán)外的通信時(shí)延τji均為1，且引入的時(shí)延個(gè)體初始狀態(tài)均設(shè)為0，則計(jì)算可得基于精確信息通信的多個(gè)體網(wǎng)絡(luò)一致性值為：

x＊＝ （0. 850 2 0.850 2 0.850 2 ）T。仿真中對(duì)數(shù)量化器參數(shù)v0取2。

首先令β＝0.8∈（0，1），則按照定理1，取α＝0.5∈（0，1／（1＋β）］，迭代40次后的個(gè)體狀態(tài)軌跡圖如圖2所示。

圖2 β＝0.8，α＝0.5時(shí)3個(gè)個(gè)體狀態(tài)軌跡

令β＝0.08，取α＝0.5，可得迭代40次后的個(gè)體狀態(tài)軌跡圖如圖3所示。

圖2和圖3表明，只要強(qiáng)連通網(wǎng)絡(luò)中的通信時(shí)延有上界，基于任意粗糙量化信息通信的多個(gè)體網(wǎng)絡(luò)總可以指數(shù)地達(dá)成β－加權(quán)平均一致性；且對(duì)數(shù)量化信息越精確，即β越小，則個(gè)體狀態(tài)越趨近于無(wú)量化信息通信時(shí)的一致性值x＊。

圖3 β＝0.08，α＝0.5時(shí)3個(gè)個(gè)體狀態(tài)軌跡

6 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)通信時(shí)延有界的固定拓?fù)溆邢驈?qiáng)連通非平衡網(wǎng)絡(luò)，本文基于對(duì)數(shù)量化策略提出一種量化一致性協(xié)議。進(jìn)一步利用相關(guān)強(qiáng)非周期Markov鏈的收斂結(jié)論，證明所提出的量化一致性協(xié)議是可接受的，且無(wú)論對(duì)數(shù)量化信息多么粗糙，只要選取合適的增益參數(shù)，多個(gè)體網(wǎng)絡(luò)最終以指數(shù)速度達(dá)成β－加權(quán)平均一致性。此外，解析地揭示了一致性誤差的上界對(duì)對(duì)數(shù)量化器扇形邊界參數(shù)β的依賴關(guān)系，并用仿真例子驗(yàn)證了本文理論分析的有效性。作為后續(xù)研究，本文將采用對(duì)數(shù)量化策略，進(jìn)一步考慮具有時(shí)變通信時(shí)延的有向切換網(wǎng)絡(luò)量化一致性問(wèn)題。同時(shí)，將本文網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞膹?qiáng)連通條件弱化為生成樹(shù)條件，也將是有待解決的問(wèn)題之一。

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