套代數框架下線性系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定

甘乃峰

(鞍山師范學院 數學與信息科學學院,遼寧 鞍山 114007)

套代數框架下線性系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定

甘乃峰

(鞍山師范學院 數學與信息科學學院,遼寧 鞍山 114007)

研究了套代數框架下具有內部環(huán)結構控制器的線性系統(tǒng)魯棒鎮(zhèn)定問題.首先，介紹了一種新型的控制器——具有內部環(huán)結構控制器以及它的等價形式——典范或對偶典范控制器；其次，給出了系統(tǒng)具有擾動情況下魯棒鎮(zhèn)定的幾個充分條件；最后，得出相應的結論.

套代數；魯棒鎮(zhèn)定；典范控制器；對偶典范控制器

魯棒控制是20世紀80年代發(fā)展起來的，它的基本思想是設計控制器,使得具有不確定性的閉環(huán)系統(tǒng)本身保持穩(wěn)定,并滿足一定條件的性能指標[1].根據不確定性的劃分,研究魯棒控制的方法也不同,包括區(qū)間理論、結構奇異值理論(μ理論)和H∞控制理論.

狀態(tài)空間法中的頻域方法一直是魯棒控制研究中的核心方法,研究的對象是線性系統(tǒng),包括有限維和無限維.所用到的算子理論方法,主要是Toeplitz算子和skew-Toeplitz算子.文[2]通過構造魯棒控制器顯示了算子理論的巨大作用.

1998年,Feintuch將注意力集中到了Hilbert空間的魯棒控制問題的研究上.從系統(tǒng)輸入輸出的角度出發(fā),以套代數框架為理論依據,以線性時變系統(tǒng)為研究對象,比較全面系統(tǒng)地論述了Hilbert空間上的線性時變系統(tǒng)的魯棒控制問題,建立了基于套代數框架下的控制理論體系[3].

近年來，套代數框架下時變系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題引起廣大學者的重視.文[4]給出了所有強鎮(zhèn)定控制器的一個參數化形式，應用此結果研究了強同步鎮(zhèn)定、魯棒鎮(zhèn)定和優(yōu)化問題.文[5]研究了離散時變系統(tǒng)的可靠鎮(zhèn)定問題,即雙參數控制器反饋系統(tǒng)的同時鎮(zhèn)定和可靠鎮(zhèn)定問題.文[6]研究了具有內部環(huán)結構控制器的時變系統(tǒng)鎮(zhèn)定、同步鎮(zhèn)定、強同步鎮(zhèn)定問題,取得了一系列的研究成果.

本文利用Hilbert空間上的套代數理論研究了具有內部環(huán)結構控制器的線性時變系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問題.所研究的對象是無窮維線性時變系統(tǒng)，研究的方法是套代數框架下的算子理論.

1 預備知識

1.1 算子及套代數相關理論

用Z表示整數,R表示實數,C表示復數.

定義1[7]設X和Y是賦范線性空間,T:D(T)?X→Y是線性,如果?x,y∈D(T)，?α,β∈K(K數域)，有T(αx+βy)=αTx+βTy，那么稱T是一個線性算子.

定義2[7]設X和Y是賦范線性空間,T:D(T)?X→Y是線性映射,如果存在常數M>0, 使得對一切x∈D(T),有‖Tx‖≤M‖x‖,則稱映射T為有界線性算子.

X到Y有界線性算子全體記作B(X,Y),特別地用B(X)表示B(X,X).

定義3[3]Hilbert空間H上閉子空間的一個閉集族N如果滿足下列條件:

(1) {0},I∈N;

(2) 對于N1,N2,有N1?N2或者N2?N1成立;

Hilbert空間H的閉子空間N到子空間N的正交投影記為PN，并規(guī)定P-1=0,P∞=I.

利用投影的性質,性質(1)～(3)也可以表示成:

(1′)0,I∈N;

(2′)對于P1,P2∈N,或者P1≤P2或者P2≤P1;

那么l2(Z+)為一個可分的Hilbert空間.容易驗證

是l2(Z+)空間上的一個完備套.

AlgR={A∈B(H),(I-Qn)TQn=0}={A∈B(H):PnA=PnAPn}.

值得注意的是，在標準正交基下,套代數中的元素的矩陣表示為一個下三角型矩陣.

用套代數理論來研究線性時變離散系統(tǒng),這不僅會簡化運算過程及難度,而且具有極強的現實意義.

1.2 線性系統(tǒng)

定義Hilbert空間H上的一個半范數‖x‖t=‖Ptx‖,x∈H,Pt≠I,半范數{‖‖t:t∈Γ}定義了一個拓撲,叫預解拓撲,它是一種度量拓撲.如果H是無限維的,那么度量空間不是完備的,文[3]中給出了例子說明了這一點,這就需要擴展H空間.

定義5[3]稱度量空間H的完備化空間He為H的擴展空間.

定義6[3]擴展空間He上的一個線性變換T如果滿足:當n>0時,PnT=PnTPn,那么T是關聯的.

關聯性是具有現實意義,即未來的輸入不可能對現時的輸出結果產生影響.

定義7[3]He空間上,按預解拓撲連續(xù)的關聯線性變換稱為線性系統(tǒng).

將He上所有線性系統(tǒng)構成的集合記為L(H).

2 具有內部環(huán)結構控制器的線性系統(tǒng)的魯棒控制

2.1 具有內部環(huán)結構控制器

考慮圖1所示系統(tǒng)L和控制器K組成的反饋系統(tǒng),其中L,K∈L(H).

其中，e1,e2定義外部輸入，u1,u2分別稱作系統(tǒng)輸入和控制器輸入.y1,y2分別定義系統(tǒng)和控制器輸出.

文[8]指出,在研究規(guī)則線性系統(tǒng)時,需要用到穩(wěn)定控制器.然而在現實中設計的控制器很難保證一定是穩(wěn)定的，基于這種想法，文[9]給出一種新的控制器——具有內部環(huán)結構的控制器,如圖2所示. 它比之前定義的控制器更廣泛.這種定義的方法能找到更簡單的優(yōu)拉參數化,證明了它是研究無窮維系統(tǒng)更有效的方法,使得研究動力系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題比之前的方法都要簡單.

文[9]給出典范控制器

和對偶典范控制器

指出，任何一個具有內部環(huán)結構的控制器都等價于一個典范控制器或對偶典范控制器，因此研究具有內部環(huán)結構控制器的時變線性系統(tǒng)魯棒鎮(zhèn)定問題，可以轉化為典范和對偶典范控制器的魯棒鎮(zhèn)定問題.

2.2 具典范和對偶典范控制器的系統(tǒng)魯棒鎮(zhèn)定

考慮通常反饋系統(tǒng),L∈L(H) 表示系統(tǒng),K∈L(H)表示控制器.假設L不是固定的,屬于某個集合Β,能否找到一個控制器K(如果存在),使得每個屬于集合Β的系統(tǒng)L內部穩(wěn)定,這就歸結到魯棒鎮(zhèn)定問題的研究.

定義集合

表示擾動范數不超過r的系統(tǒng)集合.

當然需要指出，Β(L,r)中很多算子矩陣根本不是表示線性系統(tǒng).

Δ=M1-K22M1-K21N,

則當

時,L1-L0可被典范控制器K鎮(zhèn)定.

考察

M1-K22M1-K21(N1-L0M1)=M1-K22M1-K21N1+K21L0M1=

Δ+K21L0M1=Δ(I+Δ-1K21L0M1).

當

時，

‖Δ-1K21M1‖·‖L0‖≤‖Δ-1K21‖·‖L0‖·‖M1‖<1，

則L+ΔL可被K鎮(zhèn)定等價于

由已知條件可得

證明 令

又因為

因此，K鎮(zhèn)定L(I+ΔL).證畢.

3 結論與展望

本文研究了套代數框架下，具有內部環(huán)結構及其等價形式的控制器魯棒鎮(zhèn)定系統(tǒng)問題，既保證具有擾動的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，又滿足一定的性能指標，得到了系統(tǒng)魯棒鎮(zhèn)定的幾個充分條件.對于系統(tǒng)魯棒鎮(zhèn)定的充要條件、穩(wěn)定裕等相關內容，則需要進一步深入研究.

[1]BallJA,CohenN.ThesensitivityminimizationinanH∞norm:parameterizationofalloptimalsolutions[J].IntJContr,1987,46:785-816.

[2]FoiasC,?zbayH,TannenbaumA.RobustControlofInfiniteDimensionalSystems[C].Berlin:Springer,1996.

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[5]YufengLu,LiuLiu.Discussionon:thereliablestabilizationproblemfordiscretetime-varyinglinearsystem[J].EuropeanJournalofcontrol,2012,2:141-144.

[6]YufengLu,ChengkaiShi.StabilizationofTime-varyingSystembyControllerwithInternalLoop[J].MathematicalProblemsinEngineering,2012,ArticleID132597,16,pages.

[7] 盧玉峰.泛函分析[M].北京：科學出版社，2008.

[8]RFCurtain,GWeiss,MWeiss.Coprimefactorizationforregularlinearsystems[J].Automatica,1936,32:1519-1531.

[9]RFCurtain,GWeiss,MWeiss.Stabilizationofirrationaltransferfunctionsbycontrollerswithinternalloop,System,approximation,singularintegraloperatorsandrelatedtopics[C].Basel:Birkhauser,2000.

GAN Naifeng

(SchoolofMathematicsandInformationScience，AnshanNormalUniversity,AnshanLiaoning114007,China)

(責任編輯：張冬冬)

Robust stabilization of linear systems in the framework of Nest algebra

In this paper,we study robust stabilization of linear system with internal loop controller in the frame of nest algebra.We give a new stabilizing controller with internal loop and its two special subclasses,called canonical and dual canonical controller.Some sufficient conditions such that canonical or dual canonical controller stabilizes uncertainty plant are obtained. Key words Nest algebra;Robust stabilization;canonical controllers;dual canonical controllers

2015-09-06

甘乃峰 (1974-),男，遼寧沈陽人，鞍山師范學院數學與信息科學學院講師，博士.研究方向:魯棒控制、算子理論.

O177.2

A

1008-2441(2015)06-0001-06