應(yīng)用虛擬結(jié)構(gòu)的衛(wèi)星編隊飛行自適應(yīng)協(xié)同控制

黃勇李小將楊業(yè)偉李志亮（裝備學(xué)院研究生管理大隊，北京 046）（2裝備學(xué)院航天裝備系，北京 046）（3裝備學(xué)院激光推進及其應(yīng)用國家重點實驗室，北京 046）

應(yīng)用虛擬結(jié)構(gòu)的衛(wèi)星編隊飛行自適應(yīng)協(xié)同控制

黃勇1李小將2，3楊業(yè)偉1李志亮1
（1裝備學(xué)院研究生管理大隊，北京 101416）
（2裝備學(xué)院航天裝備系，北京 101416）
（3裝備學(xué)院激光推進及其應(yīng)用國家重點實驗室，北京 101416）

針對衛(wèi)星編隊飛行協(xié)同控制存在質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量不確定性及外部擾動的問題，提出了一種應(yīng)用虛擬結(jié)構(gòu)的衛(wèi)星編隊飛行自適應(yīng)協(xié)同控制方法。首先，通過對虛擬結(jié)構(gòu)模型的描述，建立了虛擬結(jié)構(gòu)狀態(tài)變量與編隊衛(wèi)星期望狀態(tài)之間的表達式；其次，設(shè)計了編隊衛(wèi)星和虛擬結(jié)構(gòu)的位置、姿態(tài)自適應(yīng)協(xié)同控制器，通過在虛擬結(jié)構(gòu)控制器中引入編隊衛(wèi)星的狀態(tài)誤差，實現(xiàn)了編隊信息至虛擬結(jié)構(gòu)的反饋，并采用Barbalat引理證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和對有界擾動的抑制；最后，以三星編隊協(xié)同軌道機動和空間指向性偏轉(zhuǎn)為例對所設(shè)計的控制器進行了仿真驗證。仿真結(jié)果表明：設(shè)計的控制器能夠?qū)崿F(xiàn)對編隊衛(wèi)星質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量的自適應(yīng)估計，使得編隊衛(wèi)星位置和姿態(tài)控制誤差最終趨近于零，驗證了所提方法的有效性。

協(xié)同控制；自適應(yīng)；虛擬結(jié)構(gòu)；不確定性；有界擾動；衛(wèi)星編隊

1 引言

目前，衛(wèi)星編隊飛行協(xié)同控制策略主要以主從結(jié)構(gòu)、行為結(jié)構(gòu)和虛擬結(jié)構(gòu)協(xié)同控制為主［1］，每種控制策略各有特點。其中，主從結(jié)構(gòu)和行為結(jié)構(gòu)編隊飛行協(xié)同控制策略在星間的相對運動控制方面優(yōu)勢明顯，但卻不利于對編隊整體行為的控制。而虛擬結(jié)構(gòu)編隊飛行協(xié)同控制策略僅需要通過控制虛擬結(jié)構(gòu)即可實現(xiàn)對整個編隊控制的目的，易于對編隊整體行為進行描述和控制［2－5］。文獻［3－5］引入編隊信息到虛擬結(jié)構(gòu)的反饋提升了編隊飛行的穩(wěn)定性和魯棒性。文獻［4］中引入的多級虛擬結(jié)構(gòu)分布式控制思想，使得每個虛擬結(jié)構(gòu)中又包含有多個虛擬結(jié)構(gòu)，有利于編隊衛(wèi)星的在軌擴充和撤離。然而，上述文獻研究對象均集中于深空環(huán)境中的編隊飛行，采用的衛(wèi)星動力學(xué)模型為簡單的二階積分模型。而針對深空環(huán)境中編隊衛(wèi)星設(shè)計的控制器并不可簡單地用于近地軌道編隊衛(wèi)星，需考慮地球引力、外界干擾甚至質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量的不確定性對衛(wèi)星位置和姿態(tài)的綜合作用。因此，近地軌道空間中的虛擬結(jié)構(gòu)編隊飛行協(xié)同控制問題還有待于探討和研究。

本文針對近地軌道編隊飛行，考慮衛(wèi)星質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量的不確定性，分別對編隊衛(wèi)星和虛擬結(jié)構(gòu)設(shè)計位置、姿態(tài)自適應(yīng)協(xié)同控制器，同時證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和對有界擾動的抑制。最后，以編隊整體平移和空間指向性偏轉(zhuǎn)為例仿真驗證了方法的有效性。

2 問題描述

2.1 軌道動力學(xué)模型

近地軌道衛(wèi)星在地心慣性坐標(biāo)系下的軌道動力學(xué)方程可以表示為［6］

式中 mi為衛(wèi)星i的質(zhì)量；ri和vi為衛(wèi)星i在地慣系中的位置；fi和di分別為衛(wèi)星i所受的控制力和空間攝動力；μ為地球引力常數(shù)；‖ri‖表示向量ri的歐式范數(shù)。

2.2 姿態(tài)動力學(xué)模型

剛體衛(wèi)星姿態(tài)動力學(xué)方程［6］為

式中 Ji為衛(wèi)星i的轉(zhuǎn)動慣量；ωi為衛(wèi)星i相對于地慣系的角速度；τi和ti為衛(wèi)星i所受的控制力矩和干擾力矩。

由單位四元數(shù)表示的衛(wèi)星姿態(tài)運動學(xué)方程［7］為

圖1 虛擬結(jié)構(gòu)模型示意Fig.1 Schematic diagram of virtual structure

2.3 虛擬結(jié)構(gòu)模型

若將一顆衛(wèi)星視為在慣性系中運動的剛體，則該剛體中各點的絕對位置會發(fā)生變化，但同一剛體中不同點之間的相對位置是一定的。若將該剛體中的某些點以衛(wèi)星取代，且將剛體虛擬化后，則這些相對位置彼此固定的衛(wèi)星便會組成一個形似剛體的衛(wèi)星編隊。如上所述，虛擬結(jié)構(gòu)模型如圖1所示：坐標(biāo)系（O－XYZ）為地慣系；三角形的頂點代表三個編隊成員，各成員本體系固聯(lián)于成員質(zhì)心；若將三星編隊整體等同于一個虛擬剛體，并在虛擬質(zhì)心處建立一個參考系F，F(xiàn)運動，則整個編隊隨之而動。

根據(jù)上述對虛擬結(jié)構(gòu)模型的描述，結(jié)合科里奧利相對運動理論［8］，可得到由虛擬結(jié)構(gòu)狀態(tài)變量表示的編隊成員期望狀態(tài)表達式：

2.4 控制目標(biāo)

假設(shè)衛(wèi)星編隊中各成員均可獲取期望狀態(tài)信息，定義衛(wèi)星i的狀態(tài)誤差：位置誤差速度誤差，姿態(tài)四元數(shù)誤差，角速度誤差。其中，為四元數(shù)qi的逆，定義為；表示四元數(shù)乘法?？刂颇繕?biāo)為：在衛(wèi)星質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量不確定的條件下，對虛擬結(jié)構(gòu)和衛(wèi)星分別設(shè)計位置、姿態(tài)自適應(yīng)協(xié)同控制器，控制虛擬結(jié)構(gòu)狀態(tài)向期望狀態(tài)運動的同時，編隊成員狀態(tài)向期望狀態(tài)運動，最終實現(xiàn)編隊的整體控制。即t→∞時，

3 自適應(yīng)協(xié)同控制器設(shè)計

在衛(wèi)星編隊飛行任務(wù)中，編隊成員多為小衛(wèi)星，其在軌運行過程中由于燃料消耗、彈性結(jié)構(gòu)和太陽翼等造成的衛(wèi)星質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量不確定性不容忽視。因此，有必要設(shè)計自適應(yīng)的協(xié)同控制器以使被控系統(tǒng)達到控制目標(biāo)。

3.1 編隊衛(wèi)星位置和姿態(tài)自適應(yīng)控制器設(shè)計

為便于控制器設(shè)計及后續(xù)定理的證明，定義位置和速度誤差輔助變量（α為正常數(shù)）：

設(shè)計由PD控制律加上前饋自適應(yīng)補償環(huán)節(jié)組成的位置協(xié)同控制律如下：

式中 γi為正常數(shù)。定義衛(wèi)星i的質(zhì)量估計誤差為，則有

暫不考慮衛(wèi)星i所受的空間攝動力，系統(tǒng)狀態(tài)誤差動力學(xué)模型的閉環(huán)形式為

定理1 考慮被控系統(tǒng)動力學(xué)模型式（1），假設(shè)衛(wèi)星i所受的空間攝動力di＝0，在衛(wèi)星質(zhì)量不確定的條件下，采用控制律式（6）和式（7），有及全局一致有界，且當(dāng)t→∞時，滿足→0，→0。

證明 選取如下Lyapunov函數(shù)：

將式（9）沿被控系統(tǒng)式（1）對時間t求導(dǎo)，得

同樣，引入有關(guān)姿態(tài)四元數(shù)和角速度誤差的輔助變量β為正常數(shù)：

聯(lián)立式（2）和式（11）可得：

設(shè)計由PD控制律加上前饋自適應(yīng)補償環(huán)節(jié)組成的姿態(tài)協(xié)同控制律如下：

式中 ηi為正常數(shù)。定義ξi的估計誤差為，則有

暫不考慮衛(wèi)星i所受的干擾力矩，系統(tǒng)狀態(tài)誤差動力學(xué)模型的閉環(huán)形式為

定理2 考慮被控系統(tǒng)動力學(xué)模型式（2），假設(shè)衛(wèi)星i所受的干擾力矩ti＝0，在衛(wèi)星轉(zhuǎn)動慣量不確定的條件下，采用控制律式（12）和式（14），有，及全局一致有界，且當(dāng)t→∞時，滿足→0→0。

證明 選取如下Lyapunov函數(shù)［12］：

將式（15）沿被控系統(tǒng)式（2）對時間t求導(dǎo)，得：

由于V1＞0，≤0，則（si，）∈L∞；結(jié)合式（11）和＝－，可得，及全局一致有界。另外根據(jù)式（12）～（14）可得∈L∞。由Barbalat引理可知，當(dāng)t→∞時，si→0；而式（8）可視輸入為si的一階線性系統(tǒng)，則該系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，即，）∈L2∩L∞，因此，當(dāng)t→∞時，有→0，→0。證畢。

3.2 有界擾動穩(wěn)定性分析

下面對被控系統(tǒng)含有外部干擾的情況進行討論。這里假設(shè)衛(wèi)星i所受的空間攝動力Di和干擾力矩ti有界，即‖di‖≤Di，‖ti‖≤Ti，此假設(shè)合理且不失一般性。選取與式（9）和式（15）同樣的Lyapunov函數(shù)，分別對時間t求導(dǎo)，得

對于V1，對于V2，當(dāng)時，有可見系統(tǒng)屬于有界條件下的穩(wěn)定，通過調(diào)節(jié)控制參數(shù)和，可使系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)收斂到平衡點的δi和εi鄰域內(nèi)。

3.3 虛擬結(jié)構(gòu)位置和姿態(tài)控制器設(shè)計

在設(shè)計虛擬結(jié)構(gòu)位置和姿態(tài)控制器時，須考慮編隊信息至虛擬結(jié)構(gòu)的反饋，以免虛擬結(jié)構(gòu)運動過快導(dǎo)致編隊衛(wèi)星跟蹤困難。定義編隊信息變量：

將E1和E2分別引入虛擬結(jié)構(gòu)的位置和姿態(tài)控制器中，設(shè)計位置和姿態(tài)控制律如下：

式中 λF、σF、、、ζF為正常數(shù)；其余參數(shù)的定義類似于衛(wèi)星i，且不確定參數(shù)和的自適應(yīng)更新律不變。當(dāng)虛擬結(jié)構(gòu)控制器中包含編隊信息反饋時，衛(wèi)星偏離期望狀態(tài)，E1和E2增大，則控制器對虛擬結(jié)構(gòu)的控制作用增強，從而實現(xiàn)對編隊整體運動速度的控制。

系統(tǒng)的穩(wěn)定性證明同上。

4 算例仿真與分析

下面以三星編隊為例，對編隊整體平移和空間指向性偏轉(zhuǎn)控制進行仿真，驗證本文控制方法的可行性和有效性。

4.1 編隊整體平移控制仿真

仿真場景設(shè)定如下：假設(shè)虛擬結(jié)構(gòu)初始狀態(tài)為r（0）＝［0 10 0］Tm，q（0）＝［0 0 0 1］T，

FF現(xiàn)要求虛擬結(jié)構(gòu)沿著空間直線x＝0.6t，y＝0.5t＋10，z＝0.3t運動，同時達到期望姿態(tài)四元數(shù)。要求編隊衛(wèi)星從具有一定誤差的初始狀態(tài)開始，跟蹤虛擬結(jié)構(gòu)，在參考系F中形成穩(wěn)定的等邊三角形，并在后續(xù)的運動中保持編隊構(gòu)型不變。

衛(wèi)星在參考系F中的初始和期望位置：

衛(wèi)星在參考系F中的初始和期望姿態(tài)：

編隊衛(wèi)星整體平移協(xié)同控制的仿真曲線見圖2～圖5。從圖2虛擬結(jié)構(gòu)和編隊衛(wèi)星的位置跟蹤誤差曲線可以看出，虛擬結(jié)構(gòu)位置跟蹤誤差收斂較快（約為10s），在其達到對期望軌跡的穩(wěn)態(tài)跟蹤后，各編隊衛(wèi)星才逐漸實現(xiàn)對各自期望軌跡的穩(wěn)態(tài)跟蹤。仿真結(jié)束時，編隊衛(wèi)星各方向位置跟蹤誤差可維持在較好的精度范圍內(nèi)。編隊衛(wèi)星在地慣系中的運動軌跡如圖3所示，其中，A0，B0，C0分別為三顆衛(wèi)星的初始位置，在仿真至70s時，三顆衛(wèi)星建立起穩(wěn)定的三角形構(gòu)型△A1B1C1，并在后續(xù)的運動中維持構(gòu)型不變直至仿真結(jié)束時的最終構(gòu)型△A2B2C2。虛擬結(jié)構(gòu)控制器中含編隊信息反饋（σF＝1）和無編隊信息反饋（σF＝0）時的位置跟蹤誤差對比如圖4所示，其衡量指標(biāo)δ為

可見，含編隊信息反饋時，編隊衛(wèi)星具有更低的跟蹤誤差和更快的誤差收斂速度。編隊運動過程中虛擬結(jié)構(gòu)和編隊衛(wèi)星姿態(tài)四元數(shù)矢量部分誤差曲線如圖5所示。類似于位置跟蹤誤差曲線，虛擬結(jié)構(gòu)姿態(tài)四元數(shù)誤差同樣先于編隊衛(wèi)星收斂到零值附近，二者均具有較高的收斂精度。

圖2 虛擬結(jié)構(gòu)和衛(wèi)星位置跟蹤誤差Fig.2 Position track errors of virtual structure and satellites

圖3 編隊整體平移運動軌跡Fig.3 Motion trajectories of formation satellites

圖4 σF＝1和σF＝0時位置跟蹤誤差對比Fig.4 Position track error when σF＝1andσF＝0

圖5 虛擬結(jié)構(gòu)和衛(wèi)星姿態(tài)跟蹤誤差Fig.5 Attitude track errors of virtual structure and satellites attitude errors

圖6 編隊空間指向性偏轉(zhuǎn)示意Fig.6 Schematic diagram of formation directive declination

4.2 編隊空間指向性偏轉(zhuǎn)控制仿真

下面對編隊在空間中的指向性偏轉(zhuǎn)進行控制仿真，該技術(shù)主要用于實現(xiàn)對空間目標(biāo)的跟蹤和觀測。仿真場景設(shè)定如下：如圖6所示，錐體A、B和C分別代表三顆衛(wèi)星，立方體T代表空間目標(biāo)。初始時刻，三顆衛(wèi)星組成一個平行于XOY平面的等邊三角形，且具有相同的Z方向姿態(tài)指向。以△ABC的形心F為原點建立參考系F，垂直于三角形平面的向量rFZ為整個編隊的瞄準(zhǔn)基線?，F(xiàn)要求整個編隊在空間發(fā)生偏轉(zhuǎn)，使得瞄準(zhǔn)基線在一定時間t內(nèi)轉(zhuǎn)過α角最終指向空間目標(biāo)T，正三角形構(gòu)型保持不變，且實現(xiàn)各衛(wèi)星姿態(tài)與瞄準(zhǔn)基線的同步偏轉(zhuǎn)。

若已知虛擬結(jié)構(gòu)在地慣系中的初始狀態(tài)變量、三顆衛(wèi)星在參考系F中的初始狀態(tài)變量及空間目標(biāo)T在地慣系中的位置。要想實現(xiàn)編隊整體對空間目標(biāo)的指向，首先應(yīng)確定編隊瞄準(zhǔn)基線rFZ從初始指向到最終指向空間目標(biāo)T需要轉(zhuǎn)過的α角。由三顆衛(wèi)星在地慣系中的位置矢量（可通過上述兩類初始狀態(tài)變量計算得到），計算可得形心F在地慣系中的矢量：

進一步計算，可得編隊瞄準(zhǔn)基線rFZ在地慣系中的矢量：

式中 矢量rAF＝rF－rA；矢量rBF＝rF－rB。

由于空間目標(biāo)T在地慣系中的位置已知，則有矢量rFT＝rT－rF，從而最終計算得到瞄準(zhǔn)基線rFZ所需轉(zhuǎn)過的α角：

設(shè)置虛擬結(jié)構(gòu)初始狀態(tài)為rF（0）＝［8×106，8×106，8×106］Tm，qF（0）＝［0，0，0，1］Tm；三顆衛(wèi)星在參考系F中的初始位置分別為r1F（0）＝［57.73，0，0］Tm，r2F（0）＝［－28.87，－50，0］Tm，r3F（0）＝［－28.87，50，0］Tm，即三顆衛(wèi)星在參考系F中組成一個邊長為100m的等邊三角形，初始姿態(tài)均為qiF（0）＝［0，0，0，1］T；空間目標(biāo)T在地慣系中的位置為rT＝［8×106－25，8×106＋20，8×106＋40］Tm。于是，由式（19）～式（21）計算可得編隊瞄準(zhǔn)基線rFZ所需轉(zhuǎn)過的角α＝0.674 9rad。設(shè)定仿真時間t＝200s，編隊衛(wèi)星參數(shù)和控制器參數(shù)的取值同上。

編隊在空間中針對目標(biāo)T進行指向性偏轉(zhuǎn)的三維仿真曲線如圖7所示，可以看出，編隊整體類似于一個剛體在空間發(fā)生偏轉(zhuǎn)，并將瞄準(zhǔn)基線rFZ最終指向空間目標(biāo)T。三顆衛(wèi)星的相對距離隨時間t變化的曲線如圖8所示，可見，整個偏轉(zhuǎn)過程中三顆衛(wèi)星可較好地保持相對距離，誤差精度保持在0.006m范圍內(nèi)。三顆衛(wèi)星的控制力和控制力矩變化曲線分別如圖9和圖10所示。由于衛(wèi)星A和C在空間中的位置改變較大，故所需的控制力較大。而三顆衛(wèi)星在空間中的姿態(tài)偏轉(zhuǎn)一致，故所需的控制力矩相同。

圖7 編隊空間指向性偏轉(zhuǎn)三維仿真Fig.7 Simulation of formation directive declination

圖8 編隊衛(wèi)星相對距離變化Fig.8 Relative distance between formation satellites

圖9 編隊衛(wèi)星控制力變化Fig.9 Control force of formation satellites

圖10 編隊衛(wèi)星控制力矩變化Fig.10 Control torque of formation satellites

5 結(jié)束語

本文將虛擬結(jié)構(gòu)引入近地軌道編隊飛行的協(xié)同控制中，提出了一種基于虛擬結(jié)構(gòu)的編隊飛行自適應(yīng)協(xié)同控制方法?？紤]衛(wèi)星質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量的不確定性，分別對編隊衛(wèi)星和虛擬結(jié)構(gòu)設(shè)計了一種獨立的位置和姿態(tài)自適應(yīng)協(xié)同控制器，且實現(xiàn)了編隊信息至虛擬結(jié)構(gòu)的反饋。最后，以編隊整體平移和空間指向性偏轉(zhuǎn)控制為例進行了仿真驗證，可以得出以下結(jié)論：

1）設(shè)計的位置和姿態(tài)協(xié)同控制器可使編隊在整體平移和空間指向性偏轉(zhuǎn)過程中維持編隊構(gòu)型不變，驗證了文中方法的有效性。

2）將編隊信息引入到虛擬結(jié)構(gòu)協(xié)同控制器，可有效改善編隊衛(wèi)星控制誤差的收斂性能，并實現(xiàn)對編隊整體運動速度的控制。

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Adaptive Cooperative Control for Satellites Formation Flying Using Virtual Structure

HUANG Yong1LI Xiaojiang2，3YANG Yewei1LI Zhiliang1
（1 Department of Graduate Management，Equipment Academy of PLA，Beijing 101416）
（2 Department of Space Equipment，Equipment Academy of PLA，Beijing 101416）
（3State Key Laboratory of Laser Propulsion ＆Application，Equipment Academy of PLA，Beijing 101416）

Aiming at the cooperative control problem of satellites formation flying with mass，inertia uncertainties and external disturbances，an adaptive cooperative control method using virtual structure was proposed.Firstly，through the description of the virtual structure mode，the expressions between the virtual structure state variables and the desired states of the formation satellites were built.Secondly，the position and attitude adaptive cooperative controllers of the formation satellites and the virtual structure were designed.By introducing the state errors of the formation satellites to the virtual structure controllers，the feedback from the formation satellites to the virtual structure was realized.Besides，the closed－loop system stability and the controllers′bounded disturbances suppression were proved by using Barbalat lemma.Finally，the three－satellite formation cooperative maneuver and directive declination were simulated with the designed controllers.The results show that the designed controllers can adaptively estimate the satellite mass and inertial，and drive the control errors of the position and attitude to zero，which verify the method′s effectiveness.

Cooperative control；Adaptive；Virtual structure；Uncertainty；External disturbances；Satellites formation

10.3780／j.issn.1000－758X.2015.03.010

（編輯：車曉玲）

黃 勇 1986年生，2011年獲空軍航空大學(xué)軍事裝備學(xué)專業(yè)碩士學(xué)位，現(xiàn)為裝備學(xué)院兵器科學(xué)與技術(shù)專業(yè)博士研究生。研究方向為分布式航天器協(xié)同控制。

2014－07－30。收修改稿日期：2014－10－07