基于MATLAB的數(shù)學(xué)實驗教學(xué)研究

文/盧月莉

基于MATLAB的數(shù)學(xué)實驗教學(xué)研究

文/盧月莉

本文通過實例演示MATLAB軟件在大學(xué)數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中發(fā)揮的作用，說明學(xué)生可以通過掌握MATLAB來提高對數(shù)學(xué)知識的理解和解決實際問題的能力。

MATLAB；教學(xué)；數(shù)學(xué)實驗

1.引言

隨著計算機的普及和發(fā)展，從20世紀90年代中期開始，數(shù)學(xué)實驗作為高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的產(chǎn)物在國內(nèi)高等院校誕生，它以與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)不同的方式在高等數(shù)學(xué)教育中引起了廣泛的興趣。數(shù)學(xué)實驗旨在引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)學(xué)軟件理解抽象的數(shù)學(xué)理論、自主探究和研究數(shù)學(xué)問題以及數(shù)學(xué)的應(yīng)用問題的實踐過程[2]。數(shù)學(xué)實驗課程的開設(shè)和普及對于推動數(shù)學(xué)課程教學(xué)的全面改革，加強素質(zhì)教育具有十分重要的現(xiàn)實意義[3]。

在多種支持數(shù)學(xué)實驗的軟件中，最具有代表性的是MATLAB、Mathematica和Maple，它們各有特色。MATLAB程序設(shè)計語言集成度高，語句簡潔高效，具有出色的數(shù)值運算和繪圖功能，利用各種各樣領(lǐng)域?qū)I(yè)專家編寫的工具箱，可以高效、可靠地解決各種各樣的問題，具有不可替代的優(yōu)勢。本文通過實例演示MATLAB軟件在微積分問題的求解、非線性方程的求解和三維空間圖形的繪制等方面的應(yīng)用，以期培養(yǎng)學(xué)生運用計算機研究和學(xué)習數(shù)學(xué)的能力，進而提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。

2.微積分問題的MATLAB求解

利用MATLAB軟件的符號運算工具箱，可以很容易地求解極限、微分、積分等微積分基本問題。需求特別注意的是，在求解之前應(yīng)該先聲明自變量為符號變量，否則會出現(xiàn)錯誤提示。

2.1 極限問題的求解

極限問題在MATLAB軟件中可以使用limit()函數(shù)直接求出，其調(diào)用格式為limit(f,x,x0)，表示求函數(shù)f當x→x0時的極限，若x0為∞則用inf表示。

解 首先聲明a、b和x為符號變量，然后定義函數(shù)表達式，最后調(diào)用limit()可以直接求出極限。編程如下：

>>symsxab；f=x*(1+a/x)^x*sin(b/x);limit(f,x,inf)

運行結(jié)果為：b*exp(a)

2.2導(dǎo)數(shù)問題的求解

如果函數(shù)和自變量都已知，且均為符號變量，則可以用diff()函數(shù)解出給定函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)，其調(diào)用格式為diff(f,x,n)，f為給定函數(shù)，x為自變量，n為導(dǎo)數(shù)的階次。

functiondn=hdiff(y,x,t,n)

ifn==1,dn=diff(y,t)/diff(x,t);

else

dn=diff(hdiff(y,x,t,n-1),t)/diff(x,t);

end

end

再在命令窗口輸入：

>>symst;x=exp(2*t)*cos(t)^2;y=exp(2*t)*sin(t)^2;

>>d3=simplify(hdiff(y,x,t,3))

運行得結(jié)果：>>d3=-(- 8*cos(t)^4 + 16*sin(t)*cos(t)^3 + 8*cos(t)^2 - 12*sin(t)*cos(t) + 3)/(exp(4*t)*(16*cos(t)^10 - 16*sin(t)*cos(t)^9 + 32*sin(t)*cos(t)^7 - 20*cos(t)^6 + 4*sin(t)*cos(t)^5))

2.3 積分問題的求解

運用MATLAB中的int()函數(shù)可以求解定積分或無窮積分問題，調(diào)用格式為int(f,x,a,b)，其中x為自變量，(a,b)為積分區(qū)間，無窮以inf代替。

解MATLAB命令窗口輸入：

>>symsx;y1=int(exp(-x^2/2),x,0,2)

3.一般非線性方程的求解

對于一般的非線性方程，MATLAB提供了fsovle()函數(shù)來求解它的一個實數(shù)根，其調(diào)用格式為x=fsolve(fun,x0)。其中，fun為所求方程的M-函數(shù)或匿名函數(shù)描述，x0為初始搜索點，程序?qū)脑擖c以逐步減小誤差的算法搜索出滿足方程的實根x。

例3 求方程e-(x+1)2+π/2sin(5x+2)=0 的根。

解 首先用ezplot()函數(shù)繪制出如圖1所示的曲線，該曲線與橫軸的所有交點均是方程的解。

>>ezplot('exp(-(x+1)^2+pi/2)*sin(5*x+2)')

>>line([-4,2],[0,0])

圖1 例3中的方程曲線

從得出的曲線可以看出，該方程有多個實根。我們接著任選一點作為初值，利用fsolve()函數(shù)求出方程更精確的解，如x0=-1附近的解編程為：

>>fun=@(x)exp(-(x+1)^2+pi/2)*sin(5*x+2);

>>x=fsolve(fun,-1)

結(jié)果為x= -1.028318530717959，代入原方程，得f= -5.886413288211306e-016，可見得到的解精度比較高。

4.三維空間圖形的繪制

在高等數(shù)學(xué)中，由于很多學(xué)生缺乏空間想象能力，空間解析幾何是學(xué)生最不容易理解的知識之一。而MATLAB提供了一系列直觀、簡單的三維圖形繪制命令與函數(shù)，可以將實驗結(jié)果用可視的形式顯示出來，有助于學(xué)生建立空間想象能力和理解函數(shù)。

例4 繪制函數(shù)z=sinxy的表面圖，并剪下x2+y2≤0.52的部分。

解 在圖形繪制語句中，若函數(shù)值為NaN，則相應(yīng)的部分不繪制出來，因此可以在MATLAB命令窗口輸入：

>> [x,y]=meshgrid(-pi:0.1:pi);

>>z=sin(x.*y);ii=find(x.^2+y.^2<=0.5^2);

>>z(ii)=nan;surf(x,y,z)

運行結(jié)果如圖2所示。在默認視圖中，可以觀察到被剪下部分并沒有顯示出來。但是MATLAB提供了修改視角的功能，用戶可以通過圖形窗口工具欄的旋轉(zhuǎn)按鈕或者view()函數(shù)對圖形進行旋轉(zhuǎn)，從任意角度觀察三維圖形。圖3為view(-40,60)的運行結(jié)果。

圖2 z=sinxy的默認視圖

圖3 z=sinxy的俯視圖(view(-40,60))

5.結(jié)語

本文通過幾個實例演示說明，將MTALAB軟件引入大學(xué)數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中，有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，目的是讓學(xué)生在掌握了數(shù)學(xué)問題的MTALAB求解方法以后，即使對某些數(shù)學(xué)公式理解得不太透徹，也能輕易地利用計算機求解復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，逐步解決大學(xué)里長期存在的“一方面數(shù)學(xué)很有用，另一方面學(xué)生學(xué)了數(shù)學(xué)以后卻不會用”[2]的矛盾現(xiàn)象。

[1]薛定宇，陳陽泉.高等應(yīng)用數(shù)學(xué)問題的MATLAB求解(第三版)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2013.

[2] 韓明，王家寶，李林. 數(shù)學(xué)實驗(MATLAB版)[M].上海:同濟大學(xué)出版社，2012.

[3] 羅漢，萬中，王利平.數(shù)學(xué)實驗課程的內(nèi)容體系及教學(xué)模式[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2001，21(4):105.

盧月莉(1988—)，女，壯族，廣西南寧人，碩士，河池學(xué)院助教，研究方向：應(yīng)用統(tǒng)計。

TP

A

2095-9214(2015)02-0115-02

河池學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院)

廣西高?？茖W(xué)研究項目KY2015ZD103