采用窗函數(shù)法進行數(shù)字信號截短的優(yōu)化算法*

周冬躍 ，林海全 ，張洪林 ，李學(xué)識 ，黃繼才

（1.廣東工業(yè)大學(xué) 物理與光電工程學(xué)院，廣東 廣州 510006；2.廣州致遠電子股份有限公司，廣東 廣州 510660；3.華南理工大學(xué) 電子與信息學(xué)院，廣東 廣州 510641；4.廣東工業(yè)大學(xué) 自動化學(xué)院，廣東 廣州 510006）

0 引言

對一個時域信號進行有限時間片段的分析時，如果對數(shù)字信號進行直接截短，就會導(dǎo)致頻譜泄露，從而導(dǎo)致信號分析出現(xiàn)差錯，影響信號分析的精度，以至難以滿足應(yīng)用要求[1-3]。對此，國內(nèi)外學(xué)者提出了一系列改進數(shù)字信號截短的方法。文獻[4-5]研究了頻譜泄露的原因以及加窗函數(shù)后頻譜泄露的特性。文獻[6]對海明窗(Hamming Window)、漢寧窗(Hanning Window)在信號截短中的時譜特性進行比較分析。文獻[7]分析矩形窗(Rectangular Window)、海明窗、漢寧窗和布萊克曼窗(Blackman Window)對截短時域和空域信號產(chǎn)生的影響。然而，這些研究都局限在理論和仿真分析，其對應(yīng)的方案尚未結(jié)合FPGA硬件應(yīng)用需要。

為了解決工業(yè)產(chǎn)品設(shè)計中的頻譜泄露問題，文中基于FPGA硬件系統(tǒng)，對集成矩形窗、海明窗、漢寧窗和布萊克曼窗四個窗函數(shù)的系統(tǒng)進行優(yōu)化設(shè)計，在頻譜泄露特性、速度和硬件資源等方面對現(xiàn)有的設(shè)計方案進行了較大的優(yōu)化，從而提高了系統(tǒng)的綜合性能。

1 窗函數(shù)的設(shè)計

該方法的基本思路是：首先利用坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)數(shù)字計算(CORDIC)迭代方法產(chǎn)生余弦函數(shù)，然后利用式(1)～式(4)分別所表示矩形窗、海明窗、漢寧窗和布萊克曼窗函數(shù)實現(xiàn)基于FPGA的矩形窗、海明窗、漢寧窗和布萊克曼窗的信號截短方案。

由式(1)～式(4)可見，為了實現(xiàn)這些窗函數(shù)，首先要解決余弦函數(shù)中相位的求解，其次計算余弦函數(shù)，最后完成加減運算。其中，CORDIC迭代算法提供一種逼近的方法求得余弦值。

限 制 該 算 法 中 的 旋 轉(zhuǎn) 相 位 θi，使 得 tanθi=2-i， 即 θi=tan-12-i。CORDIC迭代可用如式（5）所示的方程組表示：

其中，di=+1，zi≥0；di=-1，zi＜0，用于確定旋轉(zhuǎn)方向。 依據(jù)迭代公式，設(shè)計硬件結(jié)構(gòu)，框圖如圖1所示。

圖1 CORDIC迭代電路結(jié)構(gòu)

在圓周旋轉(zhuǎn)模式中，i取值越大輸出精度越高，令i=n時能滿足設(shè)計要求，那么經(jīng)過n次迭代后：

通過設(shè)置x0=K總和y0=0就可以計算xn=cosz0和yn=sinz0了，其中，z0為輸入相位，K總=cosθ0×cosθ1×…×cosθn。

2 窗函數(shù)的優(yōu)化

2.1 CORDIC迭代參數(shù)優(yōu)化

CORDIC是系統(tǒng)的核心模塊，由式(6)可知這是一個迭代的過程，為了使CORDIC算法模塊能夠辨認并計算本設(shè)計的最小刻度相位，同時考慮節(jié)省迭代對應(yīng)的資源開銷，最后一次迭代所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)相位只要滿足小于該最小刻度相位即可。約定文中設(shè)計的系統(tǒng)采樣點數(shù)是256點至16 M點之間任意可選，當(dāng)信號長度N為16 M點時，可獲得本設(shè)計的最小刻度相位0.000 021 458°。經(jīng)過式(6)的計算可得，在i=22時，即第 22次迭代所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)相位0.000 013 660°小于最小刻度相位，故將文中方案迭代次數(shù)確定為23。

2.2 窗函數(shù)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化

進一步分析式(1)～式(4)四個窗函數(shù)的表達式，發(fā)現(xiàn)這些表達式具有相同的結(jié)構(gòu)，因此可以將它們合并為一條通用的表達式，如式（7）所示：

不同窗函數(shù)對應(yīng)不同的窗系數(shù)A、B、C，各窗函數(shù)對應(yīng)的具體系數(shù)由式(1)～式(4)可以得出，在設(shè)計時，這些窗系數(shù)可由一個兩位二進制變量的值來確定。

由于在任一時刻只有一個窗函數(shù)在工作。此特點滿足了資源共享的條件，因此可以對方案所需的資源進行共享優(yōu)化，4種窗函數(shù)使用相同的CORDIC和乘法器，圖2(a)和圖2(b)分別為優(yōu)化前和優(yōu)化后的電路結(jié)構(gòu)。

從圖中可以看出，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)可以大大減少FPGA內(nèi)部的硬件消耗。

表1為設(shè)計優(yōu)化前后在FPGA器件中布局布線所消耗的資源情況，可見優(yōu)化后設(shè)計所消耗的各類資源比優(yōu)化前減少了20%～51%。

2.3 速度的優(yōu)化設(shè)計

整個設(shè)計采取了恰當(dāng)?shù)牧魉€技術(shù)對速度進行優(yōu)化，其基本思路是：在組合邏輯較長的路徑上插入幾級寄存器，從而大大提高了數(shù)據(jù)的吞吐量。經(jīng)過增加流水線級數(shù)的方法，時鐘周期比流水線設(shè)計前小，從而提高運行速度。圖3為迭代過程流水線設(shè)計之前和之后的模塊圖。

圖2 優(yōu)化前后的電路結(jié)構(gòu)對比

表1 優(yōu)化前后資源消耗對比

圖3 CORDIC迭代過程流水線時序優(yōu)化

對于圖3(a)所示的優(yōu)化前的方案，僅能通過30 MHz的時序約束。假設(shè)系統(tǒng)運行于30 MHz的頻率下，數(shù)據(jù)從進入系統(tǒng)到輸出結(jié)果需要19個時鐘周期，即633 ns。而對于圖3(b)所示優(yōu)化后方案，進行流水線設(shè)計之后可以通過360 MHz的時序約束，數(shù)據(jù)從進入系統(tǒng)到輸出結(jié)果需要42個時鐘周期，即117 ns。很明顯，經(jīng)過流水線設(shè)計后，系統(tǒng)的運行速度大大提高。此外，流水線設(shè)計使系統(tǒng)每個時鐘處理一個數(shù)據(jù)，不用等到一個數(shù)據(jù)完全輸出才進行下一個數(shù)據(jù)的處理。

3 窗函數(shù)對抑制頻譜泄漏方案的實現(xiàn)和分析

3.1 系統(tǒng)整體實現(xiàn)

文中窗函數(shù)采用點數(shù)可調(diào)，令信號是長度256點到16 M點動態(tài)可調(diào)的窗函數(shù)控制器，即需要根據(jù)不同的信號長度為系統(tǒng)提供相應(yīng)的相位因子。圖4所示為窗函數(shù)計算過程的流程圖，相位生成器根據(jù)FPGA中的主控器MicroBlase傳來的相位因子和信號長度兩個參數(shù)產(chǎn)生相應(yīng)時刻的相位，然后CORDIC模塊根據(jù)該相位計算相應(yīng)的余弦值，接著根據(jù)當(dāng)前窗函數(shù)類型選擇相應(yīng)的窗系數(shù)并完成窗函數(shù)計算，最后利用窗函數(shù)結(jié)果對輸入信號進行加窗處理。

圖4 窗函數(shù)計算流程圖

3.2 整體仿真效果和分析

為了分析文中方案對頻譜泄露的特性，對文中的窗函數(shù)法采樣數(shù)據(jù)的頻譜特性進行實驗和分析。首先對實驗信號 y(t)=40×[sin(40πt)+sin(120πt)]進行采樣，采樣頻率為1 000 Hz，采用點數(shù)共1 571點，modelsim仿真軟件通過讀取該文件數(shù)據(jù)對文中所設(shè)計的系統(tǒng)進行仿真并將仿真結(jié)果保存在文本文件中，采用仿真進行頻譜分析，結(jié)果如圖5所示。

分析矩形窗、海明窗、漢寧窗和布萊克曼窗的4種情況中旁瓣衰減，它們的第一旁瓣相對于主瓣衰減和主瓣寬度如表2所示。

由頻譜圖可以看出，對信號加矩形窗(圖5(a))處理，有明顯的頻譜泄露；而對信號加海明窗(圖 5(b))、漢寧窗(圖 5(c))或布萊克曼窗(圖 5(d))處理后，則頻譜泄露明顯減小。海明窗、漢寧窗和布萊克曼窗主瓣加寬，旁瓣則顯著減小。從減小泄漏觀點出發(fā)，漢寧窗優(yōu)于矩形窗，布萊克曼窗最好，但主瓣加寬，相當(dāng)于頻率分辨力有所下降。相對而言海明窗加權(quán)的系數(shù)能使主瓣寬度更小。布萊克曼窗主瓣較寬，旁瓣衰減達到-59.3，頻譜泄露最小，幅值識別精度最高，但頻率識別精度最低?？梢?，基于FPGA的窗函數(shù)截短，相對于直接截短的方式，采用文中窗函數(shù)處理方案，信號的頻譜泄露特性得到較好改善。

4 結(jié)論

文中所提出的方案對矩形窗、海明窗、漢寧窗和布萊克曼窗進行了算法設(shè)計和方案優(yōu)化。為了優(yōu)化方案中的資源消耗和提高精度，采用了資源共享技術(shù)、選擇合理的數(shù)據(jù)位寬以及為CORDIC模塊選擇合適的迭代次數(shù)；為了優(yōu)化設(shè)計的速度，采用了流水線技術(shù)，從而較大提高處理的速度。最后，利用工具軟件modelsim對系統(tǒng)進行了仿真，驗證了算法對應(yīng)的系統(tǒng)功能的正確性以及分析了系統(tǒng)的優(yōu)化性能。

圖5 加窗后的信號頻譜特性

表2 優(yōu)化前后資源消耗對比

[1]張斌，孔敏，吳從兵．基于窗函數(shù)下頻譜泄露的研究[J]．信息化縱橫，2009(11)：10-12．

[2]田園，周勖．窗函數(shù)在數(shù)字濾波器設(shè)計中的應(yīng)用[J]．國外電子測量技術(shù)，2013，32(4)：25-27．

[3]郭建濤，劉友安，玉林．基于窗函數(shù)設(shè)計的跳頻信號時域分析[J]．計算機應(yīng)用，2011，31(9)：2333-2335．

[4]XUE H，YANG R．Optimal interpolating windowed discrete Fourier transform algorithms for harmonic analysis in power systems[J]．IEE Proceedings of Generation，Transmission and Distribution，2003，150(5)：583-587．

[5]RELJIN I S，RELJIN B D．Extremely flat-top windows for harmonic analysis[J].IEEE Trans.on Instrumentation and Measurement.2007，56(3)：1025-1041．

[6]DAVID C.Swanson.Precision spectral peak frequency measurement using a window leakage ratio function.Mechanical Systems and Signal Processing Volumes 54-55，March 2015：1-15.

[7]RAPUANO S，HARRIS F J.An introduction to FFT and time domain windows[J].IEEE instrumentation&Measurcmcnt Magazine，2007，10(6)：32-44.