一維非散度橢圓方程解的二階導(dǎo)數(shù)的高階可積性

白晉彥

(晉中學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,山西 晉中 030600)

一維非散度橢圓方程解的二階導(dǎo)數(shù)的高階可積性

白晉彥

(晉中學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,山西 晉中 030600)

一維;非散度橢圓方程;低階項;高階可積性

0 引言

很多學(xué)者已經(jīng)對橢圓方程解的高階可積性問題進行了研究.Companato在文[1]中建立了解的二階導(dǎo)數(shù)的高階可積性,同樣的方法被運用到散度橢圓方程后得到同樣的結(jié)果[2].M.Franciosi和G.Moscariello在文[3]中,證明了如果函數(shù)f滿足反向積分不等式, 那么非增重排函數(shù)f滿足同樣的不等式, 并且作為反向積分不等式的應(yīng)用, 在一維情況下給出了高階可積性的簡單證明.T.Radice對不帶低階項的非散度橢圓方程解的二階導(dǎo)數(shù)的高階可積性進行了研究[4].本文的主要目的是對一維情況下的帶低階項的非散度橢圓方程低階項系數(shù)做了處理,得出了帶低階項的非散度橢圓方程解得二階導(dǎo)數(shù)的高階可積性結(jié)果.

考慮算子

(1)

這里主要研究方程

(2)

解的二階導(dǎo)數(shù)的高階可積性.假設(shè)系數(shù)滿足下面的條件:

(H1) 1≤a(x)≤K.

(3)

(4)

(5)

本文的主要結(jié)論是:

(6)

這里2I與I是同一中心,并且長是I的兩倍.

下邊的L2估計是證明定理1的核心.

(7)

這里|uxx|∈L2(Ω)并且h∈L2(Ω).

這里常數(shù)C≥0依賴于對我們的研究無關(guān)緊要的常數(shù), 文中出現(xiàn)的C可能不是同一個常數(shù).

1 預(yù)備知識

引理1[4]設(shè)u∈W2,2(Ω), 對任意的ε>0, 我們有

上述引理可根據(jù)文獻(xiàn)[4]中的方法很容易驗證.

引理4(高階Poincaré不等式,見[6]) 若u∈W2,s(Ω),則

引理5(反向H?ider不等式,見[5])設(shè)Ω是R中的有界開集,g∈Lq(Ω),q>1, 若對任意區(qū)間I?2I??Ω,

以上引理均可根據(jù)文獻(xiàn)中的方法類似推廣到一維情形,容易驗證結(jié)論仍然成立.

2 定理2的證明

根據(jù)假設(shè)(H1)以及方程(2),我們有

不等式兩邊同時在Ω上積分,并利用H?lder不等式,則有

即

所以,

運用插值不等式,可得

故

即

3 定理1的證明

(8)

根據(jù)定理2和假設(shè)(H1),有

由于

即

(9)

注意到v=φu,那么

并且有

(10)

聯(lián)立(9)和(10)即得

記η=|φx|,運用引理3和|ηx|=|φxx|,我們有

令φ=ψ2則

因此有

利用不等式(a+b)2≤2(a2+b2)我們得到

定理證明:

用此處的ψ代入(8),得到

即

運用高階Poincaré不等式

據(jù)反向H?ider不等式得

[1] CAMPANATO S.Un risultato relativeo ad equazioni ellittiche del secondo ordine di tipo non variazionale[J].Ann.Scuola Norm.Sup.Pisa,1967,21(4):701-707

[2] MEYERS N G. AnLpestimate for the gradient of solutions of second order elliptic divergence equations[J].Ann.Sc.Norm.Sup.Pisa,1963,17(3):189-206

[3] FRANCIOSI M,Moscariello G.Higher integrability results[J].Manuscripta Math.,1985,52(1-3):151-170

[4] RADICE T. A higher integrability result for nondivergence elliptic equations[J].Annali di Matematica,2008,187(1):93-103

[5] WU Z Q,YI J X,WANG C P.An introduction to elliptic and parabolic equations[M].Beijing:Science Press,2003:12-16

[6] COHN W S,LU G Z,WANG P Y.Sub-elliptic global high order poincaré inequalities in stratified Lie groups and applications[J].Journal of Functional Analysis,2007,249(2):393-424

[7] AUBIN J P.Applied functional analysis[M].Paris:University of Paris-Dauphine,1979:153

Higher Integrability Result for Solutions to Nondivergence Elliptic Equations in the One Dimensional

BAI Jinyan

(Mathematics School of Jinzhong University,Jinzhong 030600, China)

onedimensional;nondivergenceellipticequation;loworderterms;higherintegrability

2015-10-16

白晉彥(1987-)，女,山西朔州人,碩士,晉中學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院助教,主要從事偏微分方程的研究.

1672-2027(2015)04-0008-04

O175.25

A