基于圖像復(fù)原的規(guī)整化方法研究

楊 薇

(鞍山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,遼寧 鞍山 114007)

基于圖像復(fù)原的規(guī)整化方法研究

楊 薇

(鞍山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,遼寧 鞍山 114007)

圖像降噪與圖像去模糊方法研究在眾多專業(yè)領(lǐng)域都具有重要的研究意義.去模糊問題是一個(gè)圖像估計(jì)問題，處理這個(gè)問題的一般框架是規(guī)整化，本文研究了圖像復(fù)原問題的典型規(guī)整化方法.

圖像復(fù)原；規(guī)整化；Bayes估計(jì)

在圖像成像、復(fù)制、掃描、傳輸、顯示等過程中，不可避免地要產(chǎn)生圖像的退化，如，模糊、有噪聲等.實(shí)際應(yīng)用中往往需要清晰、高質(zhì)量的圖像，因此，研究圖像降噪與圖像去模糊具有重要的意義.去模糊問題是一個(gè)圖像估計(jì)問題，處理這個(gè)問題的一般框架是規(guī)整化，這需要給解附加其它的約束.例如，解不應(yīng)該過多地帶噪聲(平滑性要求)；圖像的每個(gè)像元值是非負(fù)的；求解過程不應(yīng)該給解添加寄生波紋等[1～4].本文將介紹典型的規(guī)整化方法.

規(guī)整化方法最初用于解決第一類Fredholm方程

Ku=g.

(1)

這里，K是從Hilbert空間H1映射到Hilbert空間H2的有界的線性算子.方程(1)的病態(tài)性表現(xiàn)為方程的解不連續(xù)依賴于數(shù)據(jù)，可以通過引入附加限制定義，在原本的解空間與這個(gè)緊密的交集中去求解，通過這么做，得到的解會(huì)是連續(xù)地依賴于已觀測到的數(shù)據(jù)；另外的解決方法是修改第一類Fredholm方程，嘗試轉(zhuǎn)變成第二類Fredholm方程u-αKu=g(α為標(biāo)量)，這里，修改之后問題的解一定是要接近原本的所研究問題的真實(shí)解.由于物理方面問題的多樣性和人類對(duì)于先知的認(rèn)識(shí)以及利用上的差別，不同的研究人員得到的方法也不同，常見的有:

(1)修改問題的解的定義.把原問題變成一個(gè)迭代或?yàn)V波過程或者變成一投影迭代問題，以及將求解問題變成模型估計(jì)問題等.

(2)修改空間或拓?fù)?包括限制定義域，給解構(gòu)造一個(gè)合理的限制，使之屬于一個(gè)緊集.

(3)修改算子.例如使用規(guī)整化算子的概念.

可以看出，規(guī)整化方法是依問題而定的，而對(duì)于一個(gè)問題常常是多個(gè)規(guī)整化措施一起使用.

1 Tikhonov規(guī)整化

Tikhonov從算子論的角度詳細(xì)分析和討論了第一類Fredholm積分方程的病態(tài)性及其規(guī)整化求解方法.將Tikhonov規(guī)整化理論應(yīng)用于反卷積問題，考慮如下泛函極小問題

(2)

其中，λ為一非負(fù)的規(guī)整化參數(shù)，R為規(guī)整化算子.H通常為一高通濾波器生成的卷積核矩陣.例如，對(duì)于一維反卷積問題，H可取D(1)或D(2)，其中D(1)、D(2)分別為一階和二階梯度算子[1，-1]、[1，-2，1]生成的卷積核矩陣.

式(2)的解為

f*(λ)=(HTH+λRTR)-1HTg.

(3)

2 保存圖像細(xì)節(jié)的規(guī)整化方法

Tikhonov規(guī)整化的基本理念：限制解自身就可以看作一個(gè)平滑解.但在通常我們?yōu)閳D像恢復(fù)時(shí)并不想看到平滑解.另一方面，圖像的特征細(xì)節(jié)常常難于和噪聲相區(qū)別.通過引入其它符合物理事實(shí)的限制.這些想法己經(jīng)取得一定的進(jìn)步，主要包括[5]：

2.1 基于圖像建模和估計(jì)的方法

將圖像作為一個(gè)Markov隨機(jī)場.應(yīng)用Markov隨機(jī)場與Gibbs隨機(jī)場的等價(jià)關(guān)系，可以得出關(guān)于隨機(jī)場的聯(lián)合概率分布.隨機(jī)模型中可以進(jìn)一步引入所謂的“線過程”來描述像元之間灰度的跳變，并將這類過程體現(xiàn)在電位函數(shù)中.

2.2 總變差()最小化方法

在圖像復(fù)原領(lǐng)域，總變差最小化是一種以保存圖像細(xì)節(jié)為目的的規(guī)整化復(fù)原方法.總變差受限制的函數(shù)可以是任何一個(gè)有界變差函數(shù).圖像退化過程可表示為

g=Ku+ξ，

(4)

其中，g為觀測圖像，K是降晰算子，u是待求的原始圖像，ξ是圖像噪聲.

(5)

(6)

而ux=?u/?x,uy=?u/?y，Du是圖像u的支持域.β>0是可調(diào)參數(shù).它的作用是避免總變差JT(u)在ux=uy=0處不可微.α是拉格朗日乘子的倒數(shù)，它的取值應(yīng)保證等式約束

‖Ku-g‖2=‖ξ‖2

(7)

得到滿足.此處‖ξ‖2是圖像噪聲功率.利用變分法，最小化J(u)的問題轉(zhuǎn)化為解帶有Neumann邊界條件Euler-Lagrange方程

T(u)=K*(Ku-g)+αL(u)u=0,

(8)

(9)

其中，K*是K的伴隨算子；T(u)事實(shí)上是泛函J(u)的梯度J(u)；L(u)是一個(gè)橢圓型偏微分算子，它作用于函數(shù)w定義為

L(u)w=-w).

(10)

(11)

條件(9)限制了在邊界上解的法向梯度為零.如果解為有限支撐域，這個(gè)條件自然得到滿足.在應(yīng)用數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中關(guān)于方程(8)的求解方法有許多報(bào)道[1].

2.3 棱邊保持規(guī)整化

因?yàn)閺臄?shù)值優(yōu)化的角度，穩(wěn)定化泛函是一種懲罰函數(shù)，所以有人將Tikhonov規(guī)整化稱為“懲罰最小二乘”(PenalizedLeastSquares).復(fù)原或重建的規(guī)整化泛函或代價(jià)函數(shù)一般地寫成

J(f)=J1(f)+αJ2(f),

(12)

3 圖像復(fù)原的Bayes框架

(13)

稱為后驗(yàn)期望.f的Bayese估計(jì)定義為

(14)

在許多實(shí)際情況下，計(jì)算f的條件均值比較困難，用它的后驗(yàn)概率極大值代替，稱為最大后驗(yàn)(MaximumaPosteriori,MAP) 估計(jì)，寫成

(15)

利用Bayes規(guī)則

(16)

后驗(yàn)概率密度可以表示成

(17)

(18)

(19)

對(duì)于圖像復(fù)原問題，上述各種估計(jì)量中，由于最大后驗(yàn)估計(jì)可以方便地將未知量的先驗(yàn)信息加以融合利用，因而應(yīng)用廣泛.式(19)中的第一項(xiàng)表示觀測數(shù)據(jù)g的似然概率，第二項(xiàng)可以看成是對(duì)未知量f的粗糙度懲罰，若真實(shí)圖像的特征與我們關(guān)于解的先驗(yàn)知識(shí)相符，則p(f)較大，此時(shí)懲罰項(xiàng)的取值就小.

4 數(shù)字圖像復(fù)原的基本方法

過去的研究中，出現(xiàn)了許多圖像復(fù)原算法，這些算法從不同角度了解了未知圖像所能提供的先驗(yàn)信息，并以數(shù)學(xué)模型形式表現(xiàn)出來，作為反卷積病態(tài)問題的規(guī)整化項(xiàng).不同的應(yīng)用領(lǐng)域由于圖像特性的不同，將會(huì)導(dǎo)致不同的圖像模型，也就導(dǎo)致了不同的圖像復(fù)原算法.本節(jié)將著重分析頻域復(fù)原算法反映的圖像模型.

4.1 頻域復(fù)原算法

(20)

使用f和ξ的統(tǒng)計(jì)模型需要知道它們的統(tǒng)計(jì)先驗(yàn)知識(shí).得到一個(gè)線性估計(jì)

(21)

由于Rff和Rξξ為循環(huán)矩陣，當(dāng)H可用循環(huán)矩陣近似時(shí)，可得頻域估計(jì)公式為

(22)

其中，F(xiàn)，H和G分別是真實(shí)圖像f，降晰函數(shù)h以及觀測圖像g的離散傅立葉變換.Sξξ和Sff分別是噪聲和真實(shí)圖像的功率譜.和簡單的逆濾波器G/H相比，Sξξ/Sff起到了規(guī)整化的作用.Wiener濾波算法能夠以很低代價(jià)獲得較好的復(fù)原效果，直到現(xiàn)在它仍然是一種常用的算法.

從Bayes估計(jì)角度來看，經(jīng)簡單推導(dǎo)，可以證明Wiener濾波假定了噪聲和未知圖像在頻域的各系數(shù)服從零均值的獨(dú)立高斯分布，并且傅立葉系數(shù)F(u,v)的方差為Sff(u,v)，ξ(u,v)的方差為Sξξ(u,v).

4.1.2 約束最小二乘算法 約束最小二乘算法在最小二乘法的基礎(chǔ)上，對(duì)解強(qiáng)加了一個(gè)平滑限制，即認(rèn)為大多數(shù)圖像相對(duì)平滑，高頻能量有限.其規(guī)整化泛函形式為

(23)

其中，C為某一高通濾波器生成的規(guī)整化卷積核矩陣，Cf為圖像的高頻分量.最常用卷積核矩陣由二階差分算子生成.

最小化泛函(23)將導(dǎo)出如下方程

(HTH+αCTC)f=HTg,

(24)

當(dāng)矩陣H,C可用循環(huán)矩陣近似時(shí)，利用循環(huán)矩陣的對(duì)角化技術(shù)可將式(24)寫成等價(jià)的頻域形式，即

(25)

式中，C(u,v)是c(m,n)填零擴(kuò)充后的離散傅立葉變換.

正如文中第3部分的討論，從Bayes框架來看，這一選擇假定了Cf為一均值為零的高斯獨(dú)立同分布向量.

[1]BanhamMR,KatsaggelosAK.DigitalImageRestoration[J].IEEESignalProcessingMagazin,1997，14(2)：24-41.

[2]KangMG,KatsaggelosAK.FrequencyDomainAdaptiveIterativeImageRestorationandEvaluationoftheRegularizationParameter[J].OpticalEngineering,1994,33(10):3222-3232.

[3] 楊薇,王楠.一種新的四階偏微分方程的圖像降噪算法[J].鞍山師范學(xué)院學(xué)報(bào),2012,14(2):5-7.

[4] 王相海，劉穎男，張沖.一種基于曲率驅(qū)動(dòng)的四階PDE圖像去噪模型[J].遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014,37(3)：346-351.

[5] 鄒謀炎.反卷積和信號(hào)復(fù)原[M].北京:國防工業(yè)出版社,2001.

YANG Wei

(SchoolofMathematicsandInformationScience，AnshanNormalUniversity,AnshanLiaoning114007,China)

(責(zé)任編輯：張冬冬)

Research on regularization method based on image restoration

Image denoising has important research significance in many professional fields.The fuzzy problem is an image estimation problem.The general framework of this problem is regularization.This paper briefly introduces the theory and method of image restoration. Key words image restoration;regularization;Bayes estimation

2015-09-22

楊薇(1983-)，女，回族，遼寧鞍山人，鞍山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院講師.

O175.2

A

1008-2441(2015)06-0021-04