基于帶通欠采樣的脈沖超寬帶信號(hào)重建算法性能研究

鄒 寧徐爭光冉建華李朝陽

①(武漢船舶通信研究所 武漢 430079)

②(華中科技大學(xué)電子與信息工程系 武漢 430074)

基于帶通欠采樣的脈沖超寬帶信號(hào)重建算法性能研究

鄒 寧*①徐爭光②冉建華①李朝陽①

①(武漢船舶通信研究所 武漢 430079)

②(華中科技大學(xué)電子與信息工程系 武漢 430074)

從脈沖超寬帶(PPM-UWB)信號(hào)解調(diào)的角度，該文探討了PPM-UWB帶通欠采樣信號(hào)處理的信號(hào)重建算法，并將零化濾波算法和ESPRIT算法進(jìn)行了仿真對(duì)比。ESPRIT算法與零化濾波算法相比需要的最小帶寬要求較大，但是在同等帶寬條件下，ESPRIT算法具有更好的抗噪聲性能。

脈沖超寬帶(PPM-UWB)；帶通欠采樣；零化濾波；ESPRIT算法

1 引言

帶通欠采樣是對(duì)脈沖超寬帶(Pulse Position Modulation-Ultra Wide Band, PPM-UWB)信號(hào)的低于奈奎斯特采樣率的采樣方法，對(duì)PPM-UWB數(shù)字接收機(jī)的研究具有重要的實(shí)用價(jià)值[1]。PPMUWB數(shù)字接收機(jī)的應(yīng)用主要有室內(nèi)高速通信、測(cè)距與定位、遙感以及汽車?yán)走_(dá)等[2-4]。PPM信號(hào)是一類脈沖寬度特別窄，占空比非常小的信號(hào)。近幾年來，對(duì)PPM-UWB的帶通欠采樣信號(hào)處理的研究正在逐步深入。首先，新息率概念的提出，即單位時(shí)間內(nèi)信號(hào)的特征數(shù)，通常這個(gè)數(shù)值與信號(hào)速率相關(guān)，使得非帶限脈沖信號(hào)的欠采樣成為可能[5]；其次，按照新息率進(jìn)行采樣和重建的零化濾波算法可以在沒有噪聲的情況下準(zhǔn)確重建原始非帶限脈沖信號(hào)[6]；然后，在提高采樣率的情況下的零化濾波算法具有一定程度上的抗噪聲性能[7-9], 使用總體最小二乘(Total Least Squares, TLS)解調(diào)方法比最小二乘(Least Squares, LS)解調(diào)方法具有更好的抗噪聲性能[10]；最近，采用旋轉(zhuǎn)不變性技術(shù)而進(jìn)行的信號(hào)參數(shù)估計(jì)(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques, ESPRIT)算法，能夠在低信噪比的條件下重建算法的性能[11-13]。零化濾波算法和ESPRIT算法在PPMUWB的信號(hào)重建方面的研究主要集中于采樣率對(duì)性能的影響，本文提出在滿足最低要求的信號(hào)新息率采樣的條件下，增大采樣率并不能提高系統(tǒng)的性能，影響其性能的因素是帶通濾波器的帶寬。本文探討了PPM-UWB信號(hào)的重建算法，對(duì)ESPRIT算法進(jìn)行了TLS解的補(bǔ)充，并且對(duì)零化濾波算法和ESPRIT算法進(jìn)行了性能分析。

本文首先在PPM-UWB信號(hào)處理中分析了零化濾波算法的可行性，并引入了LS和TLS解，然后分析了ESPRIT算法的可行性，同時(shí)也引入了LS解和TLS解，最后以仿真的形式對(duì)ESPRIT算法與零化濾波算法進(jìn)行了性能對(duì)比。

2 零化濾波算法

沖激串信號(hào)x(t)的傅里葉變換X[k]為p個(gè)信號(hào)的指數(shù)和，令其中f是信號(hào)0的頻率分辨率，即頻域信號(hào)的最小頻率間隔，此間隔只與所取的信號(hào)長度有關(guān)，與采樣率無關(guān)。

為了從沖激串頻域信號(hào)X[k]中估計(jì)其幅度di和時(shí)移ti，定義

由于當(dāng)帶通濾波器的帶寬剛好等于信號(hào)新息率時(shí)，容易受到噪聲的影響[3]，本文都是討論帶通濾波器帶寬大于信號(hào)新息率時(shí)的情形。將沖激串頻域信號(hào)X[k]代入零化濾波器中，得到一組超定方程組Pa=-Q(當(dāng)帶通濾波器的帶寬剛好等于信號(hào)新息率時(shí)，得到的是正定方程組)，其中P是由X[k]組成的一個(gè)行數(shù)大于列數(shù)的矩陣，a是由零化濾波器系數(shù)組成的向量，Q是由X[k]組成的向量。求解這個(gè)超定方程組有兩種不同的方法：LS和TLS。

(1) LS解法

此時(shí)方程組中的矩陣P為J×p維，為了更好地區(qū)分兩種求解超定方程組的方法，LS解法中方程組中的P和Q都用下標(biāo)1進(jìn)行標(biāo)注(TLS解法中用下標(biāo)2進(jìn)行標(biāo)注)，在LS解法中，通過對(duì)矩陣進(jìn)行奇異值分解，來求解零化濾波器的系數(shù)a。

P1的奇異值分解為P1=U1∑1V1H，系數(shù)的解為a=-V1∑1U1HQ1。

(2) TLS解法

若將方程組中的信號(hào)采樣矩陣進(jìn)行如下處理，此時(shí)方程組中的P2矩陣為?！羛維：其中Γ為矩陣P2的行數(shù)，Γ＞p：

式中∑2是由矩陣奇異值構(gòu)成的?！?p+1)維矩陣，且對(duì)角線上的元素按照降序排列：

則方程組的TLS解為：

當(dāng)使用上述的任意一種方法求解出零化濾波器系數(shù)a后，將零化濾波器φ(z)作因式分解，求解濾波器的零點(diǎn)ui，通過即可求出時(shí)移ti，再由即可計(jì)算出信號(hào)的幅度di。

零化濾波算法在計(jì)算過程中要經(jīng)過矩陣的奇異值分解和多項(xiàng)式求根，在LS求解的過程中經(jīng)過了3次矩陣乘法和1次矩陣求逆運(yùn)算，在TLS求解過程中，僅經(jīng)過了1次排序和向量乘法運(yùn)算。在計(jì)算復(fù)雜度上，TLS要比LS簡單。

3 ESPRIT算法

也就是下一個(gè)頻率采樣值是當(dāng)前頻率采樣值的相移的結(jié)果。這個(gè)相移可以表示為：在單位圓上的一個(gè)的轉(zhuǎn)動(dòng)。由沖激串頻域信號(hào)X[k]組成的矢量信號(hào)X[k]可以分解為由時(shí)移頻率響應(yīng)成分S[k]和噪聲成分w[k]組成的頻率窗口矢量模型：

這里，矩陣S的p個(gè)列：S=[s(t1)s(t2) ...s(tp)]是長為M的頻率窗口時(shí)間復(fù)指數(shù)矢量。矢量d由復(fù)指數(shù)的幅度di組成。另一方面，矩陣φ是表示S[k]的單獨(dú)復(fù)指數(shù)分量的相鄰頻率采樣值之間相位移動(dòng)的對(duì)角矩陣：

ESPRIT的實(shí)質(zhì)在于其在交錯(cuò)的子空間之間的轉(zhuǎn)動(dòng)特性，這些子空間被調(diào)用以得到式(1)中時(shí)移ti的估計(jì)。在離散頻域信號(hào)的情況下，這個(gè)特性依賴于在兩個(gè)頻率上交錯(cuò)的相同區(qū)間上的信號(hào)觀測(cè)值[14]。

首先對(duì)未知的時(shí)移頻率響應(yīng)矩陣S進(jìn)行分析，考慮在長為M的頻率窗矢量中，兩個(gè)交疊的、長為M-1的子窗口。這個(gè)子窗口的運(yùn)算如圖1所示。

圖1 ESPRIT算法采用的頻率交錯(cuò)、重疊窗Fig. 1 Interleaving and overlap window used for ESPRIT algorithm

考慮由復(fù)指數(shù)的和組成的信號(hào)：

這里，sM-1[k]是s[k]的長為M-1的子窗口，即：

除了它的頻率窗口時(shí)間矢量的長度是M-1外，矩陣SM-1和S以相同的方式構(gòu)造，記為sM-1(t)：

s[k]是在頻率kf0由復(fù)指數(shù)的和構(gòu)成的標(biāo)量信號(hào)。定義矩陣：

這兩個(gè)窗口頻率矢量的矩陣有如下關(guān)系：S2=S1φ，兩個(gè)矩陣各自生成一個(gè)雖然不同、但相互聯(lián)系的M-1維子空間。

圖2是描述ESPRIT算法進(jìn)行PPM-UWB信號(hào)時(shí)移估計(jì)的流程方框圖。

圖2 由數(shù)據(jù)矩陣開始經(jīng)時(shí)移估計(jì)的ESPRIT算法流程方框圖Fig. 2 The block diagram of ESPRIT algorithm process (Time shift estimate from data matrix)

ESPRIT算法的計(jì)算流程如下：

(1) 由沖激串頻域信號(hào)X[k]，構(gòu)造一個(gè)Hankel矩陣：

數(shù)據(jù)矩陣H有長為M的頻率窗口矢量信號(hào)X[k]的N個(gè)數(shù)據(jù)記錄。

(2) 對(duì)矩陣H進(jìn)行奇異值分解：H=U∑VH。

(3) 對(duì)矩陣V進(jìn)行信號(hào)子空間和噪聲子空間的分解：V=[Vs|Vn]。

這里，Vs是對(duì)應(yīng)p個(gè)最大奇異值的右奇異矢量的矩陣。由于信號(hào)部分由用頻率窗時(shí)間矢量s(t)作為模型的復(fù)指數(shù)的和構(gòu)成，所以，矩陣S和Vs生成相同的子空間。因此，存在一個(gè)可逆變換T將Vs映射為S，即：S=VsT。

(4) 將信號(hào)子空間分成Vs兩個(gè)較小的M-1維的子空間：

這里，V1和V2分別對(duì)應(yīng)非交錯(cuò)的和交錯(cuò)的子空間。由于S1和S2對(duì)應(yīng)相同的子空間，映射關(guān)系對(duì)這些子空間同樣成立：S1=V1T,S2=V2T。

(5) 求解V1和V2之間的關(guān)系矩陣ψ。

矩陣S的非交錯(cuò)的和交錯(cuò)的分量通過子空間旋轉(zhuǎn)φ相關(guān)聯(lián)。由于矩陣V1和V2同樣分別生成這些相關(guān)的子空間，一個(gè)相似的聯(lián)系V1和V2的(旋轉(zhuǎn))關(guān)系肯定存在：V2=V1ψ。求解矩陣ψ有如下兩種方法：LS和TLS。

(a) LS解法

通過使用最小二乘(LS)準(zhǔn)則解V2=V1ψ得到子空間的旋轉(zhuǎn)的估計(jì)：ψls=(V1HV1)-1V1HV2，這個(gè)LS解通過在一個(gè)最小二乘意義上從公式V2+E2=V1ψ最小化誤差得到，這里，E2是由V2和對(duì)應(yīng)于S2的真實(shí)子空間之間的誤差構(gòu)成的矩陣。這個(gè)LS公式假定誤差僅存在于對(duì)S2的估計(jì)中，而在V1和欲估計(jì)的相應(yīng)于S1的真實(shí)子空間之間沒有誤差。

(b) TLS解法

由于V1也是一個(gè)估計(jì)的子空間，一個(gè)更合適的公式是V2+E2=(V1+E1)ψ。這里，E1是表示V1和對(duì)應(yīng)于S1的真實(shí)子空間之間的誤差的矩陣。這個(gè)問題的解稱為“總體最小二乘”(TLS)解，是通過最小化兩個(gè)誤差矩陣的Frobenius范數(shù)：得到的。

將矩陣V1+E1和V2+E2并排放置后，可以得到方程[15]

其中σi表示矩陣[V1V2]的奇異值，及對(duì)角矩陣的元素。由于兩個(gè)誤差矩陣的最小Frobenius范數(shù)具有唯一解。交錯(cuò)子空間并排放置矩陣[V1V2]所張成的與脈沖相移相關(guān)的信號(hào)子空間矩陣為

(6) 求解ψ的特征值

ESPRIT算法在計(jì)算過程中要經(jīng)過奇異值分解和矩陣特征值求解，在特征值求解的過程中存在行列式計(jì)算和多項(xiàng)式求根的過程，其復(fù)雜度要比零化濾波算法大；無論是LS和TLS求解的過程都要經(jīng)過1次矩陣乘法和1次矩陣求逆的運(yùn)算，只是TLS求解過程中矩陣計(jì)算的階數(shù)是LS求解過程的兩倍，在計(jì)算復(fù)雜度上，LS過程要簡單一些。

4 仿真分析

本文對(duì)PPM-UWB信號(hào)的重建算法進(jìn)行了仿真，發(fā)射脈沖波形選擇高斯2階脈沖，脈沖寬度為0.5 ns，帶通濾波器的中心頻率為fc=3.325 GHz，根據(jù)第2節(jié)和第3節(jié)中算法所需的頻域采樣點(diǎn)的多少，以及在相同時(shí)間長度下，頻率分辨率不隨采樣率變化的特征，對(duì)信號(hào)碼速率為20 Mbps和40 Mbps的波形進(jìn)行了仿真；調(diào)制方式采用二進(jìn)制的PPM調(diào)制，仿真過程中使用了106bit進(jìn)行了誤碼率的統(tǒng)計(jì)，進(jìn)行重建算法的時(shí)候，每次截取了10個(gè)脈沖長度的時(shí)間進(jìn)行處理。

針對(duì)20 Mbps的信號(hào)碼速率，在零化濾波算法中，所需的最小的帶通濾波器帶寬為40 MHz；在ESPRIT算法中，若將噪聲子空間的維度設(shè)為5，那么所需的最小的帶通濾波器的帶寬為50 MHz。針對(duì)40 Mbps的信號(hào)碼速率，所需的最小的帶通濾波器帶寬為80 MHz。在性能方面，本文針對(duì)不同的帶通濾波器的帶寬，對(duì)兩種算法的不同解在-3 dB的信噪比下進(jìn)行了誤碼率性能對(duì)比，圖3和圖4是兩種不同速率下的帶寬性能對(duì)比結(jié)果。

從圖3和圖4中可以看出，盡管ESPRIT算法所需的帶通濾波器的最小帶寬要比零化濾波算法大，但是在能夠允許的相同帶通濾波器的帶寬下，ESPRIT算法的誤碼率性能要明顯好于零化濾波算法，并且?guī)捲綄?，ESPRIT算法的性能就越好。根據(jù)圖3和圖4的帶寬性能，本文將20 Mbps的信號(hào)碼速率下的80 MHz帶寬的帶通濾波器和40 Mbps的信號(hào)碼速率下的160 MHz帶寬的帶通濾波器的數(shù)據(jù)進(jìn)行了信噪比性能的仿真，圖5和圖6是仿真結(jié)果。

圖3 不同算法的帶通濾波器帶寬在20 Mbps的信號(hào)碼速率下的性能對(duì)比(信噪比為-3 dB)Fig. 3 Different algorithms performance on band-pass filter bandwidth with 20 Mbps symbol rate (SNR is -3 dB)

圖4 不同算法的帶通濾波器帶寬在40 Mbps的信號(hào)碼速率下的性能對(duì)比(信噪比為-3 dB)Fig. 4 Different algorithms performance on band-pass filter bandwidth with 40 Mbps symbol rate (SNR is -3 dB)

圖5 不同算法在20 Mbps的信號(hào)碼速率下的信噪比性能對(duì)比(帶通濾波器帶寬為80 MHz)Fig. 5 Different algorithms performance on SNR with 20 Mbps symbol rate (band-pass filter bandwidth is 80 MHz)

圖6 不同算法在40 Mbps的信號(hào)碼速率下的信噪比性能對(duì)比(帶通濾波器帶寬為160 MHz)Fig. 6 Different algorithms performance on SNR with 40 Mbps symbol rate (band-pass filter bandwidth is 160 MHz)

從圖5和圖6中可以看出，ESPRIT算法的誤碼率性能比TLS解的零化濾波算法要高出2 dB，比LS解的零化濾波算法要高出4 dB。在圖3～圖6中，我們發(fā)現(xiàn)ESPRIT算法在LS解和TLS解方面的性能差別幾乎沒有，原因是在零化濾波算法中，TLS解同時(shí)考慮了不同時(shí)刻信號(hào)的噪聲，LS解只考慮了某一時(shí)刻信號(hào)的噪聲；在ESPRIT算法中則進(jìn)行了噪聲維度的設(shè)定，在設(shè)定噪聲維度的時(shí)候就考慮了不同時(shí)刻信號(hào)的噪聲。從第3節(jié)中的ESPRIT的LS和TLS的計(jì)算過程上看，LS解的計(jì)算量要明顯少于TLS解，因此，ESPRIT算法的LS解的應(yīng)用前景較大。

5 結(jié)論

本文基于PPM-UWB帶通欠采樣信號(hào)進(jìn)行了重建算法的探討和分析，從頻率分辨率的角度，在滿足信號(hào)新息率的條件下，得出提高采樣率并不能增加固定帶通帶寬內(nèi)的頻域采樣點(diǎn)數(shù)，即不能提高系統(tǒng)性能。本文隨后給出了零化濾波算法和ESPRIT算法的濾波器帶寬和信噪比的性能，仿真結(jié)果表明，ESPRIT算法所需的最小帶通濾波器的帶寬比零化濾波算法略高，但是其具有在同等條件下明顯高于零化濾波算法的性能，綜合算法性能和計(jì)算過程來看，ESPRIT算法的LS解在工程中具有較大的應(yīng)用前景。

[1]楊峰, 胡劍浩, 李少謙. 欠采樣技術(shù)的超寬帶信號(hào)子空間重建方法[J]. 電子科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2010, 39(6): 841-844. Yang Feng, Hu Jian-hao, and Li Shao-qian. Subspace reconstruction method of UWB signals based on subsampling[J].Journal of University of Electronic Science and Technology of China, 2010, 39(6): 841-844.

[2]周田華, 何寧, 敖發(fā)良. 水下光通信PPM數(shù)字接收機(jī)的DSP實(shí)現(xiàn)[J]. 光學(xué)技術(shù), 2006, 32(Suppl.): 607-609. Zhou Tian-hua, He Ning, and Ao Fa-liang. The realization of PPM digital receiver with DSP in underwater optical communication[J].Optical Technique, 2006, 32(Suppl.): 607-609.

[3]吳建軍, 梁慶林, 項(xiàng)海格. 稀疏多徑信道下非相干UWBPPM接收機(jī)的多區(qū)積分優(yōu)化方法[J]. 電子與信息學(xué)報(bào), 2007, 29(9): 2168-2172. Wu Jian-jun, Liang Qing-lin, and Xiang Hai-ge. Multiple sub-intervals integration period optimization for noncoherent UWB-PPM receiver in sparse multipath channels[J].Journal of Electronics&Information Technology, 2007, 29(9): 2168-2172.

[4]陳海燕, 劉威, 李莉. 基于雙濾波器的全光超寬帶脈沖調(diào)制研究[J]. 光通信技術(shù), 2014, 38(7): 17-19. Chen Hai-yan, Liu Wei, and Li Li. Research of all-opticalultra wideband pulse modulation based on double filter[J].Optical Communication Technology, 2014, 38(7): 17-19.

[5]裴志軍, 孫守梅, 張平, 等. 基于有限更新率采樣的UWB信號(hào)處理技術(shù)[J]. 天津工程師范學(xué)院學(xué)報(bào), 2009, 19(3): 10-13. Pei Zhi-jun, Sun Shou-mei, Zhang Ping,et al.. UWB signal processing based on sampling with finite rate of innovation[J].Journal of Tianjin University of Technology and Education, 2009, 19(3): 10-13.

[6]Vetterli M, Marziliano P, and Blu T. Sampling signals with finite rate of innovation[J].IEEE Transactions on Signal Processing, 2002, 50(6): 1417-1428.

[7]Maravic I and Vetterli M. Sampling and reconstruction of signals with finite rate of innovation in the presence of noise[J].IEEE Transactions on Signal Processing, 2005, 53(8): 2788-2805.

[8]Marziliano P, Vetterli M, and Blu T. Sampling and exact reconstruction of bandlimited signals with additive shot noise[J].IEEE Transactions on Information Theory, 2006, 52(5): 2230-2233.

[9]Blu T, Dragotti P L, Vetterli M,et al.. Sparse sampling of signal innovation[J].IEEE Signal Processing Magazine, 2008, 25(2): 31-40.

[10]楊峰, 胡劍浩, 李少謙. 基于欠奈奎斯特采樣的超寬帶信號(hào)總體最小二乘重建算法[J]. 電子與信息學(xué)報(bào), 2010, 32(6): 1418-1422. Yang Feng, Hu Jian-hao, and Li Shao-qian. A total least squares reconstruction algorithm of UWB signals based on sub-Nyquist sampling[J].Journal of Electronics&Information Technology, 2010, 32(6): 1418-1422.

[11]楊峰. 脈沖超寬帶的欠采樣方法研究[D].[博士論文], 成都電子科技大學(xué), 2010. Yang Feng. Research on sub-Nyquist sampling methods for impluse-UWB communications[D].[Ph.D. dissertation], University of Electronic Science and Technology of China, 2010.

[12]康曉非. 超寬帶系統(tǒng)中接收技術(shù)研究[D].[博士論文], 西安電子科技大學(xué), 2012. Kang Xiao-fei. Study on reception techniques for ultra wideband systems[D].[Ph.D. dissertation], University of Electronic Science and Technology of China, 2012.

[13]Ottersten B, Viberg M, and Kailath T. Performance analysis of the total least squares ESPRIT algorithm[J].IEEE Transactions on Signal Processing, 1991, 39(5): 1122-1135.

[14]Manolakis D G, Ingle V K, and Kogon S M. 統(tǒng)計(jì)與自適應(yīng)信號(hào)處理[M]. 北京: 電子工業(yè)出版社, 2003: 465-470. Manolakis D G, Ingle V K, and Kogon S M. Statistical and Adaptive Signal Processing[M]. Beijing: Publishing House of Electronics Industry, 2003: 465-470.

[15]Golub G H and Van Loan C F. 矩陣計(jì)算(第3版)[M]. 北京:人民郵電出版社, 2011: 532-533. Golub G H and Van Loan C F. Matrix Computations (3rd Edition)[M]. Beijing: Posts and Telecom Press, 2011: 532-533.

鄒 寧(1985-)，男，湖北武漢人，2013年在華中科技大學(xué)獲得工學(xué)博士學(xué)位，現(xiàn)在武漢船舶通信研究所數(shù)據(jù)通信部工作(全職)，職稱為工程師；研究方向?yàn)橥ㄐ判盘?hào)處理。

E-mail: dahuangcun@163.com

徐爭光(1982-)，男，講師，研究方向?yàn)橥ㄐ判盘?hào)處理。

冉建華(1971-)，男，高級(jí)工程師，研究方向?yàn)橥ㄐ畔到y(tǒng)建模。

Performance of Reconstruction Algorithm Based on Sub-Nyquist Bandpass Sampling in the Pulse Position Modulation-Ultra Wide Band System

Zou Ning①Xu Zheng-guang②Ran Jian-hua①Li Chao-yang①

①(Wuhan Maritime Communication Research Institute,Wuhan430079,China)

②(Huazhong University of Science and Technology,Wuhan430074,China)

The signal reconstruction algorithm with sub-Nyquist bandpass sampling in Pulse Position Modulation-Ultra Wide Band (PPM-UWB) signal processing is analyzed based on PPM-UWB signal demodulation. Then, the reconstruction method based on the annihilating filter and the Estimation of Signal Parameter via Rotational Invariance Techniques (ESPRIT) algorithm are compared using simulations. The total least squares ESPRIT algorithm, which requires high bandwidth, has better anti-noise performance than the reconstruction method based on the annihilating filter.

Pulse Position Modulation-Ultra Wide Band (PPM-UWB); Sub-Nyquist band-pass sampling; Annihilating filter; ESPRIT algorithm

TN911

A

2095-283X(2015)02-0185-07

10.12000/JR14103

鄒寧, 徐爭光, 冉建華, 等. 基于帶通欠采樣的脈沖超寬帶信號(hào)重建算法性能研究[J]. 雷達(dá)學(xué)報(bào), 2015, 4(2): 185-191. http://dx.doi.org/10.12000/JR14103.

Reference format:Zou Ning, Xu Zheng-guang, Ran Jian-hua,et al.. Performance of reconstruction algorithm based on sub-Nyquist bandpass sampling in the pulse position modulation-ultra wide band system[J].Journal of Radars, 2015, 4(2): 185-191. http://dx.doi.org/10.12000/JR14103.

2014-07-14收到，2015-03-17改回；2015-04-27網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版

國家部委基金資助課題

*通信作者： 鄒寧 dahuangcun@163.com