培養(yǎng)學(xué)生的問題能力
——以“復(fù)數(shù)”的教學(xué)為例

文/劉政彪

培養(yǎng)學(xué)生的問題能力
——以“復(fù)數(shù)”的教學(xué)為例

文/劉政彪

本文結(jié)合復(fù)數(shù)的教學(xué)實(shí)例，從培養(yǎng)學(xué)生提出問題、思考問題、解決問題的能力出發(fā)，談?wù)劚救说恼J(rèn)識(shí)。

培養(yǎng);問題;能力

數(shù)學(xué)地提出問題、思考問題、解決問題是推進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要途徑。有時(shí)是問題本身得到解決；有時(shí)是問題的反面得到解決；有時(shí)是問題雖然還不能解決，但在試圖解決它的過程中發(fā)展出許多新的思想、方法。因此，數(shù)學(xué)教育要培養(yǎng)學(xué)生提出問題、思考問題、解決問題的能力。下面就此問題結(jié)合復(fù)數(shù)的教學(xué)實(shí)例, 談?wù)劚救说恼J(rèn)識(shí)。

1. 復(fù)數(shù)的教學(xué)情況分析

復(fù)數(shù)的內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)課程中的傳統(tǒng)內(nèi)容。《標(biāo)準(zhǔn)》要求了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義。同時(shí)對(duì)于感興趣的學(xué)生，可以安排一些引申的內(nèi)容，如求x3=1的根、介紹代數(shù)學(xué)基本定理等。

對(duì)于復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加、減運(yùn)算及其幾何意義的教學(xué)，多數(shù)教師按照課本次序先規(guī)定復(fù)數(shù)的加法法則，再討論復(fù)數(shù)的加法法則的幾何意義。部分教師嘗試用向量的加法法則引入復(fù)數(shù)的加法法則，還有部分教師先規(guī)定復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則，最后引入復(fù)數(shù)加、減法法則的幾何意義。但不管是用哪種方法，在學(xué)到復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義時(shí)，學(xué)生會(huì)自然地想到：既然復(fù)數(shù)和向量是一一對(duì)應(yīng)的，那為什么不能用向量的乘積來定義復(fù)數(shù)的乘積？向量沒有除法法則，為什么復(fù)數(shù)有除法法則？復(fù)數(shù)的乘法法則有沒有幾何意義？復(fù)數(shù)的除法法則有沒有幾何意義？

2.抓住思考方向，鼓勵(lì)探究

有根據(jù)地提出問題是解決問題的前提，其重要性不言而喻。在數(shù)學(xué)教學(xué)中“問題解決”教學(xué)往往可以通過教師為學(xué)生創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生在解決問題的過程中學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)。但是重視并利用學(xué)生在學(xué)習(xí)中提出的疑惑和問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索，更能喚起學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的意識(shí)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣?！稑?biāo)準(zhǔn)》在教學(xué)建議中指出，針對(duì)不同的教學(xué)內(nèi)容，可采用不同的學(xué)習(xí)方式，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與，幫助學(xué)生在參與的過程中產(chǎn)生內(nèi)心的體驗(yàn)和創(chuàng)造。因此，教師可以不拘泥于原定的教學(xué)計(jì)劃，讓學(xué)生大膽地提出問題，鼓勵(lì)探究。

3.復(fù)數(shù)與幾何意義的教學(xué)設(shè)計(jì)

(1)復(fù)數(shù)加法幾何意義的教學(xué)。通過討論發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)的加法對(duì)應(yīng)了向量的加法，即復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來進(jìn)行。類比加法法則的討論，學(xué)生通過自主探索發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)的減法可以按照向量的減法來進(jìn)行。

(2)復(fù)數(shù)的乘法可以按照向量的乘法進(jìn)行嗎？根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則可以發(fā)現(xiàn)，復(fù)數(shù)的乘法可以按照多項(xiàng)式的乘法來進(jìn)行，而且結(jié)果還是復(fù)數(shù)。然而兩個(gè)向量的乘積是實(shí)數(shù)，因此復(fù)數(shù)的乘法不可以按照向量的乘法進(jìn)行。

(3)復(fù)數(shù)的乘法法則有沒有幾何意義？復(fù)數(shù)的乘法屬于代數(shù)問題，幾何變換屬于幾何問題，溝通兩者的橋梁就是笛卡爾創(chuàng)立的直角坐標(biāo)系。對(duì)于復(fù)數(shù)加、減法法則的幾何意義的探討方法正是如此。為了方便研究，我們引入復(fù)數(shù)的三角表示法。

z·z1=(rcosθ+irsinθ)(r1cosφ+ir1sinφ)

=rr1cosθcosφ+irr1cosθsinφ+irr1sinθcosφ+i2rr1sinθsinφ

=r(cosθcosφ-sinθsinφ)+ir(cosθsinφ+sinθcosφ)

=rr1cos(θ+φ)+irr1sin(θ+φ)

z·z1對(duì)應(yīng)的向量是由z對(duì)應(yīng)的向量伸縮了|z1|倍，再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了φ后得到的，旋轉(zhuǎn)角度φ是z1所對(duì)應(yīng)的輻角。

從幾何意義上講，復(fù)數(shù)的除法恰好是復(fù)數(shù)的乘法的逆操作。這不僅對(duì)應(yīng)了實(shí)數(shù)范圍內(nèi)除法與乘法互為逆運(yùn)算的說法，而且避免了課本上的生硬規(guī)定。

雖然這樣比較費(fèi)時(shí)間，也會(huì)影響正常的教學(xué)進(jìn)度，但卻是值得的。因?yàn)閱栴}是學(xué)生自主提出的，而且在教師的適當(dāng)引導(dǎo)下親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的探究過程，體驗(yàn)破解問題的成就感。同時(shí)進(jìn)一步強(qiáng)化了學(xué)生數(shù)學(xué)思維和問題意識(shí)。并且在理解了之后會(huì)使學(xué)生較順利地掌握復(fù)數(shù)的乘、除法法則，也為最終的知識(shí)、技能達(dá)標(biāo)打下良好基礎(chǔ)。

[1] 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))解讀》[M] . 南京：江蘇教育出版社,2004.

[2]張思明.“問題解決”與問題環(huán)境設(shè)計(jì)[J].北京教育學(xué)院學(xué)報(bào)，1997,1.

劉政彪(1986-)，男，漢族，汕尾，碩士研究生，廣東省廣州市番禺區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

G

A

2095-9214(2015)02-0131-02

廣東省廣州市番禺區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué))

本論文曾獲第二十七屆番禺區(qū)教育學(xué)會(huì)論文評(píng)比三等獎(jiǎng)