基于線性擬合的顆粒材料破碎狀態(tài)表征

李 希 ，張 升 ，童晨曦 ，盛岱超 ，李 鵬

(1. 中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410075；2. 高速鐵路建造技術(shù)國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410075；3. 湖南省高速公路建設(shè)開(kāi)發(fā)總公司，湖南 長(zhǎng)沙 410022)

1 引 言

與礦物組成一樣，顆粒組成特征也是進(jìn)行土分類的主要指標(biāo)，決定著土的工程性質(zhì)及基本物理力學(xué)性質(zhì)，但在內(nèi)外界因素影響下材料極易因顆粒破碎而使級(jí)配特征發(fā)生變化，對(duì)土的宏觀物理力學(xué)性質(zhì)產(chǎn)生影響。近些年來(lái)，隨著大型土石壩、海洋港口工程及大型土工機(jī)械的興起，顆粒破碎問(wèn)題引起了廣泛關(guān)注，并成為巖土工程領(lǐng)域具有廣泛研究意義的新課題。

Lade 等[1]、Marsal[2]及 Hardin、Lee 等[3－4]提出了表征顆粒破碎的方法，其中Hardin提出的相對(duì)破碎率 Br的概念被廣泛采用[5－6]。但是，Turcotte[7]、Coop等[8]、Mcdowell等[9]指出，破碎后級(jí)配曲線會(huì)趨于分形狀態(tài)，并非無(wú)限制破碎至粉粒。據(jù)此，Einav[10]基于分形理論提出修正 Hardin破碎指標(biāo)，使得定量描述破碎程度的方法更為完整。然而，在水力滲透等因素作用下發(fā)生管涌，使細(xì)顆粒不斷流失，也同樣會(huì)改變材料組成特性，Hardin等的方法顯然不再適用。

另一方面，目前所建立起來(lái)的本構(gòu)模型也僅針對(duì)于特定類型的土，如Cam-Clay模型[11]多適用于細(xì)顆粒的黏土，Lade等[12]、Wang等[13]提出的模型多適用于較粗顆粒的砂土，而Carles[14]、Penman[15]等提出了描述堆石料的本構(gòu)模型。

土由不同大小、性狀顆粒聚合而成的散粒體，顆粒組成特征因破碎、管涌而持續(xù)演化是其固有特征。這意味著顆粒組成特征像孔隙比、結(jié)構(gòu)性等土的其他參數(shù)一樣，隨應(yīng)力和水力狀態(tài)變化而變化，由材料的物理參數(shù)變成了模型參數(shù)。

因此，研究顆粒破碎問(wèn)題可以按照以下思路，具體可分為3個(gè)環(huán)節(jié)：（1）選擇能夠統(tǒng)一定量地描述顆粒組成特性變化的狀態(tài)指標(biāo)；（2）探討所提出的狀態(tài)指標(biāo)與土的力學(xué)特性參數(shù)之間的關(guān)系；（3）將該狀態(tài)指標(biāo)作為狀態(tài)變量，引入土的本構(gòu)模型，最終建立起同時(shí)適用于將粗、細(xì)顆粒料的統(tǒng)一本構(gòu)模型。

選擇合理而簡(jiǎn)單的顆粒組成特性指標(biāo)是整個(gè)研究的前提和基礎(chǔ)，針對(duì)此問(wèn)題，本文建立了一種新方法開(kāi)展相關(guān)研究。首先，探討顆粒級(jí)配隨破碎的發(fā)展的內(nèi)在規(guī)律，利用線性擬合方法，提出新的破碎狀態(tài)表征指標(biāo)。其次，利用擬合直線的斜率和相關(guān)系數(shù)的變化規(guī)律描述級(jí)配曲線隨顆粒破碎的演化。在此基礎(chǔ)上提出了破碎分形指數(shù)與破碎分形相關(guān)性指數(shù)的概念，通過(guò)與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比，驗(yàn)證了新方法的合理性。

2 顆粒破碎過(guò)程描述

對(duì)于任一特定級(jí)配土樣，顆粒組成演化歷史復(fù)雜，可以視為相對(duì)的初始破碎起點(diǎn)。隨著破碎的發(fā)展，級(jí)配曲線的分形特征越發(fā)明顯，并存在特定的破碎界限[7－9]，可以視之為破碎終點(diǎn)，正如臨界狀態(tài)土力學(xué)框架中土的初始狀態(tài)和臨界狀態(tài)的關(guān)系。另一方面，從初始破碎狀態(tài)發(fā)展到最終破碎狀態(tài)，大量的研究表明，隨著顆粒不斷破碎，大顆粒不斷破碎為更細(xì)小的顆粒，導(dǎo)致細(xì)顆粒含量不斷增加，級(jí)配曲線不斷抬升，且在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)下線性關(guān)系越來(lái)越明顯，表現(xiàn)出明顯的分形特性（見(jiàn)圖1）。因此，可以利用線性擬合的方法來(lái)對(duì)破碎的演化進(jìn)行描述，下文將重點(diǎn)進(jìn)行論述。

圖1 破碎發(fā)展下的級(jí)配曲線線性擬合的演化Fig.1 Revolution of fitting line of particle grading contributed by particle crushing

2.1 顆粒破碎狀態(tài)表征指標(biāo)

為了消除不同試樣粒徑尺寸的影響，對(duì)顆粒粒徑進(jìn)行歸一化處理，選擇lnP(D)-ln(D/DM)坐標(biāo)系，同時(shí)，本文選擇最小二乘法進(jìn)行線性擬合，D為任意粒徑；DM為最大粒徑；P(D)為顆粒通過(guò)率（用百分?jǐn)?shù)表示），并假定：（1）無(wú)論顆粒粒徑大小，顆粒密度均相同；（2）顆粒粒徑在最小和最大顆粒粒徑區(qū)間[Dm，DM]接近連續(xù)分布；（3）最大粒組顆粒不會(huì)完全破碎。

如圖1所示，級(jí)配曲線的擬合直線包括截距c、斜率b及線性相關(guān)系數(shù)2ρ三個(gè)參數(shù)。截距c表示最大粒徑對(duì)應(yīng)的通過(guò)率，由于假定最大粒組顆粒不會(huì)完全破碎[16]，通過(guò)率用百分?jǐn)?shù)表示，則截距c≡lnP(D)=ln100=4.605，為已知定值。

級(jí)配曲線方程P=lnP(D)，設(shè)y=ln(P(D))，x=ln(D/DM)，則擬合直線為

擬合直線斜率b反映了材料級(jí)配組成特征，并能夠反映破碎的發(fā)展規(guī)律：b越大表示粗顆粒含量越多，破碎程度越低，在外力作用下更容易產(chǎn)生顆粒破碎；b越小說(shuō)明材料細(xì)顆粒含量越多，材料破碎越充分，級(jí)配分形特性越明顯，從而也更難發(fā)生進(jìn)一步破碎?？梢詫⑵涠x為破碎分形指數(shù)。

相關(guān)系數(shù)為2ρ，由最小二乘法可得

由此可見(jiàn)，線性相關(guān)系數(shù)2ρ同樣反映材料級(jí)配組成特征及破碎的發(fā)展規(guī)律：當(dāng)2ρ較小時(shí)，表示各粒組間組成差異較大，顆粒級(jí)配不好，材料易發(fā)生進(jìn)一步破碎；隨著破碎的發(fā)展，2ρ逐漸增大并趨向于 1，表示各粒組含量趨向于更難進(jìn)一步破碎的分形方向發(fā)展，最終到達(dá)破碎終止?fàn)顟B(tài)?？梢詫⑵涠x為破碎分形相關(guān)性指數(shù)。

綜上所述，截距c恒為定值，表明最大粒組顆粒不會(huì)完全破碎；斜率b及相關(guān)系數(shù)2ρ由材料最初的破碎狀態(tài)決定，并可以用來(lái)表征顆粒破碎發(fā)生的可能性及終止?fàn)顟B(tài)。b和2ρ的變化與破碎的發(fā)展存在明顯的對(duì)應(yīng)關(guān)系。因此，可以用這兩個(gè)參數(shù)對(duì)破碎狀態(tài)進(jìn)行表征。

2.2 破碎表征指標(biāo)的發(fā)展規(guī)律

本節(jié)從理論上對(duì)b和2ρ隨顆粒破碎的發(fā)展變化給予證明。

對(duì)于 b，設(shè) P0(D)、P1(D)分別為破碎前后的顆粒通過(guò)率，則顆粒破碎前后擬合直線斜率變化：

顆粒破碎使級(jí)配曲線“抬升”，在粒徑區(qū)間[Dm，DM]上有 P0(D)≤P1(D)，ln(P1(D)/P0(D))≥0。又由于顆粒級(jí)配曲線采用累積百分含量，在[Dm，DM]區(qū)間內(nèi)越趨向于小顆粒粒徑端級(jí)配曲線被“抬升”的越高，越趨向于大顆粒粒徑端 P0(D)與 P1(D)相差越小，如圖2所示。故ln(P1(D)/P0(D))在[Dm，DM]區(qū)間單調(diào)遞減，從而有

因?yàn)閍＜0，從而Δb＜0。即分形指數(shù) b隨顆粒破碎的不斷發(fā)展而逐漸減小。

圖2 級(jí)配曲線隨顆粒破碎變化示意圖Fig.2 Sketch of revolution of grading with particle crushing

對(duì)于2ρ，Tyler等[17－18]通過(guò)假設(shè)不同的土壤粒級(jí)具有相同的密度等條件，用顆粒質(zhì)量代替顆粒的體積，推導(dǎo)出顆粒質(zhì)量與粒徑的分維數(shù)關(guān)系為

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

本文收集了一些典型顆粒破碎試驗(yàn)的研究成果，對(duì)所建立的方法進(jìn)行檢驗(yàn)。

為研究壩體材料級(jí)配與壩體滲透性之間的關(guān)系，Lade[1]對(duì)質(zhì)密威爾士砂開(kāi)展了三軸排水顆粒破碎試驗(yàn)，圍壓分別為2.22、4、8、26、60 MPa情況下顆粒破碎情況如圖3所示。按本文提出的方法，對(duì)級(jí)配曲線進(jìn)行線性擬合，所得級(jí)配參數(shù)見(jiàn)表 1。由表中可以看出，在復(fù)雜的三軸應(yīng)力條件下砂樣產(chǎn)生了明顯的顆粒破碎。級(jí)配曲線隨顆粒破碎不斷被“抬升”，相應(yīng)的b值減小，2ρ趨向于1。

圖3 Lade[1]三軸排水壓縮試驗(yàn)顆粒級(jí)配變化Fig.3 Evolution of grain-size distribution curves for drained triaxial compression tests of Lade[1]

表1 Lade[1]三軸試驗(yàn)擬合直線參數(shù)b、2ρ值Table 1 Values of linear fit parameters b,2ρof triaxial compression tests of Lade[1]

Mayoraz等[19]從形態(tài)學(xué)的角度探討了在側(cè)限壓縮條件下顆粒破碎的發(fā)展演化，對(duì)比了兩種不同強(qiáng)度的材料不同級(jí)配對(duì)顆粒破碎的影響，其中砂巖在軸壓分別為0.5、1、3 MPa相應(yīng)的擬合直線參數(shù)見(jiàn)表 2。由表中可以看出，側(cè)限壓縮條件下砂巖顆粒破碎明顯，并且隨著顆粒破碎的發(fā)展，細(xì)顆粒含量增加；相應(yīng)的，擬合直線繞定點(diǎn)（0，4.6）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，破碎分形指數(shù)b減小，破碎分形相關(guān)性指數(shù)2ρ趨向于1。

表2 Mayoraz[19]側(cè)限壓縮試驗(yàn)擬合直線參數(shù)b、2ρ值Table 2 Values of linear fit parameters b,2ρa(bǔ)fter monotonic loading of Mayoraz[19]

利用大型直剪儀提供的軸向壓力，對(duì)特定初始級(jí)配的玄武巖開(kāi)展了同一軸壓下的反復(fù)側(cè)限壓縮試驗(yàn)?？刂泼看卧囼?yàn)壓力為2.4 MPa，以試樣不再產(chǎn)生軸向壓縮為終止條件。壓縮完成后進(jìn)行篩分，再重新裝樣進(jìn)行下一次試驗(yàn)。隨試驗(yàn)次數(shù)增加，顆粒破碎狀態(tài)參數(shù)見(jiàn)表 3。從表中可以看出，級(jí)配曲線有與三軸及側(cè)限壓縮應(yīng)力條件下有相同的發(fā)展趨勢(shì)。

表3 擬合參數(shù)b、ρ2隨軸壓次數(shù)發(fā)展變化Table 3 Values of linear fit parameters b,ρ2after different loading numbers

4 結(jié) 論

（1）利用線性擬合方法，提出了利用線性擬合直線斜率b及相關(guān)系數(shù)2ρ表征顆粒破碎狀態(tài)的方法。通過(guò)擬合直線參數(shù)的變化，能夠定量地描述破碎狀態(tài)的發(fā)展演化過(guò)程。

（2）通過(guò)相關(guān)破碎試驗(yàn)及理論分析，論述了所選顆粒破碎狀態(tài)參數(shù)b及2ρ隨顆粒破碎的變化趨勢(shì)：隨著顆粒破碎的發(fā)展，破碎狀態(tài)參數(shù)b隨之減小，并且2ρ趨向于1，擬合直線繞定點(diǎn)（0，4.605）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)?？梢苑从愁w粒破碎狀態(tài)特性。

通過(guò)相關(guān)破碎試驗(yàn)，驗(yàn)證了該模型的合理性，并且對(duì)所選參數(shù)也做了進(jìn)一步的理論闡述和試驗(yàn)驗(yàn)證，理論值與試驗(yàn)值相吻合。

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