Birkhoff系統(tǒng)的廣義斜梯度表示*

梅鳳翔 吳惠彬

(1.北京理工大學宇航學院，北京 100081)(2.北京理工大學數(shù)學學院，北京 100081)

引言

梯度系統(tǒng)對研究積分和解的穩(wěn)定性十分方便.文獻［1］研究了通常梯度系統(tǒng)的性質(zhì)，文獻［2］討論了斜梯度系統(tǒng).有關(guān)力學系統(tǒng)與梯度系統(tǒng)的研究已有一些結(jié)果，如文獻［3-8］.通常斜梯度系統(tǒng)中的函數(shù)不包含時間.若包含時間，則稱為廣義斜梯度系統(tǒng).廣義斜梯度系統(tǒng)對研究非定常力學系統(tǒng)解的穩(wěn)定性有重要價值.有關(guān)Birkhoff系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究大多限于定常系統(tǒng)［9］.本文期望借助廣義斜梯度系統(tǒng)來研究一般Birkhoff系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

1 廣義斜梯度系統(tǒng)

廣義斜梯度系統(tǒng)的微分方程有形式

這兒及以后我們約定:同一項中，相同的活動指標表示對其求和，其中bij(X)=-bji(X)，X=(x1，x2，…，xm).若V不含時間t，則式(1)成為通常斜梯度系統(tǒng).

按方程(1)求˙V，得

由(bij)的反對稱性質(zhì)，上式右端第二項為零，于是有

2 Birkhoff系統(tǒng)的梯度表示

Birkhoff系統(tǒng)的微分方程有形式［9-10］

其中B=B(t，a)為Birkhoff函數(shù)，Rμ=Rμ(t，a)為Birkhoff函數(shù)組，且

方程(4)一般還不能成為廣義斜梯度系統(tǒng)(1).如果存在反對稱矩陣(bμν(a))和函數(shù)V=V(t，a)滿足下式

則它可成為廣義斜梯度系統(tǒng)(1).

對半自治Birkhoff系統(tǒng)，有

此時，式(6)成為

只要取

則Birkhoff系統(tǒng)成為廣義斜梯度系統(tǒng).此時，若B正定，且有則解是穩(wěn)定的.

3 算例

例1 Birkhoff系統(tǒng)為

試將其化為廣義斜梯度系統(tǒng)，并研究其零解的穩(wěn)定性.

解:由R1=a2，R2=0得

取

因V在a1=a2=0鄰域內(nèi)正定，且有

故零解a1=a2=0是穩(wěn)定的.

例2 Birkhoff系統(tǒng)為

試將其化為廣義斜梯度系統(tǒng)，并研究其零解的穩(wěn)定性.

解:由R1=a2，R2=0得

取

則其成為一個廣義斜梯度系統(tǒng).V在a1=a2=0鄰域內(nèi)正定，且有

因此，零解a1=a2=0是穩(wěn)定的.

4 結(jié)論

在非定常力學系統(tǒng)穩(wěn)定性研究中，Lyapunov函數(shù)的構(gòu)造是一大難題.本文首先提出了廣義斜梯度系統(tǒng)并研究了它的性質(zhì)，然后將非自治Birkhoff系統(tǒng)在一定條件下化成廣義斜梯度系統(tǒng)，并利用廣義斜梯度系統(tǒng)來構(gòu)造Birkhoff系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)，從而解決了一些非自治Birkhoff系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題.

1 Hirsch M W，Smale S.Differential equations，dynamical systems and linear algebra.New York:Academic Press，1974

2 McLachlan R I，Quispel G R W，Robidoux N.Geometric integration using discrete gradients.Philosophical Transactions of the Royal Society A，1999，357:1021～1045

3 樓智美，梅鳳翔.力學系統(tǒng)的二階梯度表示.物理學報，2012，61(2):024502，1～4(Lou Z M，Mei F X.A second order gradient representation of mechanics system.Acta Physica Sinica，2012，61(2):024502，1～4(in Chinese))

4 梅鳳翔，崔金超，吳惠彬.Birkhoff系統(tǒng)的梯度表示和分數(shù)維梯度表示.北京理工大學學報，2012，32(12):1298～1300(Mei F X，Cui J C，Wu H B.A gradient representation and a fractional gradient representation of Birkhoff system.Journal of Beijing Institute of Technology，2012，32(12):1298～1300(in Chinese))

5 梅鳳翔.關(guān)于梯度系統(tǒng).力學與實踐，2012，34(1):89～90(Mei F X.On the gradient system.Mechanics in Engineering，2012，34(1):89～90(in Chinese))

6 梅鳳翔，吳惠彬.廣義Birkhoff系統(tǒng)的梯度表示.動力學與控制學報，2012，10(4):289～292(Mei F X，Wu H B.A gradient representation for generalized Birkhoff system.Journal of Dynamics and Control，2012，10(4):289～292(in Chinese))

7 梅鳳翔，吳惠彬.廣義Hamilton系統(tǒng)與梯度系統(tǒng).中國科學:物理學 力學 天文學，2013，43(4):538～540(Mei F X，Wu H B.Generalized Hamilton system and gradient system.Scientia Sinica Physica，Mechanica＆Astronomica，2013，43(4):538～540(in Chinese))

8 梅鳳翔.分析力學(Ⅱ).北京:北京理工大學出版社，2013(Mei F X.Analytical Mechanics(Ⅱ).Beijing:Beijing Institute of Technology Press，2013(in Chinese))

9 梅鳳翔，史榮昌，張永發(fā)，吳惠彬.Birkhoff系統(tǒng)動力學.北京:北京理工大學出版社，1996(Mei F X，Shi R C，Zhang Y F，Wu H B.Dynamics of Birkhoffian system.Beijing:Beijing Institute of Technology Press，1996(in Chinese))

10 Santilli R M.Foundations of theoretical mechanicsⅡ.New York:Springer-Verlag，1983