行混合陣列部分和最大值的完全收斂性

沈建偉

(浙江科技學(xué)院 理學(xué)院,杭州 310023)

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浙江科技學(xué)院學(xué)報,第27卷第1期,2015年2月

Journal of Zhejiang University of Science and Technology

Vol.27 No.1, Feb. 2015

沈建偉

(浙江科技學(xué)院 理學(xué)院,杭州 310023)

摘要:利用隨機(jī)變量的截尾方法和混合序列的矩不等式,得到了一定條件下行混合序列部分和最大值的完全收斂性,推廣了若干已有的結(jié)果。

關(guān)鍵詞:行混合陣列;完全收斂性;部分和;截尾

1預(yù)備知識

設(shè){Xn,n≥1}是定義在概率空間(Ω,A,P)上的隨機(jī)變量序列,FS=σ(Xi,i∈S?)為σ-域。在A中給定σ-域F和R。令

對k≥0,令

定義1對隨機(jī)序列{Xn,n≥1},若存在k∈,使得,則稱{Xn,n≥1}為混合序列。

文中總設(shè)C代表正常數(shù),在不同的地方可以代表不同的值。I(A)代表集A的示性函數(shù)。

2主要結(jié)果及證明

如果

(1)

那么對于?ε>0,

(2)

(3)

假設(shè)gn(x)滿足條件1),則在區(qū)間|x|≤an中,可得

(4)

假設(shè)gn(x)滿足條件2),在區(qū)間|x|≤an中,可得

(5)

因此,無論gn(x)滿足條件1)或2),在區(qū)間|x|≤an中,都有

(6)

若條件1)滿足,結(jié)合式(4)、式(1)可得

故無論gn(x)滿足條件1)或條件2),都有式(3)成立。

易見:對于?ε>0,

故要證明式(2)成立,只需證明:

(7)

(8)

首先證式(7)。

若條件1)滿足,由0

當(dāng)|Xni|>an時,

gn(|Xni|)>gn(an)。

當(dāng)|Xni|>an時,

得

再證式(8)。由Markov不等式、引理1、式(6)、式(1)可得

證畢。

在定理1中,在條件1)中取pn≡1，在條件2)中取pn≡2,則可得如下結(jié)果:

注:此結(jié)論即為文獻(xiàn)[9]中的定理2.2。

注:此結(jié)論推廣了文獻(xiàn)[11]中的定理5.2.3的結(jié)果。

注:此結(jié)論推廣了文獻(xiàn)[11]中的定理5.3.5的結(jié)果。

如果

(9)

那么對于?ε>0,式(2)成立。

定理2的證明沿用定理1的記號,要證明式(2)成立,只需證明:

(10)

由Jensen不等式、式(10)、式(9)可得

由1/pn<2/pn≤1

(11)

由0

由Markov不等式、引理1、Jensen不等式、式(10)、式(11)可得

證畢。

參考文獻(xiàn):

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[11]吳群英.混合序列的概率極限理論[M].北京:科學(xué)出版社,2006.

Complete convergence for maximal partial sums of arrays of

SHEN Jianwei

(School of Sciences, Zhejiang University of Science and Technology, Hangzhou 310023, China)

Abstract:The complete convergence for the maximal partial sums of arrays of rowwise-mixing sequence of random variables was obtained under some suitable conditions by the truncation methods of random variables and moment inequalities of-mixing sequence. The results available extended some known theorems.

Key words:arrays of rowwise-mixing sequence; complete convergence; partial sums; truncation

中圖分類號:O211.4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號:1671-8798(2015)01-0001-05

作者簡介:沈建偉(1972—),男,浙江省蕭山人,講師,碩士,主要從事概率極限理論研究。

收稿日期:2015-01-06

doi:10.3969/j.issn.1671-8798.2015.01.001