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      復(fù)雜腔體電磁混沌特性統(tǒng)計(jì)分析

      2015-03-08 05:31:54莊信武余志勇劉光斌滕向如
      電波科學(xué)學(xué)報(bào) 2015年3期
      關(guān)鍵詞:本征模數(shù)腔體

      莊信武 余志勇 劉光斌 滕向如 陳 亮

      (第二炮兵工程大學(xué),陜西 西安710025)

      引 言

      電大尺寸特征結(jié)構(gòu)的復(fù)雜腔體內(nèi)的場,往往具有較強(qiáng)的邊界敏感性或不確定性,很難對下一狀態(tài)進(jìn)行有效的預(yù)測,這反映了電大尺寸結(jié)構(gòu)的不可積性質(zhì).通常將這種不可積稱為電磁混沌特性[1].目前主要從三種方法來描述復(fù)雜腔體內(nèi)電磁波的混沌特性:1)利用粒子射線軌跡分布圖來描述場的混沌特性[2-3].該方法將電磁場視為由無限多個(gè)、各向同性、互相獨(dú)立的粒子組成,粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡特征表征了場的統(tǒng)計(jì)特性,若射線軌跡越具有遍歷性,則腔體就越混沌.但該方法僅考慮了腔體的內(nèi)部幾何結(jié)構(gòu)對粒子射線軌跡遍歷性的影響,而忽略了腔體材料屬性的影響;2)利用歸一化最近相鄰本征模間隔分布來描述場的混沌特性[4].若復(fù)雜腔體內(nèi)場的歸一化最近相臨本征模間隔趨近于指數(shù)分布,則為可積的;若復(fù)雜腔體內(nèi)場的歸一化本征模間隔接近于Wigner分布,則為混沌的.而現(xiàn)實(shí)復(fù)雜腔體的歸一化本征模間隔往往介于混沌與可積系統(tǒng)之間,此時(shí)場的混沌特性如何評估有待于解決;3)利用混響室內(nèi)場的統(tǒng)計(jì)理論來描述場的混沌特性[5-6].當(dāng)腔體激勵(lì)模達(dá)到過模狀態(tài)時(shí),即混響室內(nèi)場滿足各向同性、均勻分布、隨機(jī)極化的要求,混響室內(nèi)場可視為混沌狀態(tài).

      綜上,目前對電大尺寸腔體內(nèi)場的混沌性評估沒有給出明確指標(biāo),更多是從場的幅值、幅值均方等方面展開統(tǒng)計(jì)特性研究[7-9].因此,為了更好地評估腔體的混沌特性,并擴(kuò)展其運(yùn)用,文章將基于量子力學(xué)中的Schr?dinger方程與電磁學(xué)的Helmholtz方程的相似性原理[10],采用量子混沌理論,定量地研究腔體內(nèi)場的混沌特性.

      1 理論分析

      量子混沌理論是模式理論研究的重要內(nèi)容,是電磁學(xué)關(guān)于場混沌特性研究的重要工具,主要包括模式密度、本征頻率、模式間隔分布等.

      1.1 模式密度分析

      模式密度分布規(guī)律與腔體的形狀、本征頻率的分布有關(guān).若本征頻率越低,則模式密度就越依賴于腔體的幾何結(jié)構(gòu)特征,特別當(dāng)本征頻率低于最低可用頻率時(shí),這種依賴性就更明顯.Weyl為此總結(jié)了無損腔體模式密度的分布規(guī)律:若腔體內(nèi)部分段邊界是光滑的,則任意無損腔體的平均光滑累積模式密度為[11]

      式中:f為本征頻率;Vλ=V/λ3為電尺寸(λ表示本征頻率處的信號波長,V為腔體體積),通常將符合Vλ?1條件的結(jié)構(gòu)稱為電大尺寸結(jié)構(gòu);c為光在腔體媒質(zhì)中的傳播速度;κ為幾何因子,

      式中:Lx、Ly、Lz分別為矩形腔體的長、寬、高;C為常數(shù)(下同),此時(shí)二面角φ(r)=π/2

      2)球形腔體模數(shù)

      式中:R為球形腔體半徑,此時(shí)平均曲率ρ(r)=R,二面角φ(r)=π.3)圓柱腔體模數(shù)

      式中:r0為圓柱腔體半徑;h為高.

      通過對比分析上述各形狀腔體的模式模型得到:當(dāng)本征頻率足夠高時(shí),即Vλ?1時(shí),等式(1)右邊的第二部分與第一部分的比將趨于零,即

      該結(jié)果表明:電大尺寸特征下,腔體幾何結(jié)構(gòu)對模數(shù)的影響可忽略不計(jì).而復(fù)雜腔體內(nèi)本征頻率的統(tǒng)計(jì)分布特征卻與腔體的幾何結(jié)構(gòu)相關(guān).為此,在上述模式模型的基礎(chǔ)上,基于本征模間隔,進(jìn)一步分析腔體的混沌特性.

      1.2 本征模間隔分析

      若忽略本征頻率的簡并作用,則在本征頻率fi處累積模數(shù)N(fi)可表示為[12]

      式中,符號#表示對所有符合集合條件枚舉的數(shù)量.現(xiàn)實(shí)中累積模數(shù)往往是不平滑的,通常將累積模數(shù)N(f)分解為平滑部分NW(fi)和浮動(dòng)部分Nf(fi)兩部分,即

      針對浮動(dòng)部分對系統(tǒng)的影響,可由數(shù)值方差Δ2(L)的形式進(jìn)行分析[13].若系統(tǒng)為可積系統(tǒng),則包含L個(gè)本征模的數(shù)值方差為Δ2(L)=L;若系統(tǒng)為混沌,則包含L個(gè)本征模的數(shù)值方差為

      方差結(jié)果如圖1所示.從圖中可得到:在給定帶寬范圍內(nèi),可積系統(tǒng)模數(shù)的方差與該帶寬內(nèi)模數(shù)成正比,斜率k=1.模數(shù)提高,方差增大,系統(tǒng)模數(shù)的不確定因素增加.然而混沌系統(tǒng)剛好相反,在高頻條件下,斜率趨于0,即

      在這種條件下,伴隨著模數(shù)的增加,混沌系統(tǒng)模數(shù)的方差趨于恒定值,這從另一方面反映了混沌系統(tǒng)模數(shù)的不確定性趨于穩(wěn)定值.

      綜合分析,采用數(shù)值方差的方法可以較好區(qū)分可積系統(tǒng)與混沌系統(tǒng).然而,因?yàn)閿?shù)值方差方法很難描述小概率抖動(dòng)事件,故不能作為研究混沌場概率的預(yù)測工具.

      圖1 本征模數(shù)分布

      隨機(jī)矩陣?yán)碚撟鳛橐环N漸進(jìn)理論,只要獲取足夠多的狀態(tài),即可精確地預(yù)測腔體本征模的統(tǒng)計(jì)屬性.為此,采用基于隨機(jī)矩陣?yán)碚?,以最近相鄰本征模間隔sn的統(tǒng)計(jì)分布來表征腔體系統(tǒng)的混沌特性,可得到較為精確的預(yù)測結(jié)果[14],即

      當(dāng)n足夠大時(shí),可由隨機(jī)矩陣系綜來描述概率分布函數(shù)[15-16]為

      式中,s為歸一化最近相臨本征模間隔sn的隨機(jī)變量,其中α=Γv+1[1+1/(v+1)].

      通過式(12)可得到,僅利用單參量v可得到系統(tǒng)本征模間隔的分布特征,如:

      1)當(dāng)v=0時(shí),系統(tǒng)普適性可由泊松系綜來描述,對應(yīng)的本征模間隔分布可簡化為

      該分布一般用來描述可積系統(tǒng),該分布又稱為泊松分布.

      2)當(dāng)v=1時(shí),系統(tǒng)普適性可由高斯正交系綜來描述,對應(yīng)的本征模間隔分布可簡化為

      該分布一般用來描述不可積系統(tǒng),對應(yīng)的分布又稱為Wigner分布.

      兩者的歸一化最近相鄰本征模數(shù)分布規(guī)律如圖1所示.由圖中可以得到:可積系統(tǒng)本征模間隔歸一化分布為指數(shù)分布,“0”間隔的本征值分布概率最大,這反映了可積系統(tǒng)的大部分本征模“簇?fù)怼币惶?,近似相等,這就說明可積系統(tǒng)內(nèi)場的自由度很低;而混沌系統(tǒng)的本征值間隔大部分分布在“1”附近,在兩倍間隔之后迅速下降,這反映了混沌系統(tǒng)的大部分本征模在頻率軸上是以均勻間隔展開的,從而說明了混沌系統(tǒng)內(nèi)場具有較高的自由度.

      現(xiàn)實(shí)中腔體往往介于理想規(guī)則腔體和理想混沌之間,即v∈(0,1),隨其值增加,歸一化間隔分布如圖2所示.從圖中可以看出,分布的波峰隨著參量v的變化而變化.當(dāng)參量v越靠近0時(shí),對應(yīng)的概率分布曲線就越接近指數(shù)分布;隨著參量v增加,波峰逐漸向右移動(dòng),其吻合度越接近于Wigner分布;當(dāng)參量v越靠近1時(shí),對應(yīng)的概率分布曲線就越接近于Wigner分布.因此,若將參量v作為腔體的混沌性考核指標(biāo),通過分析復(fù)雜腔體內(nèi)的混沌性,可總結(jié)出一般的規(guī)律,這為混沌腔體的設(shè)計(jì)提供了一定的理論指導(dǎo).將稱v參量為混沌度.

      圖2 歸一化間隔模數(shù)分布

      2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

      為了研究腔體的混沌特性,將按照單規(guī)則腔體到多布爾組合體的思路,結(jié)合數(shù)值試驗(yàn)技術(shù)和最小二乘曲線擬合方法,對腔體的混沌特性展開試驗(yàn)研究.

      2.1 試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)

      考慮工程的可實(shí)現(xiàn)性問題,以某鋁制矩形混響腔體(7.3m×4.77m×3.25m)為主要研究對象(腔體側(cè)壁電導(dǎo)率為3.8e7s/m,相對介電常數(shù)為1,相對磁導(dǎo)率為1.000 021,腔內(nèi)媒質(zhì)為空氣),將不同尺寸的球形腔體嵌于矩形腔體的頂角處,方案如下:

      1)設(shè)定球形半徑的步進(jìn)為0.1m,對不同半徑的球形腔體本征模分布特征進(jìn)行分析,得到不同半徑球形腔體的混沌度;

      圖3 Sinna(左)、Stadium(右)腔體

      2)將步驟1)中不同半徑的球形腔體嵌于矩形腔體的各個(gè)頂點(diǎn)處,并進(jìn)行布爾減運(yùn)算,得到Sinna腔體(如圖3(a)).依據(jù)球心放置位置的不同,劃分為4種不同的組合:①球形腔體的球心在矩形腔體的H頂角處為Sinna-1腔體;②球心在A、H頂點(diǎn)的Sinna-2腔體;③球心在A、D、F、G頂點(diǎn)的Sinna-4腔體;④球心在八個(gè)頂點(diǎn)的Sinna-8腔體;

      3)依次類推,將球形腔體與矩形腔體進(jìn)行布爾和運(yùn)算,得到的腔體結(jié)構(gòu)如圖3(b),該類腔體稱為Stadium腔體,按照步驟2)的命名方法,對應(yīng)4類腔體:Stadium-1、Stadium-2、Stadium-3、Stadium-4;

      4)根據(jù)矩形腔體及球形腔體結(jié)構(gòu)的相對位置不同,設(shè)定組合腔體Sinna-1、Sinna-2、Stadium-1、Stadium-2中的球半徑為0.1~3.0m,組合Sinna-4、Sinna-8、Stadium-4、Stadium-8中的球半徑為0.1~1.6m.

      利用HFSS軟件中的本征模求解器,對上述各狀態(tài)下腔體的前201個(gè)本征頻率進(jìn)行求解,將所得的本征頻率帶入上述對應(yīng)的本征模數(shù)公式(1)得到各個(gè)本征頻率狀態(tài)下腔體的本征模數(shù),并依據(jù)式(11)對201個(gè)本征模數(shù)進(jìn)行歸一化模數(shù)間隔處理得到(s1,s2,…,s200),利用Matlab軟件對歸一化本征模數(shù)間隔進(jìn)行分析,并采用最小二乘法對式(12)進(jìn)行非線性曲線擬合,得到各個(gè)狀態(tài)下混沌特性.

      2.2 混沌特性分析

      圖4 矩形腔體歸一化本征模累積概率分布

      通過對矩形腔體、球形腔體的歸一化本征模間隔進(jìn)行試驗(yàn)分析,結(jié)果(如圖4)表明這兩類腔體的混沌特性與尺寸沒有太大的直接關(guān)系.對累積概率密度進(jìn)行最小二乘曲線擬合后得到矩形腔體的混沌度v≈0.15,這說明了該類腔體屬于低混沌度腔體,本征模數(shù)的歸一化間隔分布趨于指數(shù)分布(泊松分布),因此可利用泊松正交系綜來描述這類系統(tǒng)的普適性.同理,對不同半徑的球體進(jìn)行混沌度分析,得到混沌度隨半徑變化的分布曲線如圖5.通過分析得到:球形半徑在1.1≤r≤3.0m范圍內(nèi),混沌度分布在0.0~0.1、0.1~0.2、0.2~0.3之間的概率分別為35%、45%、20%,由此說明球體混沌度大部分落在0.1~0.2之間,基本不隨球半徑的變化而變化,顯然這類球體亦屬于低混沌度的可積系統(tǒng).然而當(dāng)多個(gè)矩形、球形等可積系統(tǒng)組合一起,系統(tǒng)混沌特性將不僅僅是它們之間的線性疊加,而變得更加復(fù)雜,通過仿真試驗(yàn)分析得到Sinna腔體、Stadium腔體的混沌度隨著球半徑變化的分布曲線如圖6.通過對比分析得到:Sinna-1、Sinna-2腔體的球半徑在1.4m以上時(shí),混沌度高于0.9的均占該段總數(shù)的13%.在同等條件下,Stadium-1腔體幾乎不可能實(shí)現(xiàn),而僅以少量出現(xiàn)在0.7~0.8之間,總體上Sinna腔體比Stadium腔體更容易達(dá)到高混沌狀態(tài).

      圖5 球形腔體在不同半徑下的混沌特性

      圖6 Sinna/Stadium混沌度隨著球半徑變化的分布曲線

      通過對比圖5、6中的混沌度曲線,總結(jié)如下:

      1)球形腔體的模數(shù)混沌度以v=0領(lǐng)域內(nèi)浮動(dòng),且大部分集中在[-2,2],其均值為v=-0.04,屬于低混沌腔體,說明了球形腔體的歸一化本征模數(shù)間隔分布基本不受球形半徑影響,可用泊松系綜描述系統(tǒng)的特性;

      2)總體上,Sinna腔體較之Stadium腔體有較強(qiáng)的混沌特性,其中表現(xiàn)最為明顯的是8類腔體,其次是1類和2類,最后是4類腔體;

      3)在總結(jié)步驟2)的基礎(chǔ)上,可進(jìn)一步得到,內(nèi)凹腔體比外凸腔體,具有更明顯的混沌特性.

      3 結(jié) 論

      基于量子理論對矩形、球形等常見規(guī)則腔體的混沌特性進(jìn)行分析,結(jié)果表明這些規(guī)則腔體的混沌特性不受尺寸的影響,混沌度基本較低,從而說明它們的可積性,因此可通過泊松系綜矩陣來分析本征模的分布規(guī)律.在此基礎(chǔ)上,對常規(guī)腔體及其布爾組合進(jìn)行仿真分析,結(jié)果表明相同的球形半徑下Sinna腔體較Stadium腔體具有較強(qiáng)的混沌特性,從另一方面說明了具有內(nèi)凹結(jié)構(gòu)特征的腔體比外凸的具有更高的混沌特性,這為以后復(fù)雜腔體的混沌特性研究奠定了理論基礎(chǔ),同時(shí)也為混響室設(shè)計(jì)、試驗(yàn)提供了一定的理論指導(dǎo).

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