改進(jìn)的強(qiáng)跟蹤容積卡爾曼濾波的機(jī)動目標(biāo)跟蹤*1

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改進(jìn)的強(qiáng)跟蹤容積卡爾曼濾波的機(jī)動目標(biāo)跟蹤*1

張恒，高敏,徐超

(軍械工程學(xué)院 導(dǎo)彈工程系，河北 石家莊050003)

摘要：機(jī)動目標(biāo)的跟蹤在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用，其核心問題是機(jī)動建模和濾波算法。采用當(dāng)前統(tǒng)計(jì)模型和容積卡爾曼濾波對機(jī)動目標(biāo)進(jìn)行跟蹤。針對容積卡爾曼濾波在目標(biāo)突發(fā)機(jī)動時跟蹤性能較差的問題，借鑒強(qiáng)跟蹤濾波思想，將漸消因子引入濾波過程，提出了一種改進(jìn)的強(qiáng)跟蹤容積卡爾曼濾波算法，該算法實(shí)現(xiàn)簡單，估計(jì)精度高，魯棒性強(qiáng)。仿真結(jié)果表明，該算法有效增強(qiáng)了系統(tǒng)對目標(biāo)突發(fā)機(jī)動的自適應(yīng)跟蹤能力，并保持了對弱機(jī)動和非機(jī)動目標(biāo)良好的跟蹤性能，且運(yùn)算速度較快。

關(guān)鍵詞：機(jī)動目標(biāo)；當(dāng)前統(tǒng)計(jì)模型；容積卡爾曼濾波；強(qiáng)跟蹤濾波器

0引言

在實(shí)際工程中會面臨各種非線性問題，非線性系統(tǒng)的研究變得越來越重要。作為非線性系統(tǒng)理論的重要研究方向，非線性濾波算法在目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。而目標(biāo)跟蹤在精確制導(dǎo)、智能導(dǎo)航等領(lǐng)域大有用途，因此，深入研究非線性濾波算法，對目標(biāo)跟蹤問題具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

機(jī)動目標(biāo)跟蹤一直是目標(biāo)跟蹤的一個研究重點(diǎn)，主要包括機(jī)動建模和濾波算法兩部分[1]，其主要思想是將目標(biāo)機(jī)動等價為系統(tǒng)狀態(tài)噪聲的加入，并依據(jù)過程噪聲統(tǒng)計(jì)特性建立相應(yīng)的目標(biāo)運(yùn)動模型，然后利用非線性濾波算法進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)[1-2]。根據(jù)對狀態(tài)噪聲統(tǒng)計(jì)特性的不同假設(shè)，提出了不同的機(jī)動模型，其中應(yīng)用較為廣泛的有 Singer 模型、當(dāng)前統(tǒng)計(jì)模型(current statistical model，CS)、Jerk模型、交互式多模型(interacting multiple model，IMM)以及基于機(jī)動檢測的跟蹤算法等?；跈C(jī)動檢測的跟蹤算法存在暫態(tài)誤差和時間滯后等問題[3]；交互式多模型依賴于各個模型的性能以及模型集的選擇，而且對于弱機(jī)動和非機(jī)動目標(biāo)采用IMM算法會造成資源的浪費(fèi)[4]；Jerk模型引入加加速度，可得到對目標(biāo)加速度更精確的估計(jì)，有較高的跟蹤精度，但是在階躍機(jī)動的跟蹤中存在穩(wěn)態(tài)確定性誤差[1,5]，影響了其應(yīng)用；CS模型是對Singer模型的發(fā)展，更關(guān)心目標(biāo)機(jī)動的當(dāng)前統(tǒng)計(jì)特性，能自適應(yīng)地調(diào)整過程噪聲，能夠很好地實(shí)現(xiàn)目標(biāo)自適應(yīng)跟蹤[6]，性能優(yōu)于Singer模型。

非線性濾波問題來源于含噪聲觀測值非線性隨機(jī)系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問題[7]。擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended Kalman filter，EKF)是將非線性函數(shù)進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，取其一階項(xiàng)或二階項(xiàng)，從而將非線性問題線性化，計(jì)算簡單，因而獲得了廣泛的應(yīng)用。而對于強(qiáng)非線性系統(tǒng)，EKF誤差較大，濾波精度降低，甚至引起濾波發(fā)散，而且EKF必須解算雅可比矩陣，增加了解決問題的難度。為了克服上述缺陷，Juiler等人[8]提出了無跡卡爾曼濾波算法(unscented Kalman filter，UKF),該算法采用一組確定權(quán)值的采樣點(diǎn)來逼近非線性分布來解決非線性問題，不需要對非線性系統(tǒng)進(jìn)行線性化，性能優(yōu)于EKF，但是UKF需要對參數(shù)進(jìn)行合理選擇才能取得較好的濾波效果。近年來，Arasaratnam等人[9]提出了一種新穎的非線性濾波算法，容積卡爾曼濾波算法(cubature Kalman filter，CKF)使用基于球面徑向積分準(zhǔn)則的數(shù)值積分方法計(jì)算非線性變換的隨機(jī)變量后的均值和協(xié)方差，CKF算法實(shí)現(xiàn)簡單，濾波精度高。

實(shí)際應(yīng)用中，機(jī)動目標(biāo)很可能出現(xiàn)突變機(jī)動，但是CKF算法在當(dāng)系統(tǒng)處于平穩(wěn)狀態(tài)時，對突變狀態(tài)的自適應(yīng)估計(jì)能力較差。這是由于增益矩陣對預(yù)測殘差突變反應(yīng)滯后造成的[10]。本文將強(qiáng)跟蹤濾波算法[11-12]的思想引入到CKF中，利用漸消因子實(shí)時調(diào)整增益矩陣，從而增強(qiáng)了系統(tǒng)對突變狀態(tài)的自適應(yīng)跟蹤能力。本文利用CS模型對機(jī)動目標(biāo)進(jìn)行建模，然后通過提出的改進(jìn)的強(qiáng)跟蹤容積卡爾曼濾波算法(improved strong tracking cubature Kalman filter，ISTCKF)對機(jī)動目標(biāo)的狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，從而達(dá)到對機(jī)動目標(biāo)的自適應(yīng)跟蹤。

1目標(biāo)跟蹤運(yùn)動模型

當(dāng)前統(tǒng)計(jì)模型是周宏仁[6]于1983年提出來的。該算法采用修正瑞利分布來描述機(jī)動加速度的統(tǒng)計(jì)特性，具有自適應(yīng)零均值的特點(diǎn)，是對Singer模型的發(fā)展改進(jìn)。該模型在對目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)的同時，利用“當(dāng)前”加速度均值實(shí)時地修正加速度分布，并通過方差調(diào)整下一時刻的濾波增益，實(shí)現(xiàn)了閉環(huán)自適應(yīng)跟蹤。

設(shè)目標(biāo)運(yùn)動狀態(tài)方程為

(1)

式中：F(k)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；G(k)為輸入控制矩陣，即

(2)

(3)

W(k)為高斯白噪聲，且其協(xié)方差為

(4)

(5)

amax，a-max分別為目標(biāo)正、負(fù)最大加速度。

2容積卡爾曼濾波與強(qiáng)跟蹤

2.1容積卡爾曼濾波算法

容積卡爾曼濾波(cubature Kalman filter，CKF)算法由高斯域貝葉斯濾波理論推導(dǎo)而來，該理論將非線性濾波轉(zhuǎn)化為非線性函數(shù)和高斯概率密度之乘積的積分求解問題[7]。對于如下積分

I(f)=∫Rnf(x)exp(-xTx)dx，

(6)

式中：Rn為積分域；x為狀態(tài)向量；f(x)為非線性函數(shù)。

CKF算法利用三階球面-徑向容積積分準(zhǔn)則，采用2n個等權(quán)值的容積點(diǎn)ξi來實(shí)現(xiàn)非線性近似，即

(7)

CKF算法流程描述如下：

(1) 時間更新

1) 計(jì)算容積點(diǎn)

(8)

2) 容積點(diǎn)傳播

(9)

3) 狀態(tài)預(yù)測估計(jì)和預(yù)測誤差協(xié)方差

(10)

(11)

(2) 量測更新

1) 計(jì)算容積點(diǎn)

(12)

2) 容積點(diǎn)傳播

Zi,k|k-1=h(Xi,k|k-1,uk).

(13)

3) 量測預(yù)測值估計(jì)，新息協(xié)方差矩陣和交叉協(xié)方差矩陣

(14)

(15)

(16)

4) 卡爾曼增益、狀態(tài)更新方差和協(xié)方差更新方程

(17)

(18)

(19)

2.2強(qiáng)跟蹤

濾波過程中狀態(tài)突變時，過去數(shù)據(jù)對當(dāng)前濾波值影響較大，因此往往不能很好地反應(yīng)當(dāng)前狀態(tài)估計(jì)，很難實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)跟蹤。強(qiáng)跟蹤濾波算法建立在輸出殘差正交性原理之上，其通過引入漸消因子，將包含在殘差序列里的有效信息提取出來，實(shí)時調(diào)整增益矩陣，具有自適應(yīng)跟蹤狀態(tài)變化的能力。強(qiáng)跟蹤濾波器將漸消因子引入到一步預(yù)測協(xié)方差矩陣中，以削減過去數(shù)據(jù)對當(dāng)前濾波值得影響，其漸消因子λk+1計(jì)算方法為

(20)

式中：

(21)

tr(·)表示求矩陣的跡。

(22)

(23)

式中：V0,k+1為殘差協(xié)方差矩陣，且

(24)

3強(qiáng)跟蹤容積卡爾曼濾波

CKF算法雖然實(shí)現(xiàn)簡單、估計(jì)精度高，但是該算法在系統(tǒng)達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)時，對目標(biāo)突變機(jī)動的自適應(yīng)跟蹤能力較差。這是由于系統(tǒng)狀態(tài)平穩(wěn)時，CKF算法的增益矩陣將趨于極小值，當(dāng)狀態(tài)發(fā)生突變時，預(yù)測殘差也發(fā)生較大變化，但此時系統(tǒng)增益矩陣仍保持為極小值，并不會隨殘差的變化而實(shí)時地自適應(yīng)調(diào)整，使增益矩陣達(dá)不到最優(yōu)。利用強(qiáng)跟蹤的思想，將漸消因子引入到CKF算法的一步預(yù)測協(xié)方差矩陣，以削減過去數(shù)據(jù)對當(dāng)前濾波值的影響，從而自適應(yīng)調(diào)整增益矩陣，達(dá)到穩(wěn)定跟蹤的目的。

計(jì)算漸消因子需要計(jì)算雅可比矩陣Φ和Hk+1，但二者無法直接從CKF算法得到，需要加以改進(jìn)，文獻(xiàn)[13]給出了改進(jìn)的漸消因子的求法，如下

(25)

(26)

然而，強(qiáng)跟蹤濾波對狀態(tài)估計(jì)過于依賴量測值，雖然理論上可以得到最優(yōu)估計(jì)，但是由于殘差協(xié)方差矩陣V0,k+1對真實(shí)的殘差方差近似不夠準(zhǔn)確，導(dǎo)致對判定濾波異常的閾值設(shè)置較小，使得濾波增益達(dá)不到最優(yōu)，且其估計(jì)值也不夠平滑[14]。

文獻(xiàn)[14]對改進(jìn)的強(qiáng)跟蹤算法漸消因子引入弱化因子β，將判定濾波異常的閾值提高到βC0,k+1(C0,k+1為濾波殘差)，可大大降低正常工作情況下誤判濾波發(fā)散的概率，同時提高了濾波器的精度。如下：

(27)

(28)

(29)

結(jié)合公式(20)，(21)，(24)即可求得改進(jìn)的漸消因子λk+1，從而將ISTCKF算法中公式(11)預(yù)測誤差協(xié)方差Pk+1|k更新為式(30)即可得到改進(jìn)的強(qiáng)跟蹤容積卡爾曼濾波算法濾波過程。

(30)

4仿真實(shí)驗(yàn)及分析

4.1仿真場景

為了驗(yàn)證本文機(jī)動目標(biāo)跟蹤算法的有效性，本文對階躍機(jī)動和圓機(jī)動以及非機(jī)動進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，并與CKF和UKF算法進(jìn)行了比較。仿真是在直角坐標(biāo)系二維平面內(nèi)進(jìn)行的，x軸和y軸上的量測噪聲均是均值為0、標(biāo)準(zhǔn)偏差為50 m的高斯序列，掃描周期為0.25 s，機(jī)動頻率為0.05。在當(dāng)前統(tǒng)計(jì)模型算法中，最大機(jī)動加速度設(shè)為amax=120 m/s2，仿真次數(shù)為100次。目標(biāo)運(yùn)動軌跡設(shè)定為：目標(biāo)初始在x軸做勻速運(yùn)動，初速200 m/s，隨后以加速度100 m/s2減速為0；在第68～84個掃描區(qū)間，以加速度200 m/s2沿y軸先加速至400 m/s再減速為零；第84～124個掃描區(qū)間沿x軸以加速度100 m/s2加速至300 m/s，隨后保持勻速運(yùn)動；第124～170個掃描區(qū)間，以向心加速度80 m/s2做180°勻速圓機(jī)動；第170～210個掃描區(qū)間，沿x軸保持勻速運(yùn)動；第210～226個掃描區(qū)間，在x軸上以加速度100 m/s2先減速再加速，y軸上以加速度100 m/s2先加速再減速；隨后沿x軸以速度300 m/s保持勻速運(yùn)動。運(yùn)動軌跡如圖1所示。

圖1　目標(biāo)運(yùn)動軌跡Fig.1　Curve of target tracks

4.2仿真結(jié)果及分析

為克服初始狀態(tài)對濾波精度的影響，這里統(tǒng)一假定濾波初始狀態(tài)為

(-5 750,100,0,-800,0,0)T，

為了公平比較各非線性濾波算法，進(jìn)行100次獨(dú)立仿真取其平均。將本文改進(jìn)的強(qiáng)跟蹤容積卡爾曼濾波算法(ISTCKF)與CKF,UKF進(jìn)行比較。圖2表示3種濾波算法的跟蹤軌跡對比。

圖2　3種濾波算法的跟蹤軌跡對比Fig.2　Comparison of tracking curves on　　　three filtering algorithms

由圖2可見，本文提出的ISTCKF跟蹤比CKF和UKF更穩(wěn)定，跟蹤誤差更小，在目標(biāo)非機(jī)動和弱機(jī)動時，ISTCKF保持了較好的跟蹤性能，與CKF相當(dāng)，優(yōu)于UKF，尤其是在狀態(tài)突變的時刻，跟蹤穩(wěn)定，收斂速度更快。同時CKF跟蹤性能略優(yōu)于UKF。為定量比較各非線性濾波算法性能，定義均方根誤差(RMSE)為

(31)

圖3和表1表明本文的ISTCKF算法在各坐標(biāo)方向的濾波誤差明顯小于其他非線性濾波器，尤其表現(xiàn)在目標(biāo)狀態(tài)突變處。CKF的均方誤差性能要好于UKF。同時，也發(fā)現(xiàn)ISTCKF對運(yùn)動目標(biāo)，尤其是階躍機(jī)動目標(biāo)位置和速度具有最強(qiáng)的跟蹤能力，能自適應(yīng)地跟蹤狀態(tài)較大變化，CKF的跟蹤能力與UKF相差不大，CKF略優(yōu)于UKF。

圖3　各方向軸狀態(tài)估計(jì)均方誤差(RMSE)Fig.3　Curves of state estimation RMSE along x-axis and y-axis

算法RMSE均值/mxx·yy·UKF3.96896.33863.81756.8328CKF2.90545.27113.11045.7971ISTCKF2.70484.95682.62275.2166

表2列出了各濾波算法的運(yùn)算時間。從表中可知，ISTCKF的運(yùn)算時間相比CKF略有增加，但對濾波器整體濾波性能影響較小，UKF在3種算法中運(yùn)算時間最短。

表2　各算法運(yùn)行時間

5結(jié)束語

本文主要針對傳統(tǒng)容積卡爾曼濾波在目標(biāo)發(fā)生突變機(jī)動時跟蹤性能下降的問題，借鑒了強(qiáng)跟蹤濾波器的思想，結(jié)合當(dāng)前統(tǒng)計(jì)模型，提出了一種改進(jìn)的強(qiáng)跟蹤容積卡爾曼濾波算法，增強(qiáng)了系統(tǒng)對強(qiáng)機(jī)動的自適應(yīng)跟蹤能力。仿真結(jié)果表明，跟蹤非機(jī)動和弱機(jī)動目標(biāo)時，ISTCKF性能和CKF相當(dāng)，同時優(yōu)于UKF，而跟蹤突發(fā)機(jī)動目標(biāo)時，ISTCKF性能明顯優(yōu)于CKF和UKF，實(shí)現(xiàn)了自適應(yīng)跟蹤。

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Maneuvering Target Tracking Algorithm Based on Improved Strong Tracking Cubature Kalman Filters

ZHANG Heng，GAO Min，XU Chao

(Ordnance Engineering College,Missile Engineering Department,Hebei Shijiazhuang 050003, China)

Abstract:Tracking of maneuvering targets is widely used in practice, and its core issues are system model and filtering algorithm. The current statistical model and cubature Kalman filter are applied to maneuvering target tracking. For the degradation of adaptive tracking performance in sudden maneuvering of targets, an improved strong tracking cubature Kalman filter algorithm is proposed by introducing the fading factor into filtering process learnt from strong tracking filter. The algorithm has a simple implementation, high estimation accuracy and good robustness. The simulation results show that the adaptive tracking performance for the sudden maneuvering of targets is improved effectively and a good tracking performance for weak motion and the nonmaneuverable is maintained by the proposed algorithm, and the arithmetic speed is considerable.

Key words:maneuvering target; current statistical model; cubature Kalman filter; strong tracking filter

中圖分類號：TN953；TP301.6

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1009-086X(2015)-06-0142-06

doi:10.3969/j.issn.1009-086x.2015.06.024

通信地址：050003河北省石家莊市新華區(qū)和平西路97號軍械工程學(xué)院四系E-mail：tszhangheng@163.com

作者簡介：張恒(1990-)，男，河南商丘人。碩士生，主要研究方向?yàn)閺椝幍闹悄芑c信息化技術(shù)。

*收稿日期：2014-08-28；修回日期：2014-10-10