超高壓輸電線工頻電場的分析

孫麗萍,杜麗娟,周宏威,何 杰

(東北林業(yè)大學(xué),哈爾濱 150040)

超高壓輸電線工頻電場的分析

孫麗萍,杜麗娟,周宏威,何 杰

(東北林業(yè)大學(xué),哈爾濱 150040)

針對(duì)超高壓輸電線路對(duì)電磁環(huán)境影響很大的問題,闡述了比例邊界有限元方法計(jì)算工頻電場的方法,基于麥克斯韋方程組,建立了相應(yīng)的電場計(jì)算模型,利用變分原理通過比例邊界坐標(biāo)變換,推出工頻電場的比例邊界有限元方程,分析了高壓輸電線路在空曠地點(diǎn)與穿越樹木時(shí)的工頻電場。計(jì)算和仿真結(jié)果表明:比例邊界有限元法能夠準(zhǔn)確計(jì)算出工頻電場,減少了數(shù)據(jù)準(zhǔn)備工作量;樹木對(duì)電場有明顯的削弱作用。

高壓輸電線路; 工頻電場; 建模; 比例邊界有限元方法

目前,220 kV的高壓乃至500 kV的超高壓輸電線路已經(jīng)不斷的接近人們的生活區(qū)域,輸電線路對(duì)電磁環(huán)境的影響很大,準(zhǔn)確快速地計(jì)算出電場及降低電場對(duì)環(huán)境的影響就成為急需解決的問題。計(jì)算工頻電場的研究方法很多,主要有模擬電荷法、有限元法、邊界元法等[1-10],但都有一定的缺陷:用模擬電荷法時(shí)電荷個(gè)數(shù)和位置很難確定;有限元法是全域算法,需要把所有的求解域離散,計(jì)算量較大;邊界元法是對(duì)求解域邊界上劃分單元,降低了求解問題的維數(shù),基本解的尋找很困難;Wolf和Song在20世紀(jì)90年代提出的比例邊界有限元法,結(jié)合了有限元法和邊界元法的優(yōu)勢,僅需要用有限元離散部分邊界就可以把問題降低一維,在無離散的坐標(biāo)方向利用解析方法求解,在工頻電場方向的應(yīng)用很少見。而在實(shí)際計(jì)算電場時(shí),經(jīng)常遇到在某邊界上給定電位的情況,由此,本文基于比例邊界有限元建立模型,從靜電場控制方程——Laplace’s方程開始,結(jié)合變分原理推導(dǎo)了比例邊界有限元法,并成功用于計(jì)算工頻電場,同時(shí),將樹木對(duì)電場是否有影響進(jìn)行了仿真研究,以期為輸電線路架設(shè)提供一定參考。

1 架空輸電線路的選取與模型建立

架空輸電線路主要由桿塔(電桿和鐵塔)、導(dǎo)線、避雷線、絕緣子和金具等組成。拉線塔可以分為拉線、塔頭和主柱3個(gè)部分。塔頭和主柱一般由角鋼組成,角鋼采用空間架結(jié)構(gòu),該結(jié)構(gòu)有很好的整體穩(wěn)定性,可以承受較大的拉力,由于拉線塔充分利用了材料的強(qiáng)度特性,故達(dá)到了減少材料損耗用量的目的。拉線塔從外形來分有多種形式:一種是導(dǎo)線呈三角形排列的,例如:鳥骨型、貓頭鷹型等;另一種是導(dǎo)線呈水平排列的,例如門型、V型;還有一種縱向能自立的,例如內(nèi)拉線門型塔等。

以林場里的單回三相三角形輸電線路為原型建立模型,如圖1所示。

圖1 500 kV單回三相水平排列線路

對(duì)長距離的輸電線路的電場分析做以下理想假設(shè):大地看作是電位為零的無窮大導(dǎo)體面;無限長直導(dǎo)線看作與地面平行的光滑圓柱體,并且其表面也視為等位面;忽略桿塔、導(dǎo)線臨近物體以及避雷線的端部效應(yīng)和弧垂影響[11]。簡化后,長距離高壓輸電線路中的電場問題可轉(zhuǎn)化為多個(gè)平行導(dǎo)體系統(tǒng)的二維交變電場計(jì)算問題,即二維靜電場問題。三相導(dǎo)線等效半徑計(jì)算的表達(dá)式為

(1)

式中:R為分裂導(dǎo)線半徑;n為次導(dǎo)線根數(shù);r次導(dǎo)線半徑;i為不同相的順序U、V、W相。

三相輸電線各相導(dǎo)線電壓可表示為

(2)

式中θ為初相。

2 比例邊界有限元方程應(yīng)用于電場的公式推導(dǎo)

描述靜電場的控制方程為拉普拉斯方程，即

2φ=0

(3)

式中:φ為電位;為梯度算子。

(4)

(5)

式中:n為邊界外法線方向,對(duì)于研究的區(qū)域有兩類邊界條件,一類是S1是給定電位值,也稱第一類邊界;S2稱第二類邊界[12]。

式(3)—式(5)的等效泛函問題可以表達(dá)為

(6)

在比例邊界有限元方法中,包含有徑向(ξ)和圓周方向(s)的坐標(biāo)系統(tǒng)如圖2所示,徑向坐標(biāo)規(guī)定在比例中心(Scaling Center)處定義為零,而在邊界上定義為單位值1;圓周方向坐標(biāo)規(guī)定沿著邊界逆時(shí)針方向的距離。如果0≤ξ≤1 表示有限區(qū)域問題,如果ξ→∞表示開域問題。

比例邊界坐標(biāo)系統(tǒng)和Cartesian坐標(biāo)系統(tǒng)的關(guān)系為

x=x0+ξx(s)

y=y0+ξy(s)

(7)

利用式(7),計(jì)算域內(nèi)任意一點(diǎn)的位置可由比例坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分量ξ和s確定。

圖2 比例邊界坐標(biāo)系統(tǒng)

Cartesian坐標(biāo)系下的梯度算子在比例坐標(biāo)系下可變換為

(8)

其中

(9)

雅克比行列式定義為

|J|=x(s)y(s)s-y(s)x(s)s

(10)

通過雅克比矩陣,可得比例邊界有限元坐標(biāo)和Cartesian坐標(biāo)兩者之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系:

(11)

根據(jù)等參變換概念,電位也可以采用插值函數(shù)N(s)進(jìn)行離散:

φ(ξ,s)=N(s)φ(ξ)

(12)

將式(8)和式(12)帶入式(6)可得:

(13)

其中:

B1(s)=b1(s)N(s)

(14)

B2(s)=b2(s)N(s)s

(15)

引入系數(shù)矩陣,則有

(16)

(17)

(18)

(19)

考慮δφ(ξ)T的任意性,可產(chǎn)生如下關(guān)系式:

-E2φ(ξ)+ξFs(ξ)=0

(22)

式(20)、式(21)分別是計(jì)算域內(nèi)、外邊界條件方程。式(22)是比例邊界有限元的基本方程。

3 比例邊界有限元方程求解

當(dāng)Fs(ξ)=0時(shí),式(22)為二階Euler-Cauchy齊次方程。為了求解方便,降階求解,引入Q(ξ)作為φ(ξ)的對(duì)偶變量:

(23)

可得狀態(tài)方程:

(24)

其中:

(25)

由于Z陣為Hamilton陣,可以通過求解Z的特征值問題來得到方程(24)的解:

(26)

式中:λi為特征值對(duì)角矩陣;Φ11、Φ12、Φ21、Φ22均為特征向量矩陣。

進(jìn)一步可得:

φ(ξ)=Φ11ξ-λic1+Φ12ξλic2

(27)

Q(ξ)=Φ21ξ-λic1+Φ22ξλic2

(28)

式中:c1、c2為積分常數(shù);ξ-λi、ξλi為對(duì)角矩陣。

對(duì)于有限域的問題,ξ=0處的φ為有限值,所以c2=0;對(duì)于無限域的問題,ξ=∞處的φ為有限值,所以c1=0。其中,有限域的積分常數(shù)c1和無限域的積分常數(shù)c2都可以由邊界條件來確定。c1、c2確定后,可以通過插值確定域內(nèi)任意點(diǎn)的電位和E=-φ確定域內(nèi)任意點(diǎn)電場強(qiáng)度。計(jì)算輸電線的場下電場強(qiáng)度可分別按式(2)的實(shí)部和虛部導(dǎo)線設(shè)置的邊界條件計(jì)算兩次電場強(qiáng)度。最后就可以得到的總和成電場強(qiáng)度為

(29)

式中:ExR、EyR分別為導(dǎo)線電壓為實(shí)部時(shí)計(jì)算的x、y向的電場強(qiáng)度;Ex1、Ey1分別為導(dǎo)線電壓為虛部時(shí)計(jì)算的x、y向的電場強(qiáng)度。

當(dāng)Fs(ξ)≠0時(shí),式(22)為非齊次方程。同樣引入Q(ξ),即式(23),可得狀態(tài)方程:

(30)

由此可以得出φ(ξ)和Q(ξ)的表達(dá)式:

φ(ξ)=Φ11ξ-λic1(ξ)+Φ12ξλic2(ξ)

(31)

Q(ξ)=Φ21ξ-λic1(ξ)+Φ22ξλic2(ξ)

(32)

式中:c1、c2是積分常數(shù),可以通過邊界條件獲得；c1(ξ)和c2(ξ)為變異系數(shù),由式(30)可以得出:

(33)

(34)

其中:

(35)

4 輸電線下有無樹木時(shí)電場的分析

單回三相三角形的輸電線路如圖1所示,采用4×LGJ—400/50導(dǎo)線,線間距離為2×7.5 m,H1=15 m,H2=11 m,電阻率為2.8264E-8,r=0.0148,R=0.457,由式(1)算出等效導(dǎo)線半徑是0.274 m。現(xiàn)設(shè)初相為45°,三相各個(gè)導(dǎo)線電壓可由式(2)計(jì)算出。輸電線路劃分為有限域和無限域,兩種情況的比例邊界有限元計(jì)算示意圖如圖3所示。計(jì)算模型均包括9個(gè)有限域與1個(gè)無限域。

圖3 有無樹木的比例邊界有限元計(jì)算示意圖

Fig.3 Schematic diagram of scaled boundary finite element calculation with tree and without tree

在Ansys14.5中,利用APDL語言快速建立模型,并進(jìn)行網(wǎng)格劃分,網(wǎng)格劃分結(jié)果如圖4所示。根據(jù)比例邊界有限元的原理只選取10個(gè)區(qū)域上的邊界節(jié)點(diǎn)(選取節(jié)點(diǎn)采用的命令流是NSEL、TYPE、 ITEM,、COMP,、WMIN、 VMAX,、VINC、KABS),對(duì)選取的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算,采用輸電線路電場監(jiān)測的標(biāo)準(zhǔn)方法,取距地1.5 m處測量電場強(qiáng)度。

圖4 網(wǎng)格劃分

圖5 輸電線下無樹木時(shí)電場情況

對(duì)空曠地點(diǎn)的超高壓輸輸電線路的電場用SBFEM模擬,如圖5所示,得知場強(qiáng)的分布與距離地面1.5 m處的電場強(qiáng)度曲線,該結(jié)果與大部分文獻(xiàn)的計(jì)算結(jié)果相同,說明該方法可以應(yīng)用于計(jì)算電場,最大值在距線路中心10 m處。對(duì)有樹地點(diǎn)的超高壓輸電線路的電場用SBFEM模擬,如圖6所示。

圖6 輸電線下無樹木時(shí)電場情況

Fig.6 Electric field under transmission line when no trees

對(duì)比圖5和圖6,從距離地面1.5 m處的電場強(qiáng)度曲線看,可知電場強(qiáng)度曲線的走向是一致的。有樹木時(shí),電場強(qiáng)度有很大的削弱。對(duì)于以上現(xiàn)象進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)距地面1.5 m處電場強(qiáng)度變?nèi)跏且驗(yàn)闃涞臉涓珊蜆淙~對(duì)電場能量進(jìn)行吸收,削弱了電場強(qiáng)度。因此,擴(kuò)大種植樹木的范圍可以更好地減小電場強(qiáng)度。擴(kuò)大樹木的范圍后進(jìn)行仿真所得的結(jié)果如圖7所示,與圖6結(jié)果對(duì)比,可以看出電場強(qiáng)度大約減少了1500 V·m,由此得知擴(kuò)大樹木的范圍能削弱電場強(qiáng)度。

圖7 擴(kuò)大樹的范圍時(shí)y=1.5 m處的電場強(qiáng)度曲線

Fig.7 Electric field intensity curve ofy=1.5 m when expanding trees range

5 結(jié) 論

1) 利用比例邊界有限元法對(duì)輸電導(dǎo)線下方的工頻電場進(jìn)行計(jì)算,可以成功應(yīng)用于電場方向并減少了計(jì)算量。

2) 利用比例邊界有限元法對(duì)空曠地點(diǎn)和有樹時(shí)輸電導(dǎo)線下方的工頻電場分別計(jì)算,發(fā)現(xiàn)樹木對(duì)工頻電場具有很強(qiáng)的削弱作用。通過仿真對(duì)比,可知樹木范圍越大,對(duì)電場強(qiáng)度的削弱越強(qiáng)。建議在輸電線走廊附近多植樹,設(shè)立起自然保護(hù)屏障區(qū),有效防止電磁對(duì)環(huán)境的污染。

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(責(zé)任編輯 侯世春)

Analysis of power frequency electric field of EHV transmission lines

SUN Liping, DU Lijuan, ZHOU Hongwei, HE Jie

(Northeast Forestry University, Harbin 150040, China)

Aiming at the strong influence of EHV transmission line on electromagnetic environment, this paper expounds how to calculate power frequency electric field by scaled boundary finite element method, establishes the calculation model for the relevant electric field based on Maxwell’s equations, deduces the scaled boundary finite element equation of power frequency electric field through variational principle based scaled boundary coordinate conversion, and analyzes the power frequency electric field of EHV transmission lines when there are trees and no trees. The result of calculation and simulation shows that scaled boundary finite element method is able to accurately calculate power frequency electric field and to lessen data preparation; trees weaken electric field.

EHV transmission lines; power frequency electric field; modeling; scaled boundary finite element method

2015-02-06。

孫麗萍(1958—),女,教授,研究方向?yàn)殡姶艌龊蛷?fù)雜系統(tǒng)建模與控制。

TM751

A

2095-6843(2015)04-0286-05