貝葉斯層次模型在嵌套結(jié)構(gòu)調(diào)查數(shù)據(jù)中的應(yīng)用研究*

重慶醫(yī)科大學(xué)公共衛(wèi)生與管理學(xué)院衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)學(xué)教研室（400016） 文 雯 文小焱 胡 珊 彭 斌

貝葉斯層次模型在嵌套結(jié)構(gòu)調(diào)查數(shù)據(jù)中的應(yīng)用研究*

重慶醫(yī)科大學(xué)公共衛(wèi)生與管理學(xué)院衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)學(xué)教研室（400016） 文 雯 文小焱 胡 珊 彭 斌△

目的針對(duì)分層抽樣流行病調(diào)查數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，構(gòu)建兩種基于分層嵌套思想的貝葉斯層次模型，并探討其優(yōu)缺點(diǎn)。方法以貝葉斯層次模型為基礎(chǔ)，利用嵌套結(jié)構(gòu)中的層級(jí)關(guān)系構(gòu)建模型，其中，模型一以嵌套層效應(yīng)分解為特點(diǎn)構(gòu)建，模型二以嵌套層效應(yīng)逐級(jí)傳遞為特點(diǎn)構(gòu)建。以重慶市出生缺陷調(diào)查數(shù)據(jù)為例，采用OpenBUGS軟件進(jìn)行模型擬合及分析。結(jié)果以偏差信息準(zhǔn)則（deviance information criterion，DIC）作為擬合優(yōu)度評(píng)價(jià)，模型一和模型二的DIC值分別為101.8和101.6，大致相等；敏感性分析顯示，在總體率的超參數(shù)μ設(shè)置不同先驗(yàn)信息下，模型一和模型二對(duì)總效應(yīng)估計(jì)的變異性分別為（用標(biāo)準(zhǔn)差度量，10－4）：后驗(yàn)均數(shù)1.191和27.546；后驗(yàn)中位數(shù)1.038和7.617，模型一的變異性比模型二小。結(jié)論模型一和模型二均可用于嵌套結(jié)構(gòu)的調(diào)查數(shù)據(jù)建模分析及預(yù)測(cè)，擬合效果相當(dāng)；但模型一比模型二受先驗(yàn)信息影響小，穩(wěn)健性更好，更適合先驗(yàn)信息欠缺時(shí)的數(shù)據(jù)分析。

嵌套結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù) 分層抽樣 貝葉斯層次模型 OpenBUGS

隨著馬爾科夫鏈蒙特卡洛（Markov chain Monte carlo，MCMC）方法的不斷成熟以及計(jì)算機(jī)軟件的快速發(fā)展，貝葉斯統(tǒng)計(jì)方法被越來越多地用于科學(xué)研究和數(shù)據(jù)處理［1］。與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法不同，貝葉斯統(tǒng)計(jì)方法將未知參數(shù)看作隨機(jī)變量，用一個(gè)概率分布去描述，稱為先驗(yàn)分布。傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)用樣本信息和總體信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，而貝葉斯方法則利用樣本信息、總體信息及先驗(yàn)信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷［2］。當(dāng)有先驗(yàn)信息可以利用時(shí)，采用貝葉斯方法可以得到更好的估計(jì)結(jié)果［3］。貝葉斯層次模型是在貝葉斯理論的基礎(chǔ)上通過構(gòu)造多層先驗(yàn)分布將模型以多層次的形式表現(xiàn)出來，即當(dāng)參數(shù)的先驗(yàn)分布含有超參數(shù)時(shí)，對(duì)超參數(shù)再給出一個(gè)先驗(yàn)，稱為超先驗(yàn)。由先驗(yàn)和超先驗(yàn)共同構(gòu)建的層次先驗(yàn)作為模型的新先驗(yàn)，并采用貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷方法對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。這種方式構(gòu)造的先驗(yàn)性質(zhì)穩(wěn)健，是社會(huì)科學(xué)研究領(lǐng)域廣泛使用的建模方法之一［4－5］。嵌套結(jié)構(gòu)是利用分層的思想將研究對(duì)象逐步劃分成若干層，每一次劃分都是建立在上一次分層的基礎(chǔ)上，形成一層套一層類似蜂巢的結(jié)構(gòu)。本文則是將這種思想應(yīng)用于分層隨機(jī)抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)的建模分析，利用多層貝葉斯統(tǒng)計(jì)方法，構(gòu)建適應(yīng)嵌套結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)的層次貝葉斯模型，并探討模型在該類型數(shù)據(jù)中的應(yīng)用。

貝葉斯層次模型構(gòu)建

1.抽樣調(diào)查研究數(shù)據(jù)的嵌套結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

在抽樣調(diào)查研究中，經(jīng)常會(huì)選擇分層隨機(jī)抽樣方法，即將調(diào)查總體（N）按其屬性特征劃分成若干層，然后在每個(gè)層中進(jìn)行隨機(jī)抽樣。有時(shí)為了樣本的代表性和實(shí)際需要，可進(jìn)行多次分層，即在上一級(jí)分層基礎(chǔ)上進(jìn)行再分層，形成一層套一層的嵌套結(jié)構(gòu)［6］。

2.構(gòu)建貝葉斯層次模型

根據(jù)抽樣調(diào)查研究數(shù)據(jù)的嵌套結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，對(duì)嵌套結(jié)構(gòu)的每一層構(gòu)建模型。下面以三層嵌套結(jié)構(gòu)為例，闡述構(gòu)建估計(jì)總體陽(yáng)性率的貝葉斯層次模型的思路及具體方法。

模型一：基于廣義線性模型的各嵌套層效應(yīng)分解加成模型，簡(jiǎn)稱效應(yīng)分解加成模型。該模型以分層效應(yīng)作為各嵌套層效應(yīng)差別的主要原因，各嵌套層某分層單元的總效應(yīng)等于其上一層總效應(yīng)與該層分層效應(yīng)之和。三層嵌套結(jié)構(gòu)下各層所對(duì)應(yīng)的效應(yīng)模型分別為：

（1）～（4）式中，θ0表示總體陽(yáng)性率，μ0為總體陽(yáng)性率對(duì)應(yīng)的平均效應(yīng)；αi表示第一層第i分層單元的效應(yīng)，且表示嵌套于第一層第i分層單元下第二層第j分層單元的效應(yīng)，且γi（j（k））表示嵌套于第一層第i分層單元第二層第j分層單元下第三層第k分層單元的效應(yīng)，且＝0。θi、θi（j）、θi（j（k））分別為相應(yīng)嵌套層的總體陽(yáng)性率。實(shí)際中，只需要擬合（4）式的模型即可估計(jì)出各層的參數(shù)。

模型參數(shù)的先驗(yàn)信息設(shè)定：μ0作為總體陽(yáng)性率的平均效應(yīng)，本文假設(shè)其服從均值為μ的正態(tài)分布，即μ0～norm（u，δ2）；α、β、γ作為各嵌套層的效應(yīng)，可假設(shè)其服從均值為0的正態(tài)分布。

模型超參數(shù)設(shè)定：μ一般設(shè)定為正態(tài)分布或均勻分布，其均值可根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或文獻(xiàn)資料確定；方差先驗(yàn)通常設(shè)置為逆伽瑪分布（inverse gamma distribution）［7］，即方差的倒數(shù)（精度參數(shù)τ）服從伽瑪分布τ～G（r，mu）。當(dāng)沒有方差先驗(yàn)信息可以利用時(shí)，通常需要將方差成分設(shè)置得足夠大，例如106，精度系數(shù)趨于0，此時(shí)的（逆）伽瑪分布就等價(jià)于一個(gè)無信息先驗(yàn)分布。

模型二：基于廣義線性模型的各嵌套層效應(yīng)逐級(jí)傳遞模型，簡(jiǎn)稱效應(yīng)逐級(jí)傳遞模型。該模型以各嵌套層效應(yīng)僅受其上一層效應(yīng)影響為出發(fā)點(diǎn)，各嵌套層間的嵌套關(guān)系通過層次先驗(yàn)來反映。前述三層嵌套結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的效應(yīng)模型為：

（5）～（8）式中，θ0、θi、θi（j）、θi（j（k））、μ0含義與模型一相同；μi為第一層第i分層單元的總效應(yīng)；μi（j）為嵌套于第一層第i分層單元下第二層第j分層單元的總效應(yīng)；μi（j（k））為嵌套于第一層第i分層單元第二層第j單元下第三層第k單元的總效應(yīng)。

模型參數(shù)的先驗(yàn)信息設(shè)定：根據(jù)該模型構(gòu)建思路，可假設(shè)每一嵌套層的效應(yīng)服從以其上一級(jí)的效應(yīng)為均值的正態(tài)分布［8］。即

模型超參數(shù)設(shè)定：與模型一類似，可根據(jù)先驗(yàn)信息對(duì)超參數(shù)μ設(shè)定一個(gè)正態(tài)分布或均勻分布，方差均采用無信息先驗(yàn)分布。

實(shí)例分析

1.資料來源

數(shù)據(jù)來源于2010年重慶市0～5歲兒童出生缺陷基線調(diào)查。該研究采用多階段分層隨機(jī)抽樣，第一階段根據(jù)重慶市“一圈兩翼”發(fā)展戰(zhàn)略將全部40個(gè)區(qū)縣劃分為“一小時(shí)經(jīng)濟(jì)圈”、“渝東北翼”和“渝東南翼”三個(gè)經(jīng)濟(jì)區(qū)，第二階段以區(qū)縣為單位，按比例從三個(gè)經(jīng)濟(jì)區(qū)總共隨機(jī)抽取16個(gè)區(qū)縣作為調(diào)查點(diǎn)。

2.建立兩層嵌套結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)的貝葉斯層次模型

重慶市0～5歲兒童出生缺陷基線調(diào)查數(shù)據(jù)可視為兩層嵌套結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)，即將重慶市（θ0）按照“一圈兩翼”劃分的三個(gè)經(jīng)濟(jì)區(qū)（θi）作為第一層嵌套，每個(gè)經(jīng)濟(jì)區(qū)按比例抽取出的區(qū)縣（θi（j））作為第二層嵌套。設(shè)每個(gè)調(diào)查區(qū)縣0～5歲兒童調(diào)查人數(shù)為ni（j），出生缺陷人數(shù)為xi（j），則可假設(shè)其服從二項(xiàng)分布，即

根據(jù)前面介紹的貝葉斯層次模型構(gòu)建方法，對(duì)應(yīng)的兩類模型分別為：

模型一（效應(yīng)分解加成模型）：

模型二（效應(yīng)逐級(jí)傳遞模型）：

通過文獻(xiàn)查閱，我國(guó)每年新增的先天殘疾和智力缺陷兒童總數(shù)高達(dá)120萬，約占每年出生人口的4%～6%［9－10］，鑒于重慶市歷年來通過醫(yī)院監(jiān)測(cè)到的圍產(chǎn)兒出生缺陷發(fā)生率均在1%左右［11－12］，而以醫(yī)院為基礎(chǔ)的監(jiān)測(cè)方法由于研究對(duì)象受限以及篩查工作的不完善，統(tǒng)計(jì)出的出生缺陷發(fā)生率通常要比實(shí)際情況低。因此，本文認(rèn)為總體出生缺陷發(fā)生率很可能介于1%～6%之間，其對(duì)應(yīng)的u值范圍為－4.595～－2.752（根據(jù)logit（θ）＝u推算），故可假設(shè)μ服從－4.595～－2.752之間的均勻分布，即μ～uniform（－4.595，－2.752）。方差先驗(yàn)采用逆伽瑪分布，比較常用的設(shè)置有r＝mu＝0.001［13－14］或r＝mu＝1、r＝mu＝0.1、r＝mu＝0.01［15］或r＝0.5，mu＝0.005［16］，本文對(duì)以上設(shè)置進(jìn)行了模擬研究，發(fā)現(xiàn)模型一和模型二在r＝mu＝0.01時(shí)相對(duì)較優(yōu)。因此，本研究的方差先驗(yàn)采用τ～G（0.01，0.01）。

3.敏感性分析

敏感性分析是為了評(píng)估不同先驗(yàn)分布對(duì)模型后驗(yàn)的影響，即考察模型的穩(wěn)健性（robustness）。當(dāng)有可利用的先驗(yàn)信息時(shí)，敏感性分析主要考察先驗(yàn)分布的設(shè)置對(duì)模型后驗(yàn)的影響，當(dāng)無信息先驗(yàn)被利用時(shí)，則主要考察不同無信息先驗(yàn)的選擇對(duì)模型后驗(yàn)的影響［17］。鑒于本文所構(gòu)建的模型中參數(shù)較多，且兩種先驗(yàn)均有利用，因此本文選取對(duì)模型影響較大的超參數(shù)μ以及采用無信息先驗(yàn)的方差進(jìn)行敏感性分析。

超參數(shù)μ在模型一和模型二中均表示總體效應(yīng)μ0的先驗(yàn)均值，本文通過考查總體出生缺陷率θ0的先驗(yàn)信息將超參數(shù)μ設(shè)置如下五組先驗(yàn)范圍：（1）通過經(jīng)驗(yàn)和歷史數(shù)據(jù)估計(jì)重慶市θ0的可能范圍為1%～6%；（2）將（1）中設(shè)置的范圍擴(kuò)大到0.1%～20%，即理論上大多數(shù)地區(qū)出生缺陷發(fā)生率均在此范圍；（3）設(shè)置一個(gè)與（1）無交叉，取值較小且包含于（2）中的范圍：0.1%～1%；（4）設(shè)置一個(gè)與（1）無交叉，取值較大且包含于（2）中的范圍：10%～20%；（5）設(shè)置一個(gè)無信息先驗(yàn)，即0%～100%。上述范圍對(duì)應(yīng)的超參數(shù)μ的先驗(yàn)分別為（1）μ～unif（－4.595，－2.752）（θ0介于1%～6%的均勻分布）；（2）μ～unif（－6.907，－1.386）（θ0介于0.1%～20%的均勻分布）；（3）μ～ unif（－6.907，－4.595）（θ0介于0.1%～1%的均勻分布）；（4）μ～unif（－2.197，－1.386）（θ0介于10%～20%的均勻分布）；（5）μ～unif（－10，10）（θ0介于0%～100%的均勻分布，即無信息均勻分布）。

將各種先驗(yàn)設(shè)置下參數(shù)的估計(jì)值與無信息先驗(yàn)下參數(shù)的估計(jì)值進(jìn)行比較，以考察模型對(duì)超參數(shù)μ先驗(yàn)設(shè)置的穩(wěn)健性。

4.模型擬合及診斷

所有模型均在OpenBUGS 3.2.2中運(yùn)行，參數(shù)估計(jì)采用MCMC。平行模擬初始值不同的兩條鏈，以克服不同初始值對(duì)模型的影響；采用Gelman-Rubin統(tǒng)計(jì)量目測(cè)各參數(shù)的迭代時(shí)序圖，以評(píng)判模型是否收斂；模型穩(wěn)定后迭代20000次用于參數(shù)估計(jì)和DIC的計(jì)算［17］。

5.結(jié)果及比較

（1）出生缺陷率的估計(jì)

以后驗(yàn)中位數(shù)作為出生缺陷率的點(diǎn)估計(jì)值，模型一和模型二的估計(jì)值分別為39.75‰和39.00‰，估計(jì)結(jié)果非常接近。模型一與模型二的DIC值分別為101.8和101.6，基本相等，說明兩個(gè)模型擬合效果相當(dāng)（表1）。此外，按照傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算的出生缺陷率為37.92‰，模型一與模型二對(duì)全市出生缺陷率的估計(jì)值略高于傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)方法的估計(jì)結(jié)果。

表1 出生缺陷發(fā)生率估計(jì)值（‰）及DIC值比較結(jié)果

（2）超參數(shù)μ不同先驗(yàn)的敏感性分析

由于模型一和模型二中參數(shù)較多，為了便于對(duì)比，本文僅選取了主要參數(shù)θ0的估計(jì)值（包括后驗(yàn)均值和后驗(yàn)中位數(shù)）進(jìn)行呈現(xiàn)（表2）。與無信息先驗(yàn)相比，當(dāng)先驗(yàn)設(shè)置為0.1%～1%時(shí)，模型一和模型二θ0估計(jì)值均較小，后驗(yàn)均數(shù)及后驗(yàn)中位數(shù)的差值（10－4）分別為－0.6和－0.5（模型一）、－25.2和－7.1（模型二）；當(dāng)先驗(yàn)設(shè)置為10%～20%時(shí)，模型一和模型二θ0估計(jì)值均較大，差值（10－4）分別為2.4和2.1（模型一）、43.2和13.5（模型二）。從標(biāo)準(zhǔn)差這一角度看，模型一各先驗(yàn)設(shè)置對(duì)應(yīng)參數(shù)θ0的后驗(yàn)均值和后驗(yàn)中位數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差（10－4）分別為1.191和1.038，差別不大；模型二分別為27.546和7.617，差別較大，但后驗(yàn)中位數(shù)較后驗(yàn)均值更穩(wěn)定。可以看出，兩個(gè)模型后驗(yàn)估計(jì)值均在一定程度上受到先驗(yàn)信息的影響，但模型一在各種先驗(yàn)下的后驗(yàn)均值與后驗(yàn)中位數(shù)基本相等，且變異較小，模型表現(xiàn)穩(wěn)健。模型二則受到不同先驗(yàn)設(shè)置的影響，參數(shù)估計(jì)值變異較大，欠穩(wěn)定，尤其是后驗(yàn)均值受先驗(yàn)信息影響更明顯。

表2 超參數(shù)μ不同先驗(yàn)的敏感性分析結(jié)果

（3）方差先驗(yàn)的敏感性分析

對(duì)模型一和模型二采用前述5種方差先驗(yàn)進(jìn)行擬合度的敏感性分析。結(jié)果顯示（表3）五種方差先驗(yàn)信息下，模型一或模型二的DIC值相差均不明顯。因此，模型一和模型二對(duì)方差先驗(yàn)表現(xiàn)穩(wěn)健?？紤]到先驗(yàn)IG（0.01，0.01）在兩個(gè)模型中的DIC值均較小，故選擇該先驗(yàn)作為模型擬合時(shí)的方差先驗(yàn)。

表3 五種方差先驗(yàn)下的模型DIC值

討 論

在抽樣調(diào)查研究中，采用分層隨機(jī)抽樣方法獲取的數(shù)據(jù)具有一層套一層的嵌套結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。本研究通過分析數(shù)據(jù)的嵌套結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，構(gòu)建了兩個(gè)基于嵌套結(jié)構(gòu)的貝葉斯層次模型：模型一（效應(yīng)分解加成模型）和模型二（效應(yīng)逐級(jí)傳遞模型），并利用重慶市出生缺陷調(diào)查數(shù)據(jù)，分析比較兩個(gè)模型的優(yōu)缺點(diǎn)。研究結(jié)果顯示，模型一和模型二在擬合優(yōu)度方面相差不大，模型二的DIC值略小于模型一，提示兩個(gè)模型均能較好地?cái)M合數(shù)據(jù)；穩(wěn)健性方面，模型一具有較好的穩(wěn)鍵性，模型二穩(wěn)健性較差，尤其是后驗(yàn)均值極易受μ先驗(yàn)分布影響。另外，從模型的潛力看，模型一將各嵌套層的分層效應(yīng)從該層總效應(yīng)中分解出來，作為各嵌套層不同分層單元陽(yáng)性率差異的主要原因，有利于探討模型的內(nèi)在結(jié)構(gòu)及各層的效應(yīng)貢獻(xiàn)。在實(shí)例分析中，分層效應(yīng)是由于區(qū)域間的地理位置差異造成，若是將地理位置細(xì)化（空間效應(yīng)），或是考慮更多相關(guān)影響因素（如時(shí)間效應(yīng)、經(jīng)濟(jì)效應(yīng)等），將會(huì)提高模型預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性［17］。模型二則是在各層的總效應(yīng)水平上，通過構(gòu)造各參數(shù)先驗(yàn)分布的嵌套關(guān)系進(jìn)行模型構(gòu)建，下一嵌套層的效應(yīng)僅依賴于其上一層的效應(yīng)，且通過逐級(jí)隨機(jī)傳遞的方式進(jìn)行影響，其獨(dú)特的層次先驗(yàn)結(jié)構(gòu)使模型得以簡(jiǎn)化的同時(shí)，失去了繼續(xù)優(yōu)化的可能。

關(guān)于超參數(shù)μ先驗(yàn)分布的選擇，如果可以通過經(jīng)驗(yàn)和文獻(xiàn)資料收集到關(guān)于μ0充分的先驗(yàn)信息，則可利用這些信息確定μ值或其先驗(yàn)分布；若缺乏μ0的相關(guān)信息，則可根據(jù)研究具體情況選擇一個(gè)合理范圍的均勻分布或無信息先驗(yàn)。本文不建議在μ0無先驗(yàn)信息可利用的情況下對(duì)μ直接賦值0，即μ0～norm（0，δ2）這相當(dāng)于將陽(yáng)性率θ0默認(rèn)設(shè)置為50%。由于模型一和模型二均受μ0先驗(yàn)的影響，尤其是模型二，這將會(huì)導(dǎo)致模型中主要參數(shù)估計(jì)過高。

綜上所述，當(dāng)有合理的先驗(yàn)信息（如合理的μ值范圍）可利用時(shí)，模型一與模型二均能應(yīng)用于嵌套結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)建模分析及預(yù)測(cè)；但當(dāng)先驗(yàn)信息不明確或欠缺時(shí)，考慮到模型二對(duì)先驗(yàn)信息過于敏感，選擇模型一會(huì)更恰當(dāng)，且模型一可通過細(xì)化分層效應(yīng)以達(dá)到提高模型預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性的目的。

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（責(zé)任編輯：劉壯）

Application of Hierarchical Bayesian Model for Nested Structural Epidemiological Data

Wen Wen，Wen Xiaoyan，Hu Shan，et al.（Department of Health Statistics，School of Public Health and Management，Chongqing Medical University（400016），Chongqing）

ObjectiveTo develop two hierarchical Bayesian models for the epidemiological data with focusing on its nested structure；as well as to explore the pros and cons of them.MethodsRelationships among nested layers of nested structural data are taken into account when developing the two hierarchical Bayesian models.The first model focuses on the stratification effect of each nested layer for differentiation between the layers.The second model focuses on the transmission effect between the father layer and its son layers.Open BUGS software and a birth defects survey data were used to fit and evaluate the two hierarchical Bayesian models；and the deviance information criterion（DIC）was used for measuring the goodness-of-fit of them.A sensitivity analysis was conducted with different sets of prior information on hyper parameter of the population rateμ.ResultsThe DIC of the two models are 101.8 and 101.6，respectively，which shows almost the same goodness-of-fit of them.The sensitivity analysis shows that the standard deviation of the two models for the posterior mean of estimated population rate are（10－4）1.191and 27.546，respectively，for the posterior median of them are（10－4）1.038 and 7.617，respectively.Both results of posterior mean and posterior median say that the first model has smaller standard deviation under different prior information scenario.ConclusionBoth models can be used to model nested structural epidemiological data.However，the first model is affected by prior information much less than the second model does.Thus，the first model is more stable and is better to model nested structural survey data when little prior information is available.

Nested structural data；Stratified sampling；Hierarchical Bayesian model；OpenBUGS

國(guó)家自然科學(xué)基金（81373103）、重慶市科委基礎(chǔ)與前沿研究計(jì)劃項(xiàng)目（cstc2013jcyjA10009）

△通信作者：彭斌，Email：pengbin＠cqmu.edu.cn