一種平面二自由度并聯(lián)機(jī)器人速度性能與運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)關(guān)系研究

王冰，聶旭萌，韓書葵

(北華航天工業(yè)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，河北廊坊 065000)

一種平面二自由度并聯(lián)機(jī)器人速度性能與運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)關(guān)系研究

王冰，聶旭萌，韓書葵

(北華航天工業(yè)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，河北廊坊 065000)

以一種平面二自由度并聯(lián)機(jī)器人為研究對(duì)象，在已有機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)上，對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種具有較小運(yùn)動(dòng)慣量且可實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)平動(dòng)的新型平面二自由度并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)。不同于已有的研究方法，綜合考慮了機(jī)器人的輸入和機(jī)構(gòu)尺寸作為機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)，應(yīng)用空間模型理論建立了機(jī)器人機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)空間。在設(shè)計(jì)空間內(nèi)計(jì)算機(jī)器人全域速度性能指標(biāo)，繪制了機(jī)器人速度性能圖譜，在此基礎(chǔ)上探討了機(jī)器人速度性能與運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)之間的關(guān)系。結(jié)果表明:速度極小值ηvmin和速度極大值ηvmax隨r1的增大而減小，即r1越小，速度性能越好;隨r2的增大而增大，即r2越大，速度性能越好;在0＜r1≤1.5且0.7≤r2＜1.5的區(qū)域內(nèi)ηvmax和ηvmin值較大，機(jī)器人具有很好的速度性能。速度性能圖譜有助于該機(jī)器人機(jī)構(gòu)的性能評(píng)價(jià)與優(yōu)化設(shè)計(jì)。

并聯(lián)機(jī)器人;設(shè)計(jì)空間;性能圖譜;速度

0 前言

平面二自由度并聯(lián)機(jī)器人是機(jī)器人家族中的重要一員，因其可實(shí)現(xiàn)平面內(nèi)任意軌跡，且具有相對(duì)簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)，吸引了很多學(xué)者的研究興趣。但以往的平面二自由度并聯(lián)機(jī)器人的末端輸出多為平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，而很多時(shí)候希望機(jī)器人的末端為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的平動(dòng)。為了解決上述問(wèn)題，劉辛軍等［1］提出一種移動(dòng)副驅(qū)動(dòng)，支鏈中含平行四邊形機(jī)構(gòu)的平面二自由度并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)，由于平行四邊形機(jī)構(gòu)的存在，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)平臺(tái)可實(shí)現(xiàn)平面內(nèi)平動(dòng)，但該機(jī)器人具有較大橫向尺寸。為了減小此類機(jī)器人的橫向尺寸，李秦川等［2］提出一種交叉型平面二自由度并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)，其將兩個(gè)支鏈的平行四邊形機(jī)構(gòu)交叉鉸接在機(jī)器人運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的兩端。上述發(fā)明的新機(jī)構(gòu)都是將兩支鏈中的平行四邊形機(jī)構(gòu)鉸接在運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的兩端，這樣機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的幾何尺寸會(huì)較大，相應(yīng)的質(zhì)量和運(yùn)動(dòng)慣量會(huì)很大，不利于機(jī)器人實(shí)現(xiàn)高速作業(yè)任務(wù)。

在機(jī)器人機(jī)構(gòu)性能評(píng)價(jià)與優(yōu)化設(shè)計(jì)方面，由于機(jī)器人機(jī)構(gòu)幾何尺寸是具有不同量綱且是由零到無(wú)窮變化的變量，因此如何有效的建立機(jī)器人機(jī)構(gòu)性能與機(jī)構(gòu)尺寸之間的關(guān)系，一直是一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題?？臻g模型理論［3－4］的提出，使這個(gè)問(wèn)題迎刃而解，使在量綱為一且有限的空間內(nèi)探討機(jī)器人機(jī)構(gòu)性能與尺寸關(guān)系成為可能。但機(jī)器人機(jī)構(gòu)的性能不僅僅取決于機(jī)器人機(jī)構(gòu)的幾何尺寸，其也和機(jī)器人的輸入變量的變化范圍關(guān)系密切，因此如何綜合考慮機(jī)器人的輸入與機(jī)構(gòu)幾何尺寸，來(lái)綜合評(píng)價(jià)機(jī)器人機(jī)構(gòu)性能是一個(gè)新的研究問(wèn)題。

文中在已有平面二自由度并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)上，對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)，提出一種具有較小運(yùn)動(dòng)慣量可實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)平動(dòng)的新型平面二自由度并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)。綜合考慮機(jī)器人輸入和機(jī)構(gòu)幾何尺寸作為機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)，進(jìn)一步發(fā)展了空間模型理論，建立了機(jī)器人的設(shè)計(jì)空間。在此基礎(chǔ)上探討了機(jī)器人全域速度性能與運(yùn)動(dòng)參數(shù)之間的關(guān)系，繪制了其速度性能圖譜。

1 位置與速度分析

文中研究的平面二自由度并聯(lián)機(jī)器人的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示，其為對(duì)稱結(jié)構(gòu)，含有兩條相同的支鏈，每一支鏈均由一驅(qū)動(dòng)滑塊和一平行四邊形機(jī)構(gòu)串聯(lián)組成。圖中構(gòu)件3為機(jī)器人機(jī)構(gòu)的固定平臺(tái)，在固定平臺(tái)上建立固定坐標(biāo)系xoy，構(gòu)件B1B2為機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)，在其上建立運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系x'o'y'。構(gòu)件1和2為機(jī)器人機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)滑塊，A1A3B2B1和A2A4B1B2分別為兩個(gè)支鏈的平行四邊形機(jī)構(gòu)。由于平行四邊形機(jī)構(gòu)的存在，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)可實(shí)現(xiàn)平面內(nèi)的二維平動(dòng);因?yàn)閮蓚€(gè)支鏈的平行四邊形機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)平臺(tái)處交叉鉸接在一起，所以該機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)將具有較小的幾何尺寸及較小的運(yùn)動(dòng)慣量。

圖1 平面二自由度并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)

由式 (2)可見(jiàn)，該機(jī)器人位置正解有兩組解，由于該機(jī)器人奇異的存在，這兩組解不能同時(shí)存在，在圖1所示的固定坐標(biāo)系下，應(yīng)選取“－”模式。將式 (1)對(duì)時(shí)間取導(dǎo)數(shù)，可得機(jī)器人的速度方程為

當(dāng)矩陣A的行列式為零，或矩陣B的行列式為零，或它們同時(shí)為零時(shí)，該機(jī)器人將處于奇異位形，其奇異位形如圖2和3所示。

圖2 機(jī)器人的第一種奇異

圖3 機(jī)器人的第二種奇異

機(jī)器人只有在遠(yuǎn)離奇異位形時(shí)才能正常工作，由奇異分析圖2和3可見(jiàn)，該平面二自由度并聯(lián)機(jī)器人在正常工作時(shí)，其驅(qū)動(dòng)滑塊行程與機(jī)器人機(jī)構(gòu)幾何尺寸應(yīng)滿足如下關(guān)系式

式 (8)建立了機(jī)器人驅(qū)動(dòng)滑塊行程與機(jī)器人幾何尺寸之間的聯(lián)系，這使得綜合考慮機(jī)器人輸入與幾何尺寸作為機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)來(lái)評(píng)價(jià)機(jī)器人性能成為可能。

2 機(jī)器人的設(shè)計(jì)空間

高峰和劉辛軍［3－4］提出的空間模型理論，使得在量綱為一且有限的空間內(nèi)探討機(jī)器人機(jī)構(gòu)性能與尺寸關(guān)系成為可能，是機(jī)器人機(jī)構(gòu)性能評(píng)價(jià)與優(yōu)化設(shè)計(jì)的一種有效方法。但機(jī)器人的機(jī)構(gòu)性能不僅僅取決于機(jī)器人的幾何尺寸，其也和機(jī)器人的位置和姿態(tài)密不可分，而機(jī)器人末端的位姿恰恰對(duì)應(yīng)著機(jī)器人的輸入，位置正解式 (2)建立了二者之間的聯(lián)系。因此，綜合考慮機(jī)器人的輸入與幾何尺寸，將它們作為運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)，將它們量綱一化，建立機(jī)器人的設(shè)計(jì)空間，將使得更為全面而系統(tǒng)的探討機(jī)器人機(jī)構(gòu)性能與運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)之間的關(guān)系成為可能。為此，將機(jī)器人的實(shí)際物理參數(shù)無(wú)量綱化，令

由式 (11)和 (12)，分別以 r1、r2和r3為坐標(biāo)，可得該機(jī)器人的設(shè)計(jì)空間如圖4所示的菱形ABCD。

圖4 機(jī)器人的設(shè)計(jì)空間

為了便于設(shè)計(jì)空間的可讀和可用，需將設(shè)計(jì)空間轉(zhuǎn)化到熟悉的二維平面內(nèi)，即設(shè)計(jì)空間的平面圖，如圖5所示。

圖5 機(jī)器人設(shè)計(jì)空間的平面圖

在圖5中3個(gè)無(wú)量綱參數(shù)r1、r2和r3與二維平面坐標(biāo)x和y的對(duì)應(yīng)關(guān)系為

設(shè)計(jì)空間內(nèi)每一點(diǎn) (如圖5中點(diǎn)p)都唯一對(duì)應(yīng)一組無(wú)量綱機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系使得在設(shè)計(jì)空間內(nèi)探討機(jī)器人機(jī)構(gòu)性能與運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)成為可能。只要將機(jī)器人機(jī)構(gòu)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)以數(shù)值的形式體現(xiàn)在設(shè)計(jì)空間內(nèi)，就可得到機(jī)器人的性能圖譜，這些圖譜將是機(jī)器人性能評(píng)價(jià)與優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。

3 全域速度性能圖譜

機(jī)器人末端的輸出速度是機(jī)器人的主要性能指標(biāo)之一，文獻(xiàn)［3－6］將其列為機(jī)器人機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的基本要求之一。為全面衡量機(jī)器人在整個(gè)工作空間內(nèi)的速度性能，采用全域速度性能指標(biāo)來(lái)度量機(jī)器人的速度性能，全域速度性能指標(biāo)為:

這里矩陣J為機(jī)器人的速度雅可比矩陣，其體現(xiàn)了輸入速度到輸出速度的映射關(guān)系，是機(jī)器人的廣義傳動(dòng)比。σvmax為速度雅可比矩陣J的最大奇異值，σvmin為速度雅可比矩陣J的最小奇異值，w為機(jī)器人的可達(dá)工作空間。ηvmax為全域速度極大值指標(biāo)，ηvmin為全域速度極小值指標(biāo)，ηvmax和ηvmin的值越大，則機(jī)器人的速度性能越好，機(jī)器人輸入較小的速度，機(jī)器人末端將有較大的速度響應(yīng)。

由式 (14)— (16)，在設(shè)計(jì)空間內(nèi)計(jì)算ηvmax和ηvmin的值，可得機(jī)器人的速度性能圖譜如圖6和7所示，其中圖6為速度極大值ηvmax性能圖譜，圖7為速度極小值ηvmin性能圖譜。

圖6 速度極大值性能圖譜

圖7 速度極小值性能圖譜

由圖6和7可知:速度極小值ηvmin和速度極大值ηvmax隨r1的增大而減小，即r1越小，速度性能越好;速度極小值ηvmin和速度極大值ηvmax隨r2的增大而增大，即r2越大，速度性能越好;在0＜r1≤1.5且0.7≤r2＜1.5的區(qū)域內(nèi)ηvmax和ηvmin值較大，機(jī)器人具有很好的速度性能。

4 結(jié)束語(yǔ)

文中對(duì)一種平面二自由度并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)與機(jī)器人機(jī)構(gòu)速度性能進(jìn)行了探討，得到了平面二自由度并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的速度性能圖譜。這只是機(jī)器人機(jī)構(gòu)性能評(píng)價(jià)的一個(gè)方面，想要對(duì)其性能進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，還要兼顧其靈巧性、剛度、精度、承載能力及加速度性能等性能評(píng)價(jià)指標(biāo)與機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)關(guān)系的研究，這將是今后努力的方向。

［1］LIU Xinjun，JEONG Jayil，KIM Jongwon，et al.A New Planar Two-Degree-of-Freedom Parallel Mechanism［C］.Pro2-ceeding of the 11thWord Congressin Mechanism and Machine Science，Tianjin，China，2004［C］.Beijing，China MachinePress，2004，3:1214 －1218.

［2］李秦川，陳志，韓陽(yáng)，等.交叉型二自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu):CN101804629B［P］.2011 －06 －05.

［3］GAO Feng，LIU Xinjun，GRUVERL William A.Performance Evaluation of Two-degree-of-freedom Planar Parallel Robots［J］.Mechanism and Machine Theory，1998，33(6):661－668.

［4］劉辛軍.并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)尺寸與性能關(guān)系分析及其設(shè)計(jì)理論研究［D］.秦皇島:燕山大學(xué)，1999.

［5］LIU Xinjun，WANG Jinsong，Pritschow G.Performance Atlases and Optimum Design of Planar5R Symmetrical Parallel Mechanisms［J］.Mechanism and Machine Theory，2006，41:119 －144.

［6］張立杰.兩自由度并聯(lián)機(jī)器人的性能分析及尺寸優(yōu)化［D］.秦皇島:燕山大學(xué)，2006.

Study of the Relationship Between Velocity Performance and Kinematics Parameters of a Planar Two Degree-of-freedom Parallel Manipulator

WANG Bing，NIE Xumeng，HAN Shukui
(School of Mechanical and Electrical Engineering，North China Institute of Aerospace Engineering，Langfang Hebei065000，China)

Based on the existingmechanisms，a new kind of two degree-of-freedom planar parallelmanipulatorwith planar translationalmotion and small inertiawas improved and taken as the objectof study.Unlike the traditional studymethod，notonly the geometric parameters but also the input of themanipulator are consider as the kinematics parameters，and the design space was obtained by utilizing the theory of geometricmodel of the solution space.The global velocity indiceswere calculated in the design space，the velocity atlases of themanipulator were plotted，and the relationship between the velocity and the kinematics parameters of themanipulator was discussed.The results show that:theminimum andmaximum velocity indexes ηvminand ηvmaxare inverse to r1，that is r1is shorter，the velocity performance is better;The ηvminand ηvmaxare proportional to r2，that is r2is longer，the velocity performance is better;While 0＜r1≤1.5 and 0.7≤r2＜1.5，the velocity performance of the parallelmanipulator is better.The atlases are very useful for performance evaluation and optimum design of themanipulator.

Parallelmanipulator;Design space;Performance atlases;Velocity

TP242

A

1001－3881(2015)21－046－4

10.3969/j.issn.1001 －3881.2015.21.010

2014－07－25

河北省高等學(xué)?？茖W(xué)技術(shù)研究青年基金資助項(xiàng)目 (Q2012059);河北省科技支撐計(jì)劃項(xiàng)目 (13211824)

王冰 (1976—)，男，博士，副教授，研究方向?yàn)闄C(jī)構(gòu)學(xué)與機(jī)器人學(xué)。E－mail:wbrobot@163.com。