一類奇異Markov鏈的遍歷性

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一類奇異Markov鏈的遍歷性

李冬霞，李星星，逯玲娜

(鄭州城市職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部,河南 鄭州452370)

摘要：考察了一類奇異Markov鏈的遍歷性。首先給出了此馬氏鏈的Ray-Knight緊化，然后利用遍歷定理等討論了這類馬氏鏈的遍歷性，并給出了相應(yīng)的證明。

關(guān)鍵詞：Ray-Knight緊化;Markov鏈;遍歷性

近二三十年，有大量的文獻(xiàn)討論了連續(xù)時(shí)間馬氏鏈的遍歷性,但這些文獻(xiàn)均假設(shè)Q矩陣是正則的，馬氏鏈?zhǔn)欠潜ǖ?，如Anderson(1991)[1]、Chen(1992)[2]、Meyn等[3]。另外，Lund等[4-5]還討論了隨機(jī)單調(diào)情形下的遍歷性，但是用上述方法均無(wú)法討論下面所給出的一類奇異馬氏鏈的遍歷性。

首先給出此馬氏鏈的Ray-Knight緊化：

設(shè)E={1,2,…}，

(1)

(2)

1預(yù)備知識(shí)

定義1[8]設(shè)pij(t)是E={0,1,…}上誠(chéng)實(shí)且標(biāo)準(zhǔn)的轉(zhuǎn)移函數(shù)，pij(t)的密度矩陣為Q=(qij),qi=-qii,則X=(Ω,f,ft,Xt,θt,Px)是pij(t)所對(duì)應(yīng)的正規(guī)鏈。

定義2[8]pij(t)稱為遍歷的(正常返的)，如果存在概率測(cè)度πi,i∈E，使得：

πi,i∈E稱為pij(t)的平穩(wěn)分布。

2主要結(jié)論及證明

證明：由

得到：

X=(Ω,f,ft,Xt,θt,px)為P(t)對(duì)應(yīng)的正規(guī)鏈(見文獻(xiàn)[7])。

證畢。

定理3pij(t)是遍歷的，并且pij(t)的平穩(wěn)分布為:

(2)誠(chéng)實(shí)的轉(zhuǎn)移函數(shù)pij(t)的預(yù)解式為：

故由遍歷定理知：

由(1)(2)知pij(t)是遍歷的，并且pij(t)的平穩(wěn)分布為：

證畢。

參考文獻(xiàn)：

[1]AWJ.Continuous-TimeMarkovChains[M].NewYork:Springer,1991:61-67.

[2]ChenMF.FromMarkovChainstoNon-EquilibriumParticleSystems[M].HongKong:WorldScientificPublishingCompany,1992:139-150.

[3] Meyn S P, Tweedie R L. Computable bounds for geometric convergence rates of markov chains[J].Ann.Appl.Prob,1994,4(4):981-1 011.

[4] Lund R B, Meyn S P, Tweedie R L. Computable exponential convergence rates for stochastically ordered markov processes[J]. Ann.Appl.Prob,1996,20(1):218-237.

[5] Lund R B, Tweedie R L. Geometric convergence rates for stochastically ordered markov chains[J].Math.Oper.Res,1996,16(1):182-194.

[6] 侯振挺.Q過(guò)程的唯一性準(zhǔn)則[M].長(zhǎng)沙:湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1982.

[7] Williams D. Diffusions Markov processes and martingales[M].Cambridge:Cambridge University Press,1979:158-170.

[8] 王梓坤.生滅過(guò)程與馬爾科夫鏈[M].北京:科學(xué)出版社，2005.

(責(zé)任編輯：張英健)

Ergodicity of a Class of Singular Markov Chain

LI Dongxia, LI Xingxing, LU Lingna

(Department of Mathematics， City University of Zhengzhou, Zhengzhou Henan452370, China)

Abstract：This paper investigates the ergodicity of a class of singular Markov Chain Firstly, Ray-Knight compactness of the Markov chain is given. Then,by using the ergodic theorem we discuss the ergodicity of this kind of Markov chain and give the corresponding proof.

Keywords：Ray-Knight compactification; Markov chain; ergodicity

作者簡(jiǎn)介：李冬霞(1979-)，女，河南新密人，碩士，主要研究方向?yàn)楦怕逝c數(shù)理統(tǒng)計(jì)。

收稿日期：2014-10-14

中圖分類號(hào)：O221

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1671-5322(2015)01-0020-02

doi:10.16018/j.cnki.cn32-1650/n.201501005