淺談高中數(shù)學應用問題的基本解法

文/羅新軍

淺談高中數(shù)學應用問題的基本解法

文/羅新軍

數(shù)學應用性問題是指有實際背景或?qū)嶋H意義的數(shù)學問題，它反映了數(shù)學與現(xiàn)實生活、生產(chǎn)、科技的聯(lián)系，并要求學生用數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想去建立實際問題的數(shù)學模型，解決實際問題?！陡咧袛?shù)學新課標》明確指出：學好高中數(shù)學課程有助于學生認識數(shù)學的應用價值，增強應用意識，形成解決簡單實際問題的能力。

數(shù)學應用性問題的題目創(chuàng)設(shè)了新穎的情境，注重考查學生解決實際問題的能力；其題目編寫具有很強的時代氣息，有良好的教育價值，體現(xiàn)數(shù)學應用的社會性和時代性；其考查密切結(jié)合課本，注重考查高中數(shù)學課本中的重點內(nèi)容。應用題在數(shù)學高考中主要考查的基本內(nèi)容為函數(shù)與導數(shù)、概率統(tǒng)計、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何等。

范例展示：

1、概率與統(tǒng)計模型

(2014年安徽高考數(shù)學文科17題)某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，為調(diào)查該校學生每周平均體育運動時間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)(單位:小時)

(Ⅰ)應收集多少位女生樣本數(shù)據(jù)？

(Ⅲ)在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運動時間超過4個小時。請完成每周平均體育運動時間與性別的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關(guān)”。

由頻率分布直方圖得每周平均體育運動超過4小時的頻率為1-2×(0.100+0.025)=0.75，所以該校學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率的估計值為0.75。

由(2)知，300位學生中有300×0.75=225(位)的每周平均體育運動時間超過4小時，75人的每周平均體育運動時間不超過4小時．又因為樣本數(shù)據(jù)中有210份是關(guān)于男生的，90份是關(guān)于女生的，所以每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表如下：

男生女生總計每周平均體育運動時間不超過4小時453075每周平均體育運動時間超過4小時16560225總 計21090300

所以有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別關(guān)”。

2、三角函數(shù)模型

求實驗室這一天上午8時的溫度。

故實驗室上午8時的溫度為10 ℃。

3、線性規(guī)劃模型

(2010年陜西高考數(shù)學理科14題)鐵礦石A和B的含鐵率a ，冶煉每萬噸鐵礦石的CO2排放量b及每萬噸鐵礦石的價格c如下表：

ab(萬噸)c(百萬元)A50%13B70%0.56

某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9(萬噸)鐵，若要求CO2的排放量不超過2(萬噸)則購買鐵礦石的最少費用為 (萬元)

解：設(shè)鐵礦石A購買了x萬噸，鐵礦石B購買了y萬噸，購買鐵礦石的費用為z百萬元，則由題設(shè)知，本題即求實數(shù)x，y滿足約束條件

由上述示范性例題總結(jié)出解答數(shù)學應用題的流程如下：

1、從實際應用問題出發(fā)。2、明確題意，找出題設(shè)與結(jié)論的數(shù)學關(guān)系——數(shù)量關(guān)系或空間位置關(guān)系。3、分析、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、抽象，在分析聯(lián)想的基礎(chǔ)上，將實際應用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，建立數(shù)學模型。4、運用相關(guān)數(shù)學知識，解答數(shù)學模型。5、依據(jù)題意或現(xiàn)實生活的實際情況，將解答的結(jié)果轉(zhuǎn)譯成具體的實際問題的結(jié)論。

上面的有關(guān)數(shù)學應用性問題的基本解法和技巧是本人在平時的教學過程中歸納出的一些基本經(jīng)驗，希望對廣大的讀者有所幫助和啟發(fā)，有不足之處望給予指正。

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新疆疏附縣第二中學)