考慮氣-液交界面的非飽和土有效應(yīng)力公式

張 昭，劉奉銀，張國(guó)平

（1. 西安理工大學(xué) 巖土工程研究所，陜西 西安 710048；2. 麻省大學(xué)阿姆斯特分校 土木及環(huán)境工程系，美國(guó) 阿姆斯特 01003）

1 引 言

Terzaghi于1936年的有效應(yīng)力原理是飽和土力學(xué)的理論基礎(chǔ)之一，不僅將土骨架內(nèi)總應(yīng)力與流體相壓力組合，而且描述了土骨架的力學(xué)變形特性。隨后學(xué)者們[1－8]致力于將其推廣至非飽和土，其中Bishop于1959年提出了非飽和土有效應(yīng)力的單變量公式[1]。該公式的優(yōu)勢(shì)在于將多相介質(zhì)通過力學(xué)等效轉(zhuǎn)化為單相介質(zhì)，其中的有效應(yīng)力參數(shù)χ描述了基質(zhì)吸力對(duì)有效應(yīng)力的貢獻(xiàn)。學(xué)者們從理論和試驗(yàn)方面對(duì)χ的變化規(guī)律進(jìn)行了一系列定量研究。陳正漢等[2]用兩種孔隙率的非飽和土的體積模量來表征χ。Loret等[3]和Laloui等[4]認(rèn)為χ應(yīng)表示為土孔隙尺寸、孔隙氣壓力和孔隙水壓力的函數(shù)。Alonso等[5]從理論上證明了飽和度不能直接表示χ。Khalili等[6]在總結(jié)分析了大量控制基質(zhì)吸力的直剪和三軸剪切試驗(yàn)結(jié)果后得出用基質(zhì)吸力ψ和進(jìn)氣值ψaev表示的χ表達(dá)式，并對(duì)3種土進(jìn)行了多階段減、增濕三軸剪切試驗(yàn)[7]，結(jié)果發(fā)現(xiàn)干濕循環(huán)對(duì)χ影響顯著（尤其在掃描階段），并將他們?cè)谖墨I(xiàn)[6]中提出的χ表達(dá)式推廣至干濕循環(huán)階段。然而，上述研究均未深入討論干濕循環(huán)對(duì)有效應(yīng)力（或有效應(yīng)力參數(shù)χ）的影響機(jī)制。實(shí)際上，土骨架中氣、液、固三相及其交界面（如氣-液交界面）的相互作用從微觀角度控制著其力學(xué)特性，Khalili等[7]也將干濕循環(huán)對(duì)χ的顯著影響歸結(jié)為氣-液交界面的影響，但未考慮這種相間交界面對(duì)有效應(yīng)力的貢獻(xiàn)。氣-液交界面可將毛細(xì)作用力施加在土顆粒上以阻止其在外力作用時(shí)滑動(dòng)[8]，而毛細(xì)作用力在非飽和土的有效應(yīng)力中有顯著貢獻(xiàn)，因缺乏深入認(rèn)識(shí)而在有效應(yīng)力公式中常被忽略，而且氣-液交界面如何通過毛細(xì)作用影響有效應(yīng)力尚未得到土力學(xué)界的證實(shí)。此外，要模擬非飽和土的力-水耦合特性，尚需完整認(rèn)識(shí)土骨架內(nèi)部的應(yīng)力狀態(tài)及其對(duì)氣-液交界面自由能的影響。近年來，Coussy[9]和Pereira等[10]通過在有效應(yīng)力公式中考慮氣-液交界面的自由能以反映其影響，但未考慮相間交界面的守恒方程。值得注意的是，非飽和土可簡(jiǎn)化為氣、液、固三相及其交界面組成的集合體，Houlsby[11]、Zhao等[12]、Fuentes等[13]雖利用熱力學(xué)原理和多孔介質(zhì)理論研究了非飽和土的變形功和有效應(yīng)力的關(guān)系，但均未考慮氣-液交界面。Hassanizadeh等[14]較早地考慮了氣、液、固三相及其交界面，用以模擬非飽和土內(nèi)氣、液兩相的流動(dòng)，但未考慮力-水耦合特性。

為此，遵照Hassanizadeh等[14]的方法，建立氣、液、固三相及其交界面的守恒方程和相應(yīng)的限制條件，求解有效應(yīng)力公式時(shí)采用的守恒方程屬普適性方程，力-水耦合特性的特殊性多反映在本構(gòu)假定中，筆者在Helmholtz自由能中考慮力-水耦合特性，試圖推導(dǎo)考慮氣-液交界面的非飽和土有效應(yīng)力公式；根據(jù)該公式確定有效應(yīng)力參數(shù)后，利用Khalili等[7]對(duì)3種土的多階段減、增濕三軸剪切試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證有效應(yīng)力參數(shù)表達(dá)式比較已有文獻(xiàn)表達(dá)式在描述干濕循環(huán)下有效應(yīng)力參數(shù)與基質(zhì)吸力關(guān)系時(shí)的有效性。

2 有效應(yīng)力公式的推導(dǎo)

2.1 各相及其交界面的守恒方程

對(duì)非飽和土中的流體相考慮為液、氣兩相，分別用l、a表示。固相為土骨架，用s表示。氣、液、固三相相互接觸且兩兩形成交界面，即氣-液交界面，用la表示；固-液交界面，用ls表示；固-氣交界面，用as表示；在3個(gè)交界面間存在一條公共線，用las表示，不僅聯(lián)系各相及其交界面，而且實(shí)現(xiàn)各交界面質(zhì)量、動(dòng)量、能量和熵的轉(zhuǎn)換。

2.1.1 質(zhì)量守恒方程

此外，若假定公共線不存在熱力學(xué)性質(zhì)，則上述守恒方程中相應(yīng)的交換項(xiàng)滿足如下限制條件：

2.2 在Helmholtz自由能中考慮力-水耦合特性

上述守恒方程不能完整表征各相及其交界面組成的集合體，需補(bǔ)充本構(gòu)假定。出于推導(dǎo)簡(jiǎn)便，在本構(gòu)假定中可采用各相及其交界面的Helmholtz自由能函數(shù)替換相應(yīng)的內(nèi)能：

如前所述，力-水耦合特性在本構(gòu)假定中的反映，筆者通過在各相及其交界面的Helmholtz自由能中考慮力-水耦合特性以實(shí)現(xiàn)。土力學(xué)中認(rèn)為土顆粒呈剛性，則此時(shí)土顆粒運(yùn)動(dòng)引起的土材料孔隙變化會(huì)使氣-液交界面的曲率發(fā)生變化，致使其Helmholtz自由能也發(fā)生變化[16]，可忽略對(duì)固-液、固-氣交界面 Helmholtz自由能的影響。為表征力-水耦合特性，可以假定氣-液交界面的Helmholtz自由能與固相的拉格朗日應(yīng)變張量有關(guān)，筆者從土力學(xué)角度假定它與土材料的孔隙率ε有關(guān)，則此時(shí)Helmholtz自由能可表示為關(guān)于如下獨(dú)立變量的函數(shù)：

2.3 考慮氣-液交界面的有效應(yīng)力公式

3 有效應(yīng)力參數(shù)的確定

章節(jié)2提出的有效應(yīng)力公式（17）因包含表征氣-液交界面影響的lalak AI項(xiàng)而不同于傳統(tǒng)的單變量公式，但可將其整理為與類似的形式，以確定有效應(yīng)力參數(shù)χ：

圖1 F-75 Ottawa砂內(nèi)氣-液交界面的面積密度 A la 與飽和度 sl的關(guān)系Fig.1 Areal density of air-liquid interface Alaversus degree of saturationslin F-75 Ottawa sand

4 有效應(yīng)力公式的驗(yàn)證

Khalili等[7]對(duì)布法羅大壩低塑性黏土（簡(jiǎn)稱BC）、伯克低塑性粉土（簡(jiǎn)稱BS）、悉尼砂（75%）和高嶺土（25%）的混和土（簡(jiǎn)稱 SS-KL）3種壓實(shí)試樣（初始干密度ρd0=1.80、1.53、1.63 g/cm3）進(jìn)行了多階段減、增濕三軸剪切試驗(yàn)（試驗(yàn)用土的物理力學(xué)性質(zhì)參數(shù)見文獻(xiàn)[7]）：先對(duì)飽和試樣進(jìn)行常規(guī)固結(jié)排水試驗(yàn)，進(jìn)而減濕至預(yù)設(shè)的基質(zhì)吸力值，再進(jìn)行控制基質(zhì)吸力的固結(jié)排水試驗(yàn)，如此交替，最后進(jìn)行控制凈應(yīng)力和軸向應(yīng)變的增濕試驗(yàn)，在邊界減、增濕和掃描階段測(cè)定了不同基質(zhì)吸力對(duì)應(yīng)的飽和度及有效應(yīng)力參數(shù)。筆者利用該試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證式（20）在表征干濕循環(huán)下有效應(yīng)力參數(shù)χ與基質(zhì)吸力ψ關(guān)系時(shí)的有效性。

首先，采用 Fredlund等[20]和 Khalili等[21]提出的模型分別對(duì)邊界減、增濕和掃描階段的持水實(shí)測(cè)值（基質(zhì)吸力與飽和度）進(jìn)行擬合：

式中：m、n、a、Z、U、Y均為擬合參數(shù)；patm為大氣壓力（101 kPa）。對(duì)邊界減、增濕階段的持水實(shí)測(cè)值擬合時(shí)，先確定控制持水曲線殘余段位置的參數(shù)m[20]，使擬合曲線通過邊界減、增濕階段的最后一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，再利用約束型最小二乘法確定參數(shù)a、n，進(jìn)而利用拉格朗日乘數(shù)法使擬合曲線逼近連接邊界減、增濕和掃描階段的基質(zhì)吸力反向點(diǎn)；對(duì)掃描階段的持水實(shí)測(cè)值擬合時(shí)，先確定參數(shù)U，再通過調(diào)整參數(shù)Y和Z使擬合曲線亦能通過兩個(gè)基質(zhì)吸力反向點(diǎn)，以實(shí)現(xiàn)該曲線在基質(zhì)吸力反向點(diǎn)處連續(xù)。3種土的持水實(shí)測(cè)值、式（21）確定的擬合曲線及相應(yīng)的模型擬合參數(shù)如圖2所示。從圖中可以看出，式（21）適于表征3種土在干濕循環(huán)下的持水特性。其次，將邊界減、增濕階段持水模型的擬合曲線代入式（20），使之與相應(yīng)階段中不同基質(zhì)吸力對(duì)應(yīng)的有效應(yīng)力參數(shù)實(shí)測(cè)值進(jìn)行擬合確定其中的參數(shù)Cmn。最后，將掃描階段持水模型的擬合曲線代入?yún)?shù)Cmn已知的式（20）中，得到該階段不同基質(zhì)吸力對(duì)應(yīng)的有效應(yīng)力參數(shù)χ預(yù)測(cè)值。

此外， Khalili等[7]也提出了邊界和掃描階段的χ表達(dá)式：

圖2 3種土在邊界減、增濕和掃描階段的持水實(shí)測(cè)值[7]及其擬合曲線Fig.2 Curves of measured[7] and fitted boundary drying-wetting and scanning water retention for three soils

圖3 3種土在邊界減、增濕和掃描階段的有效應(yīng)力參數(shù)擬合(預(yù)測(cè)值)值、實(shí)測(cè)值[7]與基質(zhì)吸力的關(guān)系Fig.3 Measured[7] and fitted (predicted) effective parametersvs. matric suction in boundary drying-wettingand scanning process for three soils

5 結(jié) 論

（1）將非飽和土簡(jiǎn)化為各相及其交界面組成的集合體，假定氣-液交界面的Helmholtz自由能與土材料的孔隙率有關(guān)。將各相及其相間交界面的守恒方程及Helmholtz自由能函數(shù)的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)聯(lián)立代入熵不等式，根據(jù)該不等式適用于所有熱力學(xué)狀態(tài)推得考慮氣-液交界面面積密度的非飽和土有效應(yīng)力公式。

（2）將氣-液交界面的面積密度表示為基質(zhì)吸力與飽和度的函數(shù)，得到有效應(yīng)力參數(shù)的表達(dá)式。最后，利用已有文獻(xiàn)中3種土的多階段減、增濕三軸剪切試驗(yàn)結(jié)果，對(duì)比分析了有效應(yīng)力參數(shù)表達(dá)式與已有文獻(xiàn)表達(dá)式在表征干濕循環(huán)下有效應(yīng)力參數(shù)與基質(zhì)吸力關(guān)系時(shí)的有效性。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，該表達(dá)式對(duì)邊界減、增濕及掃描階段有效應(yīng)參數(shù)的擬合（預(yù)測(cè)）效果優(yōu)于已有文獻(xiàn)表達(dá)式，故可證明飽和度變化很小時(shí)有效應(yīng)力參數(shù)的顯著變化是由氣-液交界面變化產(chǎn)生的，有必要在有效應(yīng)力公式中引入氣-液交界面。

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