接觸力控制的單腿機(jī)器人姿態(tài)控制*

?

接觸力控制的單腿機(jī)器人姿態(tài)控制*

侯文琦，王劍，韋慶，馬宏緒

(國(guó)防科技大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙410073)

摘要：為了使Acrobot(Acrobat類(lèi)型的單腿機(jī)器人)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中相對(duì)地面沒(méi)有滑動(dòng)，設(shè)計(jì)了基于接觸力控制的姿態(tài)控制系統(tǒng)，將水平方向接觸力作為內(nèi)環(huán)的控制對(duì)象并限制其大小，使其總能滿足摩擦錐的約束，從而保證在小腿姿態(tài)角的跟蹤過(guò)程中足與地面間不會(huì)產(chǎn)生滑動(dòng)。在Acrobot的直立姿態(tài)處，對(duì)其動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行線性化，并得到驅(qū)動(dòng)力矩—水平接觸力—質(zhì)心水平位置—小腿姿態(tài)角的傳遞函數(shù)鏈，進(jìn)而設(shè)計(jì)小腿姿態(tài)角的多環(huán)控制系統(tǒng)。在MATLAB中用“SimMechanics”工具箱搭建了Acrobot的虛擬模型，仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的多環(huán)控制系統(tǒng)在實(shí)現(xiàn)小腿姿態(tài)角跟蹤控制的同時(shí)還能保證足與地面間不產(chǎn)生滑動(dòng)。

關(guān)鍵詞：Acrobot；姿態(tài)控制；接觸力控制；滑動(dòng)；多環(huán)控制

Acrobot(Acrobat類(lèi)型的單腿機(jī)器人)是一種平面型的2連桿機(jī)器人，它只有一個(gè)主動(dòng)的旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，小腿末端是一個(gè)弧形的腳，相對(duì)地面是自由轉(zhuǎn)動(dòng)的，是一個(gè)典型的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。對(duì)Acrobot的平衡與跳躍控制問(wèn)題的研究，有助于揭示足類(lèi)運(yùn)動(dòng)的內(nèi)在機(jī)理，促進(jìn)足式機(jī)器人運(yùn)動(dòng)性能的提高[1-5]。

Acrobot最早是由Hauser等提出的，用來(lái)研究非線性控制問(wèn)題，它的末端是無(wú)驅(qū)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)鉸鏈[6]；Spong用基于部分反饋線性化的方法設(shè)計(jì)的線性二次型調(diào)節(jié)器(Linear Quadratic Regulator,LQR)控制器，實(shí)現(xiàn)了從下垂位置起擺到豎直向上站立的平衡[7]；將上肢越過(guò)豎直位置時(shí)的速度看作不確定性因素，Xin等設(shè)計(jì)了比LQR控制器吸引域更大的平衡控制器[8-9]；Yamakita等設(shè)計(jì)了輸出零化控制器，其輸出函數(shù)是由角動(dòng)量和某一新的狀態(tài)定義的，在計(jì)算驅(qū)動(dòng)力矩時(shí)，需要計(jì)算角動(dòng)量的三次微分[10-11]；基于復(fù)合滑動(dòng)面控制(Multiple Sliding Surface Control,MSSC)技術(shù)，Qaiser等設(shè)計(jì)了無(wú)須監(jiān)管的平衡控制器[12]。

最早對(duì)弧形腳的Acrobot的平衡與跳躍進(jìn)行研究的是Berkemeier等，他們?cè)诩僭O(shè)各個(gè)連桿的姿態(tài)和速度可測(cè)的條件下，實(shí)現(xiàn)了弧形腳的Acrobot的平衡和跳躍運(yùn)動(dòng)[2]；Azad等在期望的平衡點(diǎn)處對(duì)Acrobot的動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行線性化，假設(shè)足端與地面間沒(méi)有滑動(dòng)，通過(guò)控制相對(duì)支撐點(diǎn)的角動(dòng)量實(shí)現(xiàn)了弧形腳的Acrobot的平衡控制[3-4]。

對(duì)于末端是鉸鏈的Acrobot，其末端總能提供足夠的約束力，因而在平衡控制中不用考慮接觸力的協(xié)調(diào)性，但控制方法應(yīng)用在末端是弧形腳的Acrobot上很可能會(huì)產(chǎn)生滑動(dòng)，而B(niǎo)erkemeier和Azad等的方法要求機(jī)器人各連桿的角度和角速度是可測(cè)的，這在實(shí)際系統(tǒng)中是很難實(shí)現(xiàn)的。

本文采用內(nèi)外環(huán)的控制策略，在豎直向上的平衡位置處，對(duì)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行線性化，推導(dǎo)了驅(qū)動(dòng)力矩—接觸力—質(zhì)心位置—小腿姿態(tài)角的傳遞函數(shù)，通過(guò)內(nèi)外環(huán)控制器的設(shè)計(jì)，在僅需測(cè)量姿態(tài)角和接觸力的條件下，實(shí)現(xiàn)了帶有弧形腳的Acrobot的平衡與姿態(tài)控制，且接觸力始終滿足摩擦錐的約束。

1模型與動(dòng)力學(xué)方程

研究弧形腳的Acrobot的平衡及姿態(tài)控制問(wèn)題，其模型如圖1所示。膝關(guān)節(jié)是唯一有主動(dòng)驅(qū)動(dòng)力矩的關(guān)節(jié)，腳上安裝力傳感器以測(cè)量接觸力的大小。

圖1　Acrobot模型Fig.1　Model of the Acrobot

qe=[x;y;θ0;θ1]為一組廣義坐標(biāo)，其中x,y為足端在慣性系中的位置，θ0為小腿相對(duì)豎直方向的夾角，θ1為大腿與小腿間的夾角，約定逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)榻嵌鹊恼较颉x,Fy分別為足與地面間接觸力在水平方向和豎直方向的分量。

在支撐期，機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

其中

c4=(mthLsh+mshLsh1),c5=mthLth1

表1Acrobot的物理參數(shù)

Tab.1Physical parameters of the Acrobot

大腿mth(kg)Jth(kg·m2)Lth(m)Lth1(m)15.0720.8080.80.4小腿msh(kg)Jsh(kg·m2)Lsh(m)Lsh1(m)2.5120.0340.40.2

Azad等研究了球面和平面接觸時(shí)的接觸力模型，得到了一個(gè)包含庫(kù)侖摩擦的非線性模型[13]，即

(2)

(3)

函數(shù)clip(a,b,c)返回的是介于b和c之間的a的值，參數(shù)Kn=8.5×106,Kt=12.75×106，Dn=Dt=3.1×105，滑動(dòng)摩擦系數(shù)μ=0.4。該模型是眾多接觸力模型中較為接近實(shí)際又能在計(jì)算機(jī)仿真中實(shí)現(xiàn)的一種模型[14-15]。

2控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

2.1　平衡點(diǎn)

令X表示機(jī)器人質(zhì)心相對(duì)足端的水平距離，則有

(4)

微分可得

(5)

(6)

(7)

代入式(1)即可得

(8)

由式(8)的第3行可得

(9)

Xdes=0

(10)

又由式(7)可得

(11)

2.2　線性化與傳遞函數(shù)

系統(tǒng)平衡時(shí)，由式(8)的第2行可知，豎直方向的接觸力為常值，即

(12)

(13)

在平衡過(guò)程中不考慮接觸點(diǎn)處豎直方向的動(dòng)態(tài)，將式(13)代入式(3)，在滑動(dòng)摩擦力的范圍內(nèi)，接觸力水平方向的分量可近似為線性的彈簧-阻尼模型，即

(14)

水平力到水平形變的傳遞函數(shù)為

(15)

由水平方向的牛頓方程，即式(1)的第1行，可得

(16)

聯(lián)立式(14)和式(16)可得水平力到質(zhì)心水平位移的傳遞函數(shù)為

(17)

由式(6)可得

(18)

(19)

其中

(N2s2-N3K1s2-N1g)·

(20)

其中

2.3　控制器設(shè)計(jì)

圖2　Acrobot控制系統(tǒng)框圖Fig.2　Control system structure of the Acrobot

系統(tǒng)完整的動(dòng)力學(xué)方程式(1)顯示出：驅(qū)動(dòng)力矩、接觸力、質(zhì)心位置和小腿姿態(tài)角間是相互耦合的，而系統(tǒng)的控制輸入僅有一個(gè)，因而能穩(wěn)定控制的輸出量?jī)H有一個(gè)。上節(jié)的分析說(shuō)明：若不考慮豎直方向的動(dòng)態(tài)，在期望的平衡點(diǎn)處可以得到它們之間的線性化傳遞函數(shù)鏈。要實(shí)現(xiàn)接觸力協(xié)調(diào)的小腿姿態(tài)角的控制，就是要在控制小腿姿態(tài)角的同時(shí)，對(duì)接觸力水平分量的幅值進(jìn)行限制，即滿足摩擦錐的約束?；诙喹h(huán)控制的思想，設(shè)計(jì)基于力內(nèi)環(huán)的小腿姿態(tài)角控制系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)如圖2所示，其中小腿的姿態(tài)角控制是最外環(huán)。對(duì)于多環(huán)控制系統(tǒng)，外環(huán)是目標(biāo)環(huán)，其控制器是主導(dǎo)控制器，外環(huán)控制器的穩(wěn)定性決定了整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。通常按照由外向內(nèi)的順序進(jìn)行設(shè)計(jì)，在設(shè)計(jì)外環(huán)控制器時(shí)，將內(nèi)環(huán)的傳遞函數(shù)設(shè)為1，在設(shè)計(jì)內(nèi)環(huán)控制器時(shí)，要使內(nèi)環(huán)的調(diào)節(jié)時(shí)間盡可能地小于外環(huán)的調(diào)節(jié)時(shí)間。在實(shí)現(xiàn)該控制系統(tǒng)時(shí)，僅需要機(jī)器人的姿態(tài)角可測(cè)就行，其中膝關(guān)節(jié)的角度可在關(guān)節(jié)處安裝電位計(jì)或碼盤(pán)測(cè)量得到，小腿姿態(tài)角可在小腿或大腿上安裝IMU測(cè)量得到，這比Berkemeier和Azad等的方法在實(shí)際系統(tǒng)中更易于實(shí)現(xiàn)。

3仿真結(jié)果與分析

在MATLAB中，應(yīng)用“SimMechanics”工具箱，依據(jù)表1的參數(shù)，構(gòu)建了Acrobot的虛擬模型，如圖3所示。

圖3　Acrobot虛擬模型Fig.3　Virtual model of the Acrobot

圖4顯示了小腿姿態(tài)角的跟蹤效果。從圖中可以看出，設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)Acrobot的小腿姿態(tài)角的穩(wěn)定跟蹤控制。從圖中還可以看出，姿態(tài)角的跟蹤存在1s左右的滯后，這是由于外環(huán)控制器的調(diào)節(jié)時(shí)間為0.98s的緣故，文獻(xiàn)[3]中的結(jié)果也體現(xiàn)出了這種滯后的特點(diǎn)。

圖4　小腿姿態(tài)角的跟蹤效果Fig.4　Tracking result of the shank′s posture angle

圖5顯示了機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過(guò)程中摩擦錐約束范圍和水平接觸力的大小。從圖中可以看出水平接觸力始終位于摩擦錐約束的范圍內(nèi)，即沒(méi)有滑動(dòng)的產(chǎn)生。

圖5　水平力和摩擦錐范圍Fig.5　Horizontal force and the friction cone

圖6顯示了機(jī)器人膝關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩的曲線，從圖中可以看出所需要的驅(qū)動(dòng)力矩小于70N·m，說(shuō)明設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)在實(shí)際中是可以實(shí)現(xiàn)的。

圖6　驅(qū)動(dòng)力矩曲線Fig.6　Actuation torque curve

4結(jié)論

通過(guò)對(duì)弧形腳的Acrobot的動(dòng)力學(xué)方程在平衡點(diǎn)處的線性化，得到驅(qū)動(dòng)力矩—水平接觸力—質(zhì)心水平位置—小腿姿態(tài)角的傳遞函數(shù)鏈，由此而設(shè)計(jì)的三環(huán)控制系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)小腿姿態(tài)角的跟蹤控制，同時(shí)滿足接觸力摩擦錐的約束。將來(lái)的工作將致力于三個(gè)方面：①基于接觸力控制的機(jī)器人質(zhì)心水平速度的控制，用于足式機(jī)器人行走模式下支撐期的控制；②基于接觸力控制的弧形腳的Acrobot的跳躍控制，用于足式機(jī)器人奔跑模式下支撐期的控制；③基于接觸力控制的柔性碰撞控制，用于實(shí)現(xiàn)足式機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過(guò)程中支撐腿的柔性切換。

參考文獻(xiàn)(References)

[1]Raibert M H. Legged robots that balance[M]. Massachusetts: Massachusetts Institute of Technology, 1986.

[2]Berkemeier M D, Fearing R S. Sliding and hopping gaits for the underactuated Acrobot[J]. IEEE Transactions on Robotics and Automation,1998, 14(4):629-634.

[3]Azad M, Featherstone R. Angular momentum based controller for balancing an inverted double pendulum[C]// 19th CISM-Iftomm Symposium on Robot Design, Dynamics and Control, 2013, 544:251-258.

[4]Azad M, Featherstone R. Balancing and hopping motion of a planar hopper with one actuator[C]// IEEE International Conference on Robotics and Automation (ICRA), Karlsruhe, Germany, 2013:2027-2032.

[5]Sayyad A, Seth B, Seshu P. Single-legged hopping robotics research-a review[J]. Robotica, 2007, 25(5):587-613.

[6]Hauser J, Murray R M. Nonlinear controllers for non-integrable systems: the Acrobot example[C]//IEEE American Control Conference, San Diego: Chemical Abstracts, 1990:669-671.

[7]Spong M W. The swing up control problem for the Acrobot[J]. IEEE Control Systems,1995, 15(1): 49-55.

[8]Xin X, Kaneda M. A new solution to the swing up control problem for the Acrobot[C]// Proceedings of the 40th SICE Annual Conference, Nagoya: IEEE, 2001:124-129.

[9]Xin X, Mita T, Kaneda M. The posture control of a 2-link free flying Acrobot with initial angular momentum[C]// Proceedings of the 41st IEEE Conference on Decision and Control, Las Vegas, Nevada, USA, 2002,2:2063-2078.

[10]Yamakitat M, Yonemura T, Michitsuji Y, et al. Stabilization of Acrobat robot in upright position on a horizontal bar[C]// Proceedings of the 2002 IEEE International Conference on Robotics & Automation, Washington D.C. , 2002, 3:3093-3098.

[11]Yonemura T, Yamakita M. Swing up control of Acrobot based on switched output functions[C]// SICE Annual Conference, IEEE, Sapporo,2004, 3:1909-1914.

[12]Qaiser N, Iqbal N,Qaiser N. Stabilization of the Acrobot via multiple sliding surface control[C]// Proceedings of the 6th WSEAS International Conference on Instrumentation, Measurement, Circuits & Systems, Hangzhou, 2007:175-180.

[13]Azad M, Featherstone R. Modeling the contact between a rolling sphere and a compliant ground plane[C]. Australasian Conference Robotics and Automation, Brisbane, Australia, 2010.

[14]Gilardi G, Sharf I. Literature survey of contact dynamics modeling[J]. Mechanism and machine theory, 2002, 37(10):1213-1239.

[15]Wight D L. A foot placement strategy for robust bipedal gait control[D]. Ontario:University of Waterloo, 2008.

Posture control of a single leg robot with controlled contact force

HOUWenqi,WANGJian,WEIQing,MAHongxu

(College of Mechatronics Engineering and Automation, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

Abstract：A posture control system based on the controlled contact force was designed to ensure there is no slipping between the foot of Acrobot(acrobatic single-leg robot) and the ground during motion. The horizontal component of the contact force was set as the control objective of the internal loop and its value was restricted by the friction cone, so that the contact consistency between foot and ground at the tracking process of the shank′s posture angle was preserved. At the upright equilibrium posture of Acrobot, the dynamic equations were linearized and the transfer function link “actuation torque-horizontal contact force-horizontal position of the center of mass-posture angle of the shank” was derived to design the multi-loop control system for the posture angle of the shank. A virtual Acrobot model was built in MATLAB by using the “SimMechanics” toolbox. Simulation results show that the designed control system can realize the tracking control without slipping between the foot and the ground.

Key words：Acrobot; posture control; contact force control; slipping; multi-loop control

中圖分類(lèi)號(hào)：TP242.0

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-2486(2015)02-112-05

收稿日期：2014-05-26基金項(xiàng)目：國(guó)家863計(jì)劃資助項(xiàng)目(2011AA040801)；國(guó)防科技大學(xué)博士生跨學(xué)科聯(lián)合培養(yǎng)計(jì)劃資助項(xiàng)目(kxk140101)

作者簡(jiǎn)介：侯文琦(1984—)，男，湖北棗陽(yáng)人，博士研究生，E-mail：houwnq@126.com；馬宏緒(通信作者)，男，教授，博士，博士生導(dǎo)師，E-mail：mhx1966@163.com

doi:10.11887/j.cn.201502021

http://journal.nudt.edu.cn