時間分割圓弧插補的新算法

張永剛

(湖北省十堰市高級技校 湖北 十堰 442000)

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時間分割圓弧插補的新算法

張永剛

(湖北省十堰市高級技校 湖北 十堰 442000)

摘要：針對直流或交流伺服系統(tǒng)常用的時間分割插補算法，提出了圓弧插補的新算法。在內(nèi)接弦線逼近圓弧的各種算法中，此算法通過解析幾何準確推導(dǎo)出了插補計算公式，避免了以往插補算法中的近似計算，并保證粗插補點都在圓弧上，最終的計算公式簡單準確，此算法為插補軟件的實現(xiàn)提供了依據(jù)，采用此算法可以很大程度上提高插補精度及插補速度。

關(guān)鍵詞：時間分割法；圓弧插補；插補算法

0引言

數(shù)控插補是數(shù)控技術(shù)的核心，插補算法的優(yōu)劣直接反應(yīng)了數(shù)控機床的加工精度和工作效率。步進電機驅(qū)動系統(tǒng)常用逐點比較法、DDA插補法，這兩種插補方法主要用于經(jīng)濟型數(shù)控系統(tǒng)中。對于直流或交流伺服電機驅(qū)動的系統(tǒng)，常采用時間分割插補法，采用這種算法可以獲得較高的速度和精度，故此算法常用于精度較高的半閉環(huán)和閉環(huán)系統(tǒng)中。

1時間分割插補法原理

時間分割插補法也稱數(shù)據(jù)采樣插補法，采用數(shù)據(jù)采樣法插補時，在加工某一直線段或圓弧段的加工指令中必須給出加工進給速度v，先通過速度計算，將進給速度分割成單位時間間隔的插補進給量f(或稱為輪廓步長)，又稱為一次插補進給量。數(shù)據(jù)采樣插補是分兩步完成的，即粗插補和精插補。第一步為粗插補，它是在給定起點和終點的曲線之間插入若干個點，即用若干條微小直線段來逼近給定曲線，粗插補在每個插補計算周期中計算一次。第二步為精插補，它是在粗插補計算出的每一條微小直線段上再做“數(shù)據(jù)點的密化”工作，這一步相當(dāng)于對直線的脈沖增量插補。粗插補涉及到很多數(shù)學(xué)運算, 一般采用高級語言由軟件完成, 精插補過程相對比較簡單, 可用硬件也可用軟件實現(xiàn)。

2時間分割圓弧插補一般算法

在FANUC 7M系統(tǒng)中，插補周期為8 ms，位置反饋采樣周期為4 ms，即插補周期為位置采樣周期的2倍，它以內(nèi)接弦進給代替圓弧插補中的弧線進給。其時間分割算法如圖1所示：

圖1　數(shù)據(jù)采樣法順圓插補

如圖1所知，順圓弧AB為待加工曲線，下面推導(dǎo)其插補公式。在順圓弧上的B點是繼A點之后的插補瞬時點，兩點的坐標分別為A(xi,yi)，B(xi+1,yi+1)。所謂插補，在這里是指由點A(xi,yi)求出下一點B(xi+1,yi+1)，實質(zhì)上是求在一次插補周期的時間內(nèi)，x軸和y軸的進給量ΔX和ΔY。圖中的弦AB正是圓弧插補時每個周期的進給步長f，AP是A點的圓弧切線，M是弦的中點。顯然，ME⊥AF，E是AF的中點，而OM⊥AB。其中δ為進給弦AB所對應(yīng)的角度增量。根據(jù)幾何關(guān)系，有 ：

∠AOC=∠PAF=φi

令:

在△MOD中:

所以：

上式反應(yīng)了A點與B點的位置關(guān)系，只要坐標滿足上式，則A點與B點必在同一圓弧上。由于式中都是未知數(shù)，難以求解，這里采用近似算法。取α≈45°，即 :

由于每次進給量很小，所以在整個插補過程中，這種近似是可行的。其中Xi、Yi為已知。由上式可求出所以可得:

ΔX=fcosα

△X、△Y求出后，可求得新的插補點坐標值為：

Xi+1=Xi+ΔX，Yi+1=Yi+ΔY

以此新的插補點坐標值又可求出下一個插補點坐標值。在這里需要說明的是，由于取α≈45°，所以，結(jié)果是近似值，也是這種算法的重要缺點。

3新算法

如圖2，采用內(nèi)接弦的插補方法，在第一象限中，設(shè)要插補的圓弧方程為X2+Y2=R2，起點坐標A(Xi，Yi)，插補終點坐標B(Xi+1，Yi+1)，AB為插補進給步長f，粗插補即要求B點的坐標。以A點為圓心，AB為半徑作圓，與半徑為R的圓有2個交點，B點為順時針插補點，另一交點為逆時針插補點。則求插補點變成了求方程組的解：

圖2　數(shù)據(jù)采樣圓弧插補新算法

(1)

(X-Xi)2+(Y-Yi)2=f2

(2)

將式(2)展開得：

(3)

2R2-2XXi-2YYI=f2

推導(dǎo)出：

(4)

將式(4)代入式(1)得：

展開化簡后得：

(5)

則此方程的解為：

求出Xi+1后代入式(4)求出：

4結(jié)論

新算法最大優(yōu)勢是無近似計算，結(jié)果準確，無累計誤差，并且計算量不大，有利于提高插補速度，進而提高機床工作效率。

參考文獻:

[1] 周慧. 數(shù)據(jù)采樣圓弧插補的新算法[J]. 組合機床與自動化加工技術(shù), 2004(2)：38-39.

[2] 顏雁鷹. 時間分割法插補運算[J]. 應(yīng)用科學(xué)，2008,22，(7)：55-56.

New Algorithm of Time Division Circular arc Interpolation

ZHANG Yong-gang

(Shiyan Senior Technical School, Shiyan 442000, China)

Abstract:in view of the interpolation algorithm of the time division commonly used in the dc or ac servo systems, this paper presents a new algorithm of circular arc interpolation. In chord line approximation of various algorithm of circular arc, the algorithm is derived from analytic geometry and accurate calculation,which is used to avoid the approximate calculation appearing in previous interpolation algorithon and ensure the coarse interpolation point on arc. This figure is simple and accurate. A basis is provided for the realization of the interpolation software. This method can be used to greatly improve the interpolation precision and speed.

Keywords:time division method; circular arc interpolation; interpolation algorithm

中圖分類號：TH123

文獻標志碼：A

文章編號：1671-5276(2015)02-0063-02

作者簡介：張永剛(1975-)，男，陜西扶風(fēng)人，高級講師，學(xué)士，長期從事數(shù)控教學(xué)及研究工作。