基于磁滯回線數(shù)學(xué)模型的變壓器勵(lì)磁電流分析

劉 康，程漢湘，郭有翠，朱貴遼

(1.廣東工業(yè)大學(xué)，廣州 510006;2.中山市凱豐電力電子設(shè)備有限公司，廣東 中山 528400)

變壓器是電力系統(tǒng)中的重要設(shè)備，它的安全性和穩(wěn)定性對(duì)整個(gè)電力系統(tǒng)的運(yùn)行具有相當(dāng)?shù)闹匾浴Ｒ虼?，?duì)變壓器在合閘時(shí)產(chǎn)生的勵(lì)磁涌流及直流偏磁影響下的勵(lì)磁電流的分析，是學(xué)者們一直重點(diǎn)研究的方向。勵(lì)磁涌流實(shí)際上就是在鐵芯繞組所施加的電壓突然出現(xiàn)大幅度變化時(shí)，在繞組鐵芯中引起的電場(chǎng)急劇變化，導(dǎo)致鐵芯中的眾多磁偶極子發(fā)生快速偏轉(zhuǎn)，以及磁場(chǎng)產(chǎn)生快速改變，磁場(chǎng)變化速率越高，則對(duì)應(yīng)的磁勢(shì)越大;而磁勢(shì)越大，對(duì)應(yīng)的繞組勵(lì)磁電流也越大，即產(chǎn)生了勵(lì)磁涌流。繞組中存在的直流電流會(huì)使變壓器鐵心中存在相應(yīng)的直流磁動(dòng)勢(shì)和直流磁通，直流磁通與交流磁通相疊加，造成鐵心的迅速飽和，從而對(duì)變壓器和電網(wǎng)運(yùn)行性能產(chǎn)生嚴(yán)重的危害［1］。因此，從鐵磁材料的磁滯軌跡出發(fā)去研究相關(guān)問(wèn)題，對(duì)分析解決問(wèn)題具有重要意義。

近年來(lái)，眾多學(xué)者對(duì)變壓器B－H曲線的確定提出了許多方法。文獻(xiàn)［2］提出了用高階多項(xiàng)式擬合磁滯回線;文獻(xiàn)［3］提出了基于樣條曲線的磁滯回線的擬合方案;文獻(xiàn)［4］和文獻(xiàn)［5］分別提出了標(biāo)準(zhǔn)磁滯回線的測(cè)量方法和直流偏磁條件下磁滯回線的測(cè)量;文獻(xiàn)［6］和文獻(xiàn)［7］則分別采用Pspice和MATLAB仿真軟件對(duì)磁滯回線進(jìn)行建模仿真。但是這些方法大多是采用數(shù)據(jù)擬合，并沒(méi)有針對(duì)磁滯回線的性質(zhì)提出一種通用模型，具有一定的局限性。本文在經(jīng)典Preisach模型基礎(chǔ)之上，得到了一種的磁滯回線數(shù)學(xué)模型，通過(guò)修改模型相關(guān)參數(shù)，可以用于描述大多數(shù)鐵磁材料的磁滯回線。

1 磁滯回線的編程實(shí)現(xiàn)

1.1 磁滯回線數(shù)學(xué)模型［8］

20世紀(jì)70年代，俄國(guó)數(shù)學(xué)家Krasnoselskii首先將磁化材料的磁化特性問(wèn)題歸結(jié)到數(shù)學(xué)模型的建立層面，拋開模型的物理意義，將其表達(dá)成類似譜分析算子式的純數(shù)學(xué)形式。這樣就形成了用于描述任何物理滯后現(xiàn)象的新的數(shù)學(xué)思想。與此同時(shí)，Krasnoselskii的數(shù)學(xué)理論也更深刻地揭示了Preisach模型的現(xiàn)象本質(zhì)，形成了經(jīng)典的 Preisach模型［9－11］(CPM，Classic Preisach Model)。標(biāo)準(zhǔn)磁滯回線如圖1所示。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)磁滯回線Fig.1 Standard hysteresis loop

在圖1中，磁滯回線可分為上升段即cda段，下降段abc段，交點(diǎn)分別為(－Hm，－Bm)和(Hm，Bm)。該磁滯回線的數(shù)學(xué)模型可表示為

在式(1)中，k1＜1，hc可由矯頑力Hc確定的相關(guān)參數(shù)，可令hc=Hc。整個(gè)回線的形狀取決于鐵磁材料的飽和點(diǎn)(Hm，Bm)，在整個(gè)(－Hm，－Bm)區(qū)間上的下降段曲線可用式(2)表示為

當(dāng)H=0時(shí)，得到的Bm(0)即是所對(duì)應(yīng)的剩磁大小。由于磁滯回線的對(duì)稱性，上升段的表達(dá)式可由Bm(－H)得到。通過(guò)調(diào)整式(1)、式(2)中的hc、h1和k1三個(gè)參數(shù)，可得到任意的軟磁和硬磁材料的磁滯回線。要想得到直流偏磁條件下的磁滯回線;在程序中加入一個(gè)假設(shè)的偏磁量，分別對(duì)上下段曲線進(jìn)行修正，可得出直流偏磁條件下大致的磁滯回線。

1.2 磁滯回線編程實(shí)現(xiàn)

由VC++實(shí)現(xiàn)該回線編程，按文獻(xiàn)［8］提供的參數(shù)進(jìn)行設(shè)置，Bm=1.7，Hm=500，hc=70，k1=0.8，h1=30，以 H 的在［－Hm，Hm］區(qū)間上的變化作為輸入變量，將程序所得數(shù)據(jù)生成.dat文件，并使用MATLAB調(diào)用數(shù)據(jù)顯示得到B－H的曲線，即磁滯回線。標(biāo)準(zhǔn)磁滯回線如圖2所示;在上述模型的基礎(chǔ)之上，假定一個(gè)偏磁量ΔB=0.5，得到的具有偏磁影響的磁滯回線如圖3所示。

圖2 無(wú)偏磁量時(shí)編程所得磁滯回線Fig.2 Hysteresis loop obtained by programming at unbiased magnetic amount

圖3 有偏磁量時(shí)編程所得磁滯回線Fig.3 Hysteresis loop obtained by programming at biased magnetic amount

由圖2、圖3可知，由該模型得到的磁滯回線與實(shí)際測(cè)量結(jié)果非常相似，可見(jiàn)該數(shù)學(xué)模型具有較高的準(zhǔn)確性?？捎糜趯?duì)變壓器勵(lì)磁涌流進(jìn)行分析。

2 變壓器勵(lì)磁電流分析

研究工作分為三步，首先，以單相變壓器為例，列出所需的磁路與電路方程，然后用VC++語(yǔ)言對(duì)方程進(jìn)行程序編寫，最后將所得電流與時(shí)間的數(shù)據(jù)對(duì)生成.dat文件。用MATLAB調(diào)用數(shù)據(jù)文件，并對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行分析。

2.1 編程計(jì)算

令變壓器二次側(cè)開路，一次側(cè)連接在電壓u1=220 V的電網(wǎng)上，則可近似認(rèn)為e=u1。

根據(jù)電磁感應(yīng)定律

對(duì)e進(jìn)行積分，可得磁通的表達(dá)式為

根據(jù)磁路定律，可知

式中，S為鐵芯的有效截面積。

全電流定律

對(duì)于每求得的一個(gè)H值，其相應(yīng)的勵(lì)磁電流為

式中，l為主磁路長(zhǎng)度;N為線圈匝數(shù)。

只要知道磁場(chǎng)強(qiáng)度H的表達(dá)式，便可求得勵(lì)磁電流。

由式(2)可求得

由式(1)可得

將式(8)帶入式(9)，則可得到磁場(chǎng)強(qiáng)度 H的表達(dá)式

將(10)代入式(7)即可求出勵(lì)磁電流。由VC++6.0對(duì)以上公式編程，第一步首先設(shè)置相關(guān)參數(shù)，其中 Hm、Bm、hc、h1、k1與本文前述設(shè)置一致，一次側(cè)電壓為220 V，主磁路長(zhǎng)度l=1.1460，線圈匝數(shù)N=2022，鐵芯截面積S=0.025 78，顯示周期為0.02 s，總共顯示2個(gè)周期，頻率為50 Hz，步長(zhǎng)dt為0.000 05，在考慮偏磁的影響時(shí)，先假定一個(gè)偏磁量Bdc，求出來(lái)對(duì)應(yīng)的勵(lì)磁電流波形，與理論波形進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證模型的正確性。假設(shè)變壓器在t=0時(shí)刻合閘，不考慮剩磁的影響。程序流程圖如圖4所示。

圖4 程序流程圖Fig.4 Flow chart of program

2.2 結(jié)果及分析

將所得的結(jié)果生成.dat文件，使用MATLAB調(diào)用顯示，所得電流波形如圖5、圖6所示。

圖5 不加偏磁量的勵(lì)磁電流Fig.5 Excitation current magnetic without biasing magnetic amount

由圖5、圖6可以看出，由該回線數(shù)學(xué)模型編程所得到的勵(lì)磁電流波形與直流偏磁條件下變壓器勵(lì)磁電流的實(shí)際波形非常接近，隨著偏磁量的增加，變壓器的勵(lì)磁電流畸變?cè)絹?lái)越嚴(yán)重，并出現(xiàn)嚴(yán)重的半周飽和。

圖6 加偏磁量時(shí)勵(lì)磁電流波形Fig.6 Excitation current waveform added bias magnetic amount

3 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)經(jīng)典Preisach模型進(jìn)行改進(jìn)，并修正模型相關(guān)參數(shù)，得到了直流偏磁影響下的磁滯回線，若將該磁滯回線方程與電路方程相結(jié)合，可得到對(duì)應(yīng)的勵(lì)磁電流波形。用MATLAB仿真軟件對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證，得出該模型能正確反映變壓器勵(lì)磁電流實(shí)際波形，由此，為解決變壓器直流偏磁條件下的勵(lì)磁電流問(wèn)題提供了新方法。

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