非線性濕氣遷移方程的非協(xié)調(diào)元的超收斂分析

樊明智, 王芬玲

(許昌學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，河南 許昌 461000)

樊明智, 王芬玲

(許昌學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，河南 許昌 461000)

摘要：在半離散格式下研究了非線性濕氣遷移方程的非協(xié)調(diào)有限元逼近問題.利用該有限元的相容誤差在能量模意義下可以達到O(h2)比其插值誤差高一階的特殊性質(zhì), 再結合高精度分析和平均值技巧導出了O(h2)階的超逼近性，進而運用插值后處理技術得到了超收斂結果.

關鍵詞：非線性濕氣遷移方程；非協(xié)調(diào)元；超逼近；超收斂

0引言

考慮如下的非線性濕氣遷移方程[1]

(1)

(i) 存在正常數(shù)a0、a1、b0、b1、f0、f1、e1使得X∈Ω、t∈(0,T]滿足

(ii)g(u,X)關于u滿足Lipschitz條件.

設Th為Ω上的一族均勻矩形剖分, 定義單元K的中心為(xk,yk), 其邊長分別為2hx,2hy,h為K的最大直徑,單元K的頂點為

a1(xK-hx,yk-hy)、a2(xK+hx,yk-hy)、a3(xK+hx,yk+hy)、a4(xK-hx,yk+hy),

∑={vi,i=1,2,3,4,5}, P=span{1,x,y,x2,y2},

Vh={vh∶vh|K∈P,∫F|vh|ds=0,F??K,?K∈Th},

其中[vh]表示vh跨過單元邊界F的跳躍度, 當F??Ω時,[vh]=vh.

設Ih:u∈H1(Ω)→Ihu∈Vh為由Vh所誘導的插值算子, 滿足

Ih|K=IK,∫li(IKu-u)ds=0(i=1、2、3、4),∫K(IKu-u)dxdy=0.

在[5]和[6]中證明了下面的重要結論.

引理1對任意vh∈Vh,φ(X,t)是關于X光滑函數(shù), 有

(▽h(u-Ihu),▽hvh)h=0,

(2)

(3)

考慮問題(1)的相應變分問題為：

(4)

式(4)的離散問題為：求uh∈Vh, 使得對任意vh∈Vh滿足

(5)

2超逼近和超收斂分析

定理1設u,uh分別為(4)和(5)的解,u、ut∈H3(Ω)，則有超逼近結果

證明記uh-u =(uh-Ihu)-(u-Ihu)=θ-η,?vh∈Vh, 由(4)和(5)得

a(t)(▽hθt,▽hvh)h+b(t)(θt,vh)h+(f(X,t)▽hθ,▽hvh)h

=a(t)(▽hηt,▽hvh)h+b(t)(ηt,vh)h+(f(X,t)▽hη,▽hvh)h+

(6)

在(6)中取vh=θt得

=a(t)(▽hηt,▽hθt)h+b(t)(ηt,θt)h+(f(X,t)▽hηt,▽hθt)h+

(7)

下面逐項對A1～A8進行估計.

根據(jù)引理1中的(2)得A1=0,由Cauchy-Schwartz不等式和插值理論得

首先，進行殘差檢驗，對修正后模型實施哈維檢驗，收尾概率=0.196 1，大于顯著性水平5%，所以接受原假設，殘差不存在異方差性，參數(shù)估計是有效的；其次，進行參數(shù)檢驗，在1%的顯著性水平上，a0、a1和a2的P值均小于0.01，說明公式(3)中待估參數(shù)都是顯著的；再次，進行模型整體檢驗，在1%的顯著性水平上，F(xiàn)統(tǒng)計量對應的P值也小于0.01，說明方程的整體線性是顯著的，樣本可決系數(shù)R2=0.992，接近1，說明方程的擬合程度較好。

(8)

利用(8)和引理1中的(2)得

基于[21、22]中已給出的結論(β·▽η,vh)≤Ch2‖u‖3‖vh‖0,β是常數(shù).再結合引言中假設(i)和式(8)得

|A4| =|(e1(X,t)ηx,θt)+(e2(X,t)ηy,θt)|

另一方面, 由[23]得

‖vh‖0≤C‖vh‖h.

再借助于引言中假設條件(ii)得

由假設(i)得

(9)

將A1～A8的估計和式(9)代入到式(7)得

(10)

對式(10)的兩端從0到t積分, 并注意到θ(X,0)=0,得

因此, 由Gronwall引理得

(11)

從而定理1得證.

(12)

(13)

(14)

(15)

定理2在定理1的條件下有

證明根據(jù)定理1和(13)～(15)得

≤C‖uh-Ihu‖h+Ch2‖u‖3

定理2得證.

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NonlinearMoistureTransferEquation

FANMing-zhi,WANGFen-ling

(School of Mathematics and Statistics, Xuchang University, Xuchang 461000, China)

Abstract:An nonconforming finite element approximation for nonlinear moisture transfer equation is studied under the semi-discrete scheme. By using the specific feature that the consistence error of this element can reach o(h2) under energy fuzziness, which is one rank higher than its interpolation error, and by using high accuracy analysis and mean-value technique, the super approximation of o(h2) is derived, then the superconvergence result is obtained through interpolated post processing technique.

責任編輯：周倫

中圖分類號：O242.21

文獻標識碼：A

文章編號：1671-9824(2015)02-0001-05

作者簡介：樊明智(1969—),男,河南鄢陵人,教授,碩士,研究方向：有限元方法及其應用.

基金項目：河南省教育廳自然科學基金項目(14A110009)；許昌市科技發(fā)展計劃項目(1404010)

收稿日期：2014-09-11