分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程組邊值問題解的存在性

江衛(wèi)華，李海明

(河北科技大學(xué)理學(xué)院，河北石家莊 050018)

1 問題提出

分?jǐn)?shù)階微分方程的出現(xiàn)已有300多年歷史，由于其理論的自身發(fā)展以及在流變學(xué)、電子網(wǎng)絡(luò)、黏彈性、物理化學(xué)、分析化學(xué)、生物學(xué)和控制理論等學(xué)科中的廣泛應(yīng)用，使得分?jǐn)?shù)階微分方程受到越來越多學(xué)者的廣泛關(guān)注［1-21］。

文獻(xiàn)［1］研究了非線性脈沖微分方程邊值問題:

解的存在性。

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文研究如下非線性脈沖微分方程組邊值問題:

解的存在性。其中

2 預(yù)備知識

定義1［1］函數(shù)u定義在區(qū)間(0，1)，q＞0，則階數(shù)為q的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義為

定義2［1］函數(shù)u定義在區(qū)間(0，1)，q＞0，則階數(shù)為q的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

取空間

PC(J，R)={x:J→R;x∈C((tk，tk+1］，R)，k=0，1，2，…，n，x)=x(tk)，k=1，2，…，n}，范數(shù)為‖x‖PC=supt∈J|x(t)|。

PC1(J，R)={x'∈PC(J，R);x'()=x'(tk)，k=1，2，…，n)， 范 數(shù) 為 ‖x‖PC1=max{‖x‖PC，‖x'‖PC}。

由文獻(xiàn)［1］知PC(J，R)及PC1(J，R)是 Banach空間。乘積空間PC1(J，R)×PC1(J，R)，范數(shù)定義為‖(u，v)‖=max{‖u‖PC1，‖v‖PC1}，?(u，v)∈PC1(J，R)×PC1(J，R)，是一個 Banach 空間。

定理1［1］(壓縮映像原理)設(shè)X是完備的度量空間，T是X上的壓縮映像，那么T有且只有一個不動點。

定理2［1］(krasnoselskii不動點定理)設(shè)M是Banach空間X中的一個非空凸子集。假設(shè)A，B是2個映射，使得:

1)對任意的x，y∈M，有Ax+By∈M;

2)A是全連續(xù)映射;

3)B是一個壓縮映射，則存在至少一個z∈M，使得z=Az+Bz。

引理1［1］假設(shè)

對于φ，ζ∈C［0，1］則分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程組邊值問題:

的解為(u(t)，v(t))。其中

3 主要結(jié)果

定理 3 令fi∈C(J×R×R，R)，Ii，k∈C(R，R)，Ji，k∈C(R，R)，(i=1，2)，fi是連續(xù)有界函數(shù)，Ii，k，Ji，k是連續(xù)函數(shù)。假如存在正實數(shù)L1，L2，L3，M2，M3，l1，l2，l3，m2，m3使得:

其中

成立，則分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程組(1)在PC1(J，R)×PC1(J，R)中有唯一解。

證明 定義映射A:PC1(J，R)×PC1(J，R)→PC1(J，R)×PC1(J，R)如下:

其中:

其中:

定義 s upt∈［0，1］|f1(t，0，0)|=M1，supt∈［0，1］|f2(t，0，0)|=m1。取

其中r=max{r1，r2，r3，r4}，

下面需要證明A(Br)?Br，其中Br={(u，v)∈PC1(J，R)×PC1(J，R):‖(u，v)‖PC1≤r}。

對于(u，v)∈Br有

類似可得:

所以有:

再證A:Br→Br是壓縮映像。

對于(u1，v1)，(u2，v2)∈PC1(J，R)×PC1(J，R)，?t∈［0，1］，有:

類似可得:

則有:

其中:

由于max{Λ1，Λ2，Λ3，Λ4}＜1，則表明A(u，v)(t)是一個壓縮映射，因此，根據(jù)壓縮映像原理定理得證。

定理4 如果條件H1)和條件H2)成立，且n(2L2+3L3)＜，對于 ? (t，u，v)∈［0，1］×R×R，有|fi(t，u，v)|≤ ‖μ‖L，i=1，2，其中 μ ∈L(［0，1］，R+，R+)。則邊值問題(1)在［0，1］中至少有1個解。

證明 令

Br={(u，v)∈PC1(J，R)×PC1(J，R):‖(u，v)‖ ≤r}。(r=max{r5，r6，r7，r8})。定義在Br上的映射Φ和Ψ如下:

Φ(u，v)(t)=(Φ1(u，v)(t)，Φ2(u，v)(t))，其中

Ψ'(u，v)(t)=(Ψ'1(u，v)(t)，Ψ'2(u，v)(t))，其中

對于(u1，v1)，(u2，v2)∈Br，有

所以

即 Φ(u1，v1)(t)+Ψ(u2，v2)(t)∈Br。

因為

所以映射Ψ是壓縮映射。

因為fi是連續(xù)有界函數(shù)，所以映射Φ是連續(xù)的，并且在Br上有界。

證明映射Φ的緊性。

令Ω=［0，1］×Br，定義sup(t，u，v)∈Ω|f1(t，u，v)|=f1max，sup(t，u，v)∈Ω|f2(t，u，v)|=f2max。

取 τ1，τ2∈［0，1］，τ1＜τ2，則有:

‖Φ1(u，v)(τ2)－Φ1(u，v)(τ1)‖PC=

類似可得，

與(u，v)無關(guān)，則Φ在Br上是相對緊的。因此，由Arzela-Ascoil定理可知，Φ在Br上是緊的，則Φ是全連續(xù)的。所以滿足定理3的所有條件，則邊值問題(1)在［0，1］中至少有1個解。

4 舉 例

例1 考慮分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程組邊值問題

滿足定理4的條件，此邊值問題有唯一解。

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