任意壽命分布下k/N(G)系統(tǒng)定時(shí)維修決策模型*

盧雷，楊江平

(空軍預(yù)警學(xué)院，湖北 武漢　430019)

?

任意壽命分布下k/N(G)系統(tǒng)定時(shí)維修決策模型*

盧雷，楊江平

(空軍預(yù)警學(xué)院，湖北 武漢430019)

摘要：針對(duì)大型k/N(G)系統(tǒng)維修保障特點(diǎn)，提出了一種定時(shí)維修策略。以系統(tǒng)使用可用度為約束條件，以系統(tǒng)期望維修費(fèi)用率最小化為優(yōu)化目標(biāo)，建立了任意壽命分布下k/N(G)系統(tǒng)定時(shí)維修優(yōu)化模型，并提出了一種求解模型的數(shù)值迭代算法。實(shí)例分析表明，該模型既能計(jì)算定時(shí)維修策略下k/N(G)系統(tǒng)使用可用度和期望維修費(fèi)用率，又能確定最佳的定時(shí)維修間隔期和最佳的換件維修人數(shù)，可為k/N(G)系統(tǒng)預(yù)防性維修提供決策支持。

關(guān)鍵詞：冗余系統(tǒng)；定時(shí)維修；壽命分布；可用度；維修費(fèi)用率

0引言

為滿足高可用度和高可靠性的要求，大型復(fù)雜裝備如艦船、相控陣?yán)走_(dá)中越來(lái)越多地使用大型k/N(G)系統(tǒng)，例如某型艦載雷達(dá)的4個(gè)天線陣面均可視為一個(gè)3 000取2 700的k/N(G)系統(tǒng)。與其他系統(tǒng)相比，大型k/N(G)系統(tǒng)在維修保障方面具有系統(tǒng)龐大、設(shè)備量多、維修任務(wù)重等特點(diǎn)。對(duì)于這一類系統(tǒng)，科學(xué)合理的預(yù)防性維修策略將使系統(tǒng)的保障工作簡(jiǎn)單、工作量少、保障費(fèi)用低，并使系統(tǒng)達(dá)到較高的戰(zhàn)備完好性水平。針對(duì)這類系統(tǒng)，文獻(xiàn)[1-2]研究了部件故障后立即送修這一策略下k/N(G)系統(tǒng)使用可用度模型，部件故障后立即送修策略適用于部件總數(shù)較小的k/N系統(tǒng)。對(duì)于部件總數(shù)很大的k/N系統(tǒng)，如900/1 000(G)系統(tǒng)，若采用這一策略，則會(huì)使系統(tǒng)停機(jī)時(shí)間增加，維修工作量增大?？紤]到部件之間存在的維修相關(guān)性，多部件成組維修近來(lái)受到較多關(guān)注。文獻(xiàn)[3]提出了一種D維修策略，D維修策略是指當(dāng)系統(tǒng)中因部件故障引起的維修工作量超過(guò)門限D(zhuǎn)時(shí)才開始對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行維修，并以系統(tǒng)期望費(fèi)用利潤(rùn)率最大為準(zhǔn)則求取最優(yōu)的D值，但該策略的前提假設(shè)為部件壽命服從指數(shù)分布，且維修人員數(shù)量為1。文獻(xiàn)[4-5]將k/N(G)系統(tǒng)在一個(gè)預(yù)防維護(hù)周期內(nèi)的故障分為2類，第1類系統(tǒng)故障是指系統(tǒng)發(fā)生失效的部件數(shù)小于k，第2類系統(tǒng)故障是指系統(tǒng)發(fā)生失效的部件數(shù)大于k，對(duì)于2類故障分別采用小修處理和完全替換處理，但該策略中小修次數(shù)較多，維修任務(wù)量大，可操作性不強(qiáng)。文獻(xiàn)[6-8]建立了m視情維修策略下k/N(G)系統(tǒng)的使用可用度模型，分析了維修策略參數(shù)m、初始備件數(shù)量以及維修人員數(shù)量對(duì)系統(tǒng)使用可用度的影響，m維修策略是指當(dāng)N個(gè)部件中故障部件數(shù)量達(dá)到m(0

1k/N(G)系統(tǒng)定時(shí)維修策略描述

k/N(G)系統(tǒng)由N個(gè)相同部件組成，各部件的壽命服從相同的分布且故障發(fā)生相互獨(dú)立。假設(shè)r個(gè)人員負(fù)責(zé)系統(tǒng)的換件維修，且換件維修時(shí)保障資源充足。系統(tǒng)采用如下定時(shí)維修策略：系統(tǒng)開始工作時(shí),N個(gè)部件都正常，當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)間達(dá)到T時(shí)若仍然正常工作(故障部件數(shù)小于N-k+1)，則對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)防性換件維修，更換系統(tǒng)中所有故障部件，預(yù)防性換件維修時(shí)間假設(shè)為tp；而當(dāng)系統(tǒng)在時(shí)間T以前發(fā)生故障(故障部件數(shù)大于等于N-k+1)，則對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行故障換件維修，更換系統(tǒng)中所有故障部件，故障換件維修時(shí)間假設(shè)為tf；預(yù)防性換件維修或故障換件維修完成后，系統(tǒng)重新開始運(yùn)行。定時(shí)維修策略如圖1所示。

定時(shí)維修策略的優(yōu)點(diǎn)是能提前安排維修所需的保障資源，并通過(guò)成組批量更換故障部件減少維修工作量，從而提高系統(tǒng)利用率，降低維修費(fèi)用。

2維修決策建模

2.1符號(hào)意義

Ao(T,r)：當(dāng)預(yù)防性維修間隔期為T，換件維修人員總數(shù)為r時(shí)，系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行的使用可用度；

cf：系統(tǒng)一次故障換件維修所需費(fèi)用；

cp：系統(tǒng)一次預(yù)防性換件維修所需費(fèi)用；

f(t)：部件壽命概率密度函數(shù)；

F(t)：部件壽命分布函數(shù)；

Fk(t)：k/N(G)系統(tǒng)壽命分布函數(shù)；

k：系統(tǒng)正常工作所需的最低正常部件數(shù)量；

L(T,r)：當(dāng)預(yù)防性維修間隔期為T，換件維修人員總數(shù)為r時(shí)，系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行的期望維修費(fèi)用率；

MTTF：k/N(G)系統(tǒng)的平均壽命；

N：k/N(G)系統(tǒng)總的部件數(shù)；

q(t)：部件失效率函數(shù)；

R(t)：部件可靠度函數(shù)；

Rk(t)：k/N(G)系統(tǒng)可靠度函數(shù)；

tf：系統(tǒng)一次故障換件維修所需時(shí)間；

tp：系統(tǒng)一次預(yù)防性換件維修所需時(shí)間；

μ：?jiǎn)蝹€(gè)部件的換件維修率。

2.2模型分析

使用可用度和維修費(fèi)用率是2個(gè)關(guān)鍵的維修決策目標(biāo)[9]。下面，將從這2個(gè)方面進(jìn)行建模分析。

假設(shè)k/N(G)系統(tǒng)中任一部件的壽命分布函數(shù)為F(t)，密度函數(shù)為f(t)，則部件失效率函數(shù)q(t)與兩者的關(guān)系為[10]

(1)

對(duì)式(1)兩邊進(jìn)行積分，可推導(dǎo)出：

(2)

根據(jù)k/N(G)系統(tǒng)的特點(diǎn)：當(dāng)N個(gè)部件中有k個(gè)或k個(gè)以上部件正常工作時(shí)，系統(tǒng)才正常工作，則k/N(G)系統(tǒng)的可靠度為[11]

(3)

k/N(G)系統(tǒng)的累積失效函數(shù)為

(4)

k/N(G)系統(tǒng)的平均壽命為

(5)

如果令相鄰2次系統(tǒng)開始運(yùn)行的時(shí)間間隔為一個(gè)周期，令X為一個(gè)任意的周期中k/N(G)系統(tǒng)正常工作的時(shí)間(系統(tǒng)中失效部件數(shù)量≤n-k+1的時(shí)間)，則一個(gè)周期的長(zhǎng)度為

(6)

所以，一個(gè)周期的期望長(zhǎng)度E(Y)為

(7)

式中：E[tf]為系統(tǒng)故障換件的期望維修時(shí)間；E[tp]為系統(tǒng)預(yù)防性換件的期望維修時(shí)間。

當(dāng)換件維修人員總數(shù)r小于需換件維修的部件數(shù)量時(shí)，E[tf]和E[tp]可分別表示為

(8)

(9)

式中：μ為單個(gè)部件的換件維修率。

使用可用度是系統(tǒng)的能工作時(shí)間與能工作時(shí)間、不能工作時(shí)間的和之比[12]。k/N(G)系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行的使用可用度可表示為

(10)

同理，可得出一個(gè)周期的期望費(fèi)用E(C)為

(11)

所以，系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行的維修費(fèi)用率為

(12)

2.3維修決策模型

根據(jù)以上的分析，以定時(shí)預(yù)防性維修間隔期T和換件維修人員數(shù)量r為決策變量，以系統(tǒng)可用度為約束條件，系統(tǒng)期望維修費(fèi)用率最低為優(yōu)化目標(biāo)，建立定時(shí)維修策略下k/N(G)系統(tǒng)維修決策模型如下：

(13)

式中：Aaccept為最低可接受使用可用度值。

2.4數(shù)值迭代算法

為了要求在系統(tǒng)發(fā)生故障前(系統(tǒng)中故障部件數(shù)超過(guò)N-k)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行定時(shí)預(yù)防性維修，所以定時(shí)維修間隔期T一般小于系統(tǒng)的平均壽命MTTF。同時(shí)，為避免因換件維修人員過(guò)多而導(dǎo)致的資源閑置，所以換件維修人數(shù)r一般小于系統(tǒng)故障停機(jī)時(shí)部件失效總數(shù)N-k。

在上述約束條件下，為求解最佳的定時(shí)維修間隔期T和最佳的換件維修人數(shù)r，提出了維修決策模型的迭代求解方法，如圖2所示。

3實(shí)例分析

某大型相控陣?yán)走_(dá)天線陣面由1 000個(gè)相同的收發(fā)通道組成，當(dāng)陣面通道的故障數(shù)>100個(gè)時(shí)，雷達(dá)無(wú)法完成正常的探測(cè)。因此，該天線陣面可視為一個(gè)900/1 000(G)的k/N(G)系統(tǒng)。已知條件有：μ=2個(gè)/h，cf=10 000元，cp=2 500元，Aaccept=0.95。

實(shí)驗(yàn)1部件壽命服從威布爾分布

根據(jù)建立的維修決策模型，利用數(shù)值迭代算法可求出威布爾壽命分布下使期望維修費(fèi)用率L(T,r)最小化且滿足Ao(T,r)>Aaccept的(Toptimal,roptimal)組合，如表1所示。

實(shí)驗(yàn)2部件壽命服從指數(shù)分布

假設(shè)系統(tǒng)中各項(xiàng)部件的壽命服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，λ=0.000 3次/h。利用Matlab軟件進(jìn)行仿真，可以得出不同(T,r)組合下的期望維修費(fèi)用率曲線，如圖4所示。

同樣，可求出指數(shù)壽命分布下使期望維修費(fèi)用率L(T,r)最小化且滿足Ao(T,r)>Aaccept的(Toptimal,roptimal)組合，如表1所示。

由圖3和圖4可知：無(wú)論部件壽命服從威布爾分布或指數(shù)分布，系統(tǒng)期望維修費(fèi)用率L(T,r)并不隨著預(yù)防性維修間隔期T和維修人員數(shù)量r單調(diào)變化，而是存在一個(gè)最優(yōu)的(Toptimal,roptimal)組合使系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行期望維修費(fèi)用率最小化且滿足使用可用度約束要求。同時(shí)，結(jié)合表1可知，通過(guò)模型計(jì)算和迭代算法求解可找出最優(yōu)的(Toptimal,roptimal)組合。

4結(jié)束語(yǔ)

本文建立了任意壽命分布下k/N(G)系統(tǒng)定時(shí)維修決策模型，主要結(jié)論有以下幾點(diǎn)：

(1) 模型適用于部件壽命服從任意分布(威布爾分布、指數(shù)分布等)的k/N(G)系統(tǒng)，通用性較強(qiáng)。

(2) 與目前多數(shù)維修決策模型只考慮一種優(yōu)化目標(biāo)不同，本文的模型同時(shí)考慮了可用度和維修費(fèi)用率2個(gè)優(yōu)化目標(biāo)，屬于多目標(biāo)維修決策優(yōu)化模型。

(3) 本文的模型既可用來(lái)計(jì)算定時(shí)預(yù)防性維修策略下k/N(G)系統(tǒng)的可用度和維修費(fèi)用率，也可利用數(shù)值迭代算法確定最優(yōu)的定時(shí)維修間隔期和維修人員數(shù)量，可為k/N(G)系統(tǒng)預(yù)防性維修策略和維修人力資源的優(yōu)化提供決策支持。

參考文獻(xiàn)：

[1]FAWZI B B, HAWKES A G. Availability of anR-out-of-NSystem with Spares and Repairs[J]. Journal of Applied Probability, 1991, 28(4):397-408.

[2]FROSTIG E, LEVIKSON B. On the Availability of R Out ofNRepairable Systems[J]. Naval Research Logistics, 2002, 49(5):483-98.

[3]KRISHNAMOORTHY A， USHAKUMARI, P.V.k-out-of-n: G System with:theD-Policy[J]. Computer & Operations Research, 2001, 28(10):973-981.

[4]周劍,王瑩,潘爾順,等.基于更新型及最小維護(hù)的k-out-of-n:f系統(tǒng)維護(hù)策略研究[J].機(jī)械制造,2011,49(8): 52-55.

ZHOU Jian, WANG Ying, PAN Er-shun, et al. Research on Maintenance Policy fork-out-of-n:fSystem Based on Renewal Process and Minimal Maintenance [J]. Machinery, 2011, 49(8): 52-55.

[5]王瑩,潘爾順,王凱.面向k-out-of-n:f系統(tǒng)的兩階段周期維護(hù)策略研究[J].工業(yè)工程與管理,2011,16(1): 70-73.

WANG Ying, PAN Er-shun, WANG Kai. Two-Phase Maintenance Policy Research Based onk-out-of-n:fSystem [J]. Industrial Engineering and Management, 2011, 16(1): 70-73.

[6]Karin S de Smidt-Destombes, Matthieu C van der Heijden, Aart van Harten. On the Availability of ak-out-of-NSystem Given Limited Spares and Repair Capacity Under a Condition Based Maintenance Strategy [J]. Reliability Engineering and System Safety, 2004, 83(3):287-300.

[7]Karin S de Smidt-Destombes, Matthieu C van der Heijden, Aart van Harten. On the Interaction Between Maintenance, Spare Part Inventories and Repair Capacity for ak-out-of-nSystem with Wear-out [J]. European Journal of Operational Research, 2006, 174(1):182-200.

[8]張濤,張建軍,郭波.基于使用可用度的k/N系統(tǒng)(m,NG)維修策略分析[J].宇航學(xué)報(bào), 2009, 30(1): 395-401.

ZHANG Tao, ZHANG Jian-jun, GUO Bo. Operational Availability-Based Analysis of (m,NG) Maintenance Policy ofk-out-of-Nsystem[J]. Journal of Astronautics, 2009, 30(1): 395-401.

[9]左洪福,蔡景,王華偉,等. 維修決策理論與方法[M].北京: 航空工業(yè)出版社,2008:8-10.

ZUO Hong-fu, CAI Jing, WANG Hua-wei,et al. Maintenance Decision Theory and Method [M].Beijing: Aviation Industry Press, 2008:8-10.

[10]ROSS S M. Introduction to Probability Models [M].Tenth Edition Singapore: Elsevier Press, 2010:451-456.

[11]Hoang Pham,WANG Hong-zhou. Optimal (t,T) Opportunistic Maintenance of ak-out-of-n:GSystem with Imperfect PM and Partial Failure[J]. Naval Research Logistics, 2000, 47 (3): 223-239.

[12]CAI Jing, ZUO Hong-fu, LU De-feng. Availability Simulation of Multi-Component System Based on Opportunistic Maintenance Policy [J]. Transactions of Nanjing University of Aeronautics & Astronautics, 2009, 26(3): 219-223.

Time Based Maintenance Optimization Model fork/N(G) System with Various Lifetime Distributions

LU Lei，YANG Jiang-ping

(Air Force Early Warning Academy, Hubei Wuhan 430019, China)

Abstract:A time based maintenance policy for large-scalek/N(G) system is presented. This policy is provided by the maintenance and support characteristic ofk/N(G) system. On the basis of the policy, a maintenance optimization model is established. The model minimizes system maintenance cost rate under the condition of system operational availability. Then, a numeric iteration algorithm is proposed to solve the model. Example shows that the model can computek/N(G) system operational availability and system maintenance cost rate, and meanwhile the model can obtain the optimal maintenance interval time and the optimal number of maintenance personnel. This research provides decision supporting for the preventive maintenance of large-scalek/N(G) system.

Key words:redundancy system; time based maintenance; lifetime distribution; availability; maintenance cost rate

收稿日期：2014-02-13；
修回日期：2014-04-13

基金項(xiàng)目：國(guó)防科研基金項(xiàng)目(KJ2011196)

作者簡(jiǎn)介：盧雷(1985-)，男，湖北武漢人。博士生，主要研究方向?yàn)檠b備綜合保障建模與仿真。

通信地址：441100湖北省襄陽(yáng)市南漳縣城關(guān)鎮(zhèn)樊灣村張華超市E-mail：lulei61588772@163.com

doi:10.3969/j.issn.1009-086x.2015.01.023

中圖分類號(hào)：TH165.3；N945.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1009-086X(2015)-01-0135-05